8.1基本立体图形 练习（含解析）

立体几何初步
8.1 基本立体图形
一、单选题
1．某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（　　）
A． B．75 C． D．
2．轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（　　）
A．1：2 B．2：1 C．3：4 D．4：3
3．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（　　）
A．27π B． C． D．16π
4．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B．9π C．12π D．10π
5．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童 有外接球，且 ， ， ， ，平面 与平面 间的距离为1，则该刍童外接球的体积为
A． B． C． D．
6．如图，在正三角形ABC中， D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，G，H，I分别为DE，FC，EF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥，则异面直线BG与IH所成的角为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
8．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（　　）
A．4：3 B．2：1 C．5：3 D．3：2
二、多选题
9．用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（　　）
A．直角三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形
10．下列说法中不正确的是（　　）
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有几何体的表面都能展开成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
11．下列说法正确的是（　　）
A．棱柱的侧面一定是矩形
B．三个平面至多将空间分为7个部分
C．圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
12．在棱长为1的正方体中，M是线段上一个动点，则结论正确的是（　　）
A．直线垂直于直线
B．存在点M使得二面角为的二面角
C．存在点M使得异面直线与所成角为
D．三棱锥的体积为
三、填空题
13．如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成
（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是　 　（答案不唯一）．
（2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是　 　（答案不唯一）．
14．如图，已知正方体 的棱长为2，则四棱锥 的体积为　 　．
15．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．
当M、N运动时，下列结论中正确的是　 　（填上所有正确命题的序号）．
①平面DMN⊥平面BCC1B1；
②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；
③△DMN可能为直角三角形；
④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为 ．
16．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　 　．
四、解答题
17．如图，在圆柱 中，底面半径为1， 为圆柱母线.
（1）若 ，M为 中点，求直线 与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
18．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
19．在等腰直角三角形中，斜边，现将绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥.
（1）求这个圆锥的表面积；
（2）若在这个圆锥中有一个圆柱，且圆柱的一个底面在圆锥的底面上，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积.
20．如图，已知 ， 分别是圆台 上下底面圆的直径（ ， 为上下底面圆的圆心），直线 与 所成的角为 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，圆台的母线长为 ，求四面体 的体积.
21．如图，长方体 中， ， ， ，求线段 的长．
22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E是BC的中点．
（1）求线段DE的长；
（2）求直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】设底面圆的半径为，则，解得：，
设圆锥的高为，则，
则圆锥的体积为.
故答案为：D
2．【答案】C
【解析】【解答】轴截面如下图，
四边形ABCD为正方形，设圆柱底面圆直径，则球直径，故圆柱表面积为，球表面积为，故它们的表面积之比为3：4。
故答案为：C
3．【答案】A
【解析】【解答】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，所以，所以圆锥的高为，
所以，解得，故其表面积。
故答案为：A．
4．【答案】C
【解析】【解答】圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，
则母线长为 ，底面圆半径为 ，
该圆锥的表面积为 ,
故答案为：C．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：假设O为刍童外接球的球心，连接HF， EG交于点O1，连接AC，DB交于点O2，
由球的几何性质可知O，O1，O2在同一条直线上，
由题意可知OO1⊥平面ABCD，OO1⊥平面EFGH ， O1O2=1.
设OO2=r ，
在Rt△OGO1中，OG2=OO12+O1G2，
在矩形EFGH中，
在Rt△OBO2中，OB2=OO22+O2B2，
在矩形ABCD中，
，
∴
设外接球的半径为OG=OB=R，
∴
解得r=1
则
则R=3
则
故答案为：C
6．【答案】A
【解析】【分析】先画出折叠后的直观图画出来，再将两条异面直线平移到同一个平面内，最后在平面三角形中计算此角即可
【解答】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥如图
设顶点为P
由三角形中位线定理，IH∥PE，
∴∠EPG就是异面直线BG与IH所成的角
在三角形PED中，
∴∠DPG=∠EPG=
故答案选 A
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，
∴MN 平面BDD1B1，∴N∈B1D1
过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：
设NG=x，（0≤x≤1），
∴AN= = = ≥ ，
当x= 时最小．
故选B．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=π×12× =
圆锥的底面半径=2π×1× ÷2π= ，
圆锥的底面积= = ，
圆锥的表面积=侧面积+底面积= ，
∴这个圆锥的表面积与侧面积的比=4：3．
故选A
9．【答案】A,C
【解析】【解答】截面为六边形时，可能出现正六边形，
当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；
故答案为：AC．
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；
正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B符合题意；
不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；
棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D不正确.
故答案为：ACD.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A不符合题意；
对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分为8个部分，B不符合题意；
对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对；
对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D对.
故答案为：CD.
12．【答案】A,B,C
【解析】【解答】由题意可知，，，∴，A符合题意；
当M为中点时，二面角的平面角为，所以B符合题意；
异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，
为正三角形，当M为中点时，，C符合题意；
三棱锥的体积为，D不符合题意．
故答案为：ABC．
13．【答案】（1）②（或③或④）
（2）①③⑤（或②③④）
【解析】【解答】（1）由已知条件可知，①～⑤中选出一个模块可以是②，也可以是③，也可以是④．
（2）以②③④为例，中间层用③补齐，最上层用②④，
还可以是①③⑤，中间层用③补齐，最上层用①⑤，
故答案为：②（或③或④），①③⑤（或②③④）．
14．【答案】
【解析】【解答】如图所示：
连接 交 于点E，则 ，又 ，
所以 平面 ，
所以 为四棱锥 的高，且 ，
矩形 的长和宽分别为 ，2，
故 。
故答案为： 。
15．【答案】①②④
【解析】【解答】解：如图，
当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，①正确；
当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，②正确；
若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，③错误；
当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于 ．
∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0， ]，④正确，
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
16．【答案】
【解析】【解答】解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于 ，所以该多面体的体积为
17．【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO1与底面的夹角为∠MO1A1
则由题意得，
则∠MO1A1= ；
（2）设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，
则因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r=2
所以圆柱的侧面积为
圆柱的体积为
18．【答案】（1）解：平面四边形的平面图如下图所示：
由直观图可知菱形的高为：，
所以面积为；
（2）解：旋转而成的几何体如下图所示：
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
19．【答案】（1）解：在等腰直角三角形中，斜边，所以，且.
所以圆锥的表面积.
（2）解：设圆柱的底面半径为r，高为x，根据题意，画出圆锥的轴截面如图所示，
由图可知，且.
所以圆柱侧面积.
显然当时，圆柱侧面积取得最大值，最大值为，此时.
故圆柱的体积.
20．【答案】（1）证明：连接 ， ， ，
由圆台的性质可知： ，
因为直线 与 所成的角为 ，即 ，
又因为 ，所以 平面 ，所以 ，
又 是 的中点，所以 .
（2）由（1）可知 平面 ，
因为 ， ，圆台的母线长为 ，所以圆台的高 ，
所以 的面积 ，
所以四面体 的体积 .
21．【答案】因为在长方体 中， ， ， ，
连接 ，在 中，有 ，
又因为在长方体 中， 平面 ，
所以 ，在 中，
．
22．【答案】（1）解：以D为原点， ， ， 方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（1，2，0）， =（1，2，0），
∴线段DE的长| |= = ．
（2）解：∵A1（2，0，2），E（1，2，0），∴ =（﹣1，2，﹣2），
∵平面ADD1A1的一个法向量 =（0，2，0），
∴cos＜ ， ＞= = = ，
∵直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值等于 ，
∴直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ．