人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.3实际问题与二次函数（三 阶）

人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.3实际问题与二次函数（三 阶）
一、选择题
1．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a=10a2=．
故选C．
3．（2023九上·义乌月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，
∴当0＜x＜b时，y＞0，当x＞b时，y＜0，故①是假命题；
∵y＝﹣x2+2x+m+1=-（x-1）2+m+2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵ 抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0） ，若a=-1，
∴
解之：b=3，故②是假命题；
∵x1+x2＞2 ，
∴（x1+x2）＞1，
∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0＜x2-1，
∴点Q距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故③是真命题；
作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，
∴EG=GE'，DF=D'F，
∴四边形EDFG的周长=DE+DF+EG+FG=D'E'+DE，
∴此时D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，
∴顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3，
∴D'（-1，4），C（0，3），E（2，3），E'（2，-3），
∴，，
∴四边形EDFG的周长的最小值为，故④是假命题；
故答案为：C.
【分析】由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，可对①作出判断；利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可求出b的值，可对②作出判断；利用已知可推出（x1+x2）＞1，根据x1＜1＜x2，可得到x1-1＜0＜x2-1，据此可推出点Q距离对称轴较远，可对③作出判断；作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，可证得EG=GE'，DF=D'F，可推出D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，将m=2代入函数解析式，可得到抛物线的顶点D的坐标，即可求出点C，E，E'的坐标，利用平面直角坐标系内两点的距离公式，分别求出DE，D'E'的长，即可求出四边形EDFG的周长的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到真命题的序号.
4．（2023九上·北京市期中）下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：① 矩形一条边长x，则另一条边为(I-x)，
由题意得y=x·(I-x)=-x2+Ix，则此图象是抛物线，开口向下，且经过原点，故符合题意；
②设赵老师的速度为m，则y=mx，是正比例函数，图象是直线，故不符合题意；
③由题意得y=（30-x-10）(10+10x)=-10x2+190x+200，此函数图象是抛物线，但图象不经过原点，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别列出三个问题中的函数关系式，再判断即可.
5．（2023九上·合肥月考）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：把y=2代入y=x2，解得x=±，则AB=
把y=2代入y=0.5x2，解得x=±2.则CD=4，则CD=AB
故答案为：D
【分析】把y=2分别代入求解求出CD、AB，即可求出答案。
6．（2023九上·铁东月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】根据题意，
每天销售数量
每件的利润应为售价-成本，即（x-50）元
故
故答案为：D
【分析】分析题意，每天的利润应为每件利润和每天销售数量的乘积，分别写出每件利润和每天销售数量的表达式，对比4个选项，D符合题意。
7．（2023九上·汕头月考）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：和抛物线C2：交于A，B两点，过点A作CD//x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF//x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点，则，，
由题意，将点 代入 ，得到，解得
∴点D坐标为，
将代入 ，得到，解得；
∴点F坐标为，
则，
，
∴
故答案为：D.
【分析】先设A、D两点的坐标为、，进而设E、D、F的坐标，再表达出 和 的面积，即可得出答案.
8．（2022九上·新昌期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故答案为：B.
【分析】根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意可得Q（9，15.5）、B（6，16）、OH=6，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+16，将Q点坐标代入求出a的值，可得对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值，据此求解.
二、填空题
9．（2024九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　.
【答案】13
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，先求出矩形ABCD的周长为，再利用二次函数的最大值求解即可.
10．（2022九上·江北期中）“地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件40元，售价每件110元，每天可以销售20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用a元(a>0).未来30天，这款产品将开展“每天降价1元”的大促销活动，即从第一 天起每天的单价均比前天降1元，通过市场调研发现：该产品单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t ( t为正整数)的增大而增大，则a的取值范围应为　 　.
【答案】0＜a≤5
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元，
由题意得：y=（110-t-40-a）（20+4t）=-4t2+4（65-a）t+1400-20a，
∵-4＜0，当1≤t≤30时，y随t的增大而增大，
∴≥30，
解得：a≤5，
∵a＞0，
∴0＜a≤5，
故答案为：0＜a≤5，
【分析】设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元，利用每天缴纳摊位管理费用后的利润=每天缴纳摊位管理费用后的销售利润×日销售量，可得y关于t的函数解析式，利用二次函数的性质求解即可.
11．（2019九上·天台月考）如图，抛物线 （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线 与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点 点 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为 ，其中正确判断的序号是　 　
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+1=0，
∵△=4-4=0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点P（2，y3）关于x=1的对称点为P′（0，y3），
∵a=-1<0，
∴当x<1时，y随x增大而增大，
又∵-2<0<，
点M（-2，y1）、 、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y1③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y=-（x+2）2+2（x+2）+m+1-2，即y=-（x+1）2+m，故③正确；
④当m=1时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（-1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，-2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC=B′E+ED+C′D+BC=B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长=B′C′+BC最小，为：，∴④正确.
故答案为： ①③④
【分析】①把y＝m＋2代入y＝ x2＋2x＋m＋1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得出结论；
②求出点P关于对称轴x=1的对称点的坐标，由于抛物线的二次项系数小于0，即图象的开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以；
③根据平移的规律求出平移后的解析式便可；
④将m=1代入抛物线 求出抛物线的解析式，根据抛物线与纵坐标的交点坐标特点，求出A，B，C三点的坐标，因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值，从而即可求出答案.
12．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习）已知抛物线 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为　 　．
【答案】 或 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得： =0，∴ ，∴x1=- ，x2=－3，∴A（-3，0），B-（- ，0）（a＜0），∴AC= ，AB= ，BC= ．
∵△ABC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①AB=AC，∴ =5，解得：a= ；
②AC=BC，∴ =5，解得：a= （正数舍去），∴a=
③AB=BC，∴ = ，解得：a= ．
综上所述：a的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【分析】先求出 二次函数图象与坐标轴的交点，即可得A、B、C的坐标，再用含a的式子表示出△ABC三边的长，两两相等可得三个关于a的方程，解方程即可。
13．（2021九上·瑞安期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是　 　m
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）
设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3，
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过B、Q的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解得
∴小球弹起时的最大高度是 m.
故答案为 ：.
【分析】以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），顶点坐标为（2，6），设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6，将点A代入求出a，可得抛物线的解析式，点B的纵坐标为MN-EF-CD=2，令y=2，求出x，可得B（4，2），同理可得D（2.8，3），利用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，求出x，可得Q（ ，0），过B、Q的抛物线解析式为y=-(x-m)2+n，将点B、Q代入求出m、n，据此解答.
三、解答题
14．（2023九上·萧山月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）C1的表达式为y=ax2-2ax，含有一个未知字母，恰好题目已知点A32，38在C1上，代入解析式即可求得a的值；
（2）由（1）可知C1：y=-12x2+x，转化成顶点式为y=-12x-12+12，故顶点为1，12，距离x轴米，距离地面1+12=32<2，高度未达到要求；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，C3顶点纵坐标需大于等于1；由a=-12，可得抛物线C3表达式为，顶点坐标为b2，b24，故，得；由点B的横坐标为-32，得yB=-94-32b，当b=-2时，yB有最小值，最小值为，故抛球点离地面的高度至少为1+34=1.75米．
15．（2023九上·安庆月考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
（，为整数），
答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为
（，为整数）；
（2）解：设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可；
（2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
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一、选择题
1．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(　　)
A． B． C． D．
3．（2023九上·义乌月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为．其中真命题的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2023九上·北京市期中）下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2023九上·合肥月考）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（　　）
A．4 B．2 C． D．
6．（2023九上·铁东月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·汕头月考）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：和抛物线C2：交于A，B两点，过点A作CD//x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF//x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022九上·新昌期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　.
10．（2022九上·江北期中）“地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件40元，售价每件110元，每天可以销售20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用a元(a>0).未来30天，这款产品将开展“每天降价1元”的大促销活动，即从第一 天起每天的单价均比前天降1元，通过市场调研发现：该产品单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t ( t为正整数)的增大而增大，则a的取值范围应为　 　.
11．（2019九上·天台月考）如图，抛物线 （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线 与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点 点 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为 ，其中正确判断的序号是　 　
12．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习）已知抛物线 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为　 　．
13．（2021九上·瑞安期中）如图所示，从高为2m的点 处向右上抛一个小球 ，小球路线呈抛物线 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 m， m， m，若小球弹起形成一条与 形状相同的抛物线，且落点 与 ， 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是　 　m
三、解答题
14．（2023九上·萧山月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
15．（2023九上·安庆月考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
2．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a=10a2=．
故选C．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，
∴当0＜x＜b时，y＞0，当x＞b时，y＜0，故①是假命题；
∵y＝﹣x2+2x+m+1=-（x-1）2+m+2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵ 抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0） ，若a=-1，
∴
解之：b=3，故②是假命题；
∵x1+x2＞2 ，
∴（x1+x2）＞1，
∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0＜x2-1，
∴点Q距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故③是真命题；
作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，
∴EG=GE'，DF=D'F，
∴四边形EDFG的周长=DE+DF+EG+FG=D'E'+DE，
∴此时D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，
当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，
∴顶点坐标为（1，4），
当x=0时，y=3，
∴D'（-1，4），C（0，3），E（2，3），E'（2，-3），
∴，，
∴四边形EDFG的周长的最小值为，故④是假命题；
故答案为：C.
【分析】由图象可知，当x＞0时，图象经过第一、四象限，可对①作出判断；利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性可求出b的值，可对②作出判断；利用已知可推出（x1+x2）＞1，根据x1＜1＜x2，可得到x1-1＜0＜x2-1，据此可推出点Q距离对称轴较远，可对③作出判断；作点D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，交x轴于点G，交y轴于点F，可证得EG=GE'，DF=D'F，可推出D'E'与DE的和为四边形EDFG的周长的最小值，将m=2代入函数解析式，可得到抛物线的顶点D的坐标，即可求出点C，E，E'的坐标，利用平面直角坐标系内两点的距离公式，分别求出DE，D'E'的长，即可求出四边形EDFG的周长的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到真命题的序号.
4．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：① 矩形一条边长x，则另一条边为(I-x)，
由题意得y=x·(I-x)=-x2+Ix，则此图象是抛物线，开口向下，且经过原点，故符合题意；
②设赵老师的速度为m，则y=mx，是正比例函数，图象是直线，故不符合题意；
③由题意得y=（30-x-10）(10+10x)=-10x2+190x+200，此函数图象是抛物线，但图象不经过原点，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别列出三个问题中的函数关系式，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：把y=2代入y=x2，解得x=±，则AB=
把y=2代入y=0.5x2，解得x=±2.则CD=4，则CD=AB
故答案为：D
【分析】把y=2分别代入求解求出CD、AB，即可求出答案。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】根据题意，
每天销售数量
每件的利润应为售价-成本，即（x-50）元
故
故答案为：D
【分析】分析题意，每天的利润应为每件利润和每天销售数量的乘积，分别写出每件利润和每天销售数量的表达式，对比4个选项，D符合题意。
7．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点，则，，
由题意，将点 代入 ，得到，解得
∴点D坐标为，
将代入 ，得到，解得；
∴点F坐标为，
则，
，
∴
故答案为：D.
【分析】先设A、D两点的坐标为、，进而设E、D、F的坐标，再表达出 和 的面积，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故答案为：B.
【分析】根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意可得Q（9，15.5）、B（6，16）、OH=6，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+16，将Q点坐标代入求出a的值，可得对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值，据此求解.
9．【答案】13
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
【分析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，先求出矩形ABCD的周长为，再利用二次函数的最大值求解即可.
10．【答案】0＜a≤5
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元，
由题意得：y=（110-t-40-a）（20+4t）=-4t2+4（65-a）t+1400-20a，
∵-4＜0，当1≤t≤30时，y随t的增大而增大，
∴≥30，
解得：a≤5，
∵a＞0，
∴0＜a≤5，
故答案为：0＜a≤5，
【分析】设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元，利用每天缴纳摊位管理费用后的利润=每天缴纳摊位管理费用后的销售利润×日销售量，可得y关于t的函数解析式，利用二次函数的性质求解即可.
11．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+1=0，
∵△=4-4=0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点P（2，y3）关于x=1的对称点为P′（0，y3），
∵a=-1<0，
∴当x<1时，y随x增大而增大，
又∵-2<0<，
点M（-2，y1）、 、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y1③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y=-（x+2）2+2（x+2）+m+1-2，即y=-（x+1）2+m，故③正确；
④当m=1时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（-1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，-2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC=B′E+ED+C′D+BC=B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长=B′C′+BC最小，为：，∴④正确.
故答案为： ①③④
【分析】①把y＝m＋2代入y＝ x2＋2x＋m＋1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得出结论；
②求出点P关于对称轴x=1的对称点的坐标，由于抛物线的二次项系数小于0，即图象的开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以；
③根据平移的规律求出平移后的解析式便可；
④将m=1代入抛物线 求出抛物线的解析式，根据抛物线与纵坐标的交点坐标特点，求出A，B，C三点的坐标，因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值，从而即可求出答案.
12．【答案】 或 或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令x=0，得：y=4，所以C(0，4)，令y=0，得： =0，∴ ，∴x1=- ，x2=－3，∴A（-3，0），B-（- ，0）（a＜0），∴AC= ，AB= ，BC= ．
∵△ABC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①AB=AC，∴ =5，解得：a= ；
②AC=BC，∴ =5，解得：a= （正数舍去），∴a=
③AB=BC，∴ = ，解得：a= ．
综上所述：a的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【分析】先求出 二次函数图象与坐标轴的交点，即可得A、B、C的坐标，再用含a的式子表示出△ABC三边的长，两两相等可得三个关于a的方程，解方程即可。
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
点A（0，2），抛物线的顶点（2，6）
设抛物线的解析式为
代入A点坐标得
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
点B的纵坐标为MN-EF-CD=4-1-1=2，
∴y=2时， ，
解得 ，
∴点B（4，2），
点D的横坐标=4-CB=4-1.2=2.8，点D的纵坐标2+1=3，
点D（2.8，3）
设直线BD解析式为 代入坐标得
解得
直线BD解析式为
当y=0时，
点Q（ ，0）
过B、Q的抛物线解析式为 ，代入坐标得
解得
∴小球弹起时的最大高度是 m.
故答案为 ：.
【分析】以OQ所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），顶点坐标为（2，6），设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6，将点A代入求出a，可得抛物线的解析式，点B的纵坐标为MN-EF-CD=2，令y=2，求出x，可得B（4，2），同理可得D（2.8，3），利用待定系数法求出直线BD的解析式，令y=0，求出x，可得Q（ ，0），过B、Q的抛物线解析式为y=-(x-m)2+n，将点B、Q代入求出m、n，据此解答.
14．【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）C1的表达式为y=ax2-2ax，含有一个未知字母，恰好题目已知点A32，38在C1上，代入解析式即可求得a的值；
（2）由（1）可知C1：y=-12x2+x，转化成顶点式为y=-12x-12+12，故顶点为1，12，距离x轴米，距离地面1+12=32<2，高度未达到要求；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，C3顶点纵坐标需大于等于1；由a=-12，可得抛物线C3表达式为，顶点坐标为b2，b24，故，得；由点B的横坐标为-32，得yB=-94-32b，当b=-2时，yB有最小值，最小值为，故抛球点离地面的高度至少为1+34=1.75米．
15．【答案】（1）解：根据题意得：
（，为整数），
答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为
（，为整数）；
（2）解：设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可；
（2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
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