8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习（含解析）

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．（高一下·通州期末）已知点A∈直线l，又A∈平面 ，则（　　）
A． B．
C． D． 或
2．（·浙江模拟）已知直线l、m和平面 ．若 ， ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（高二下·上海期中）当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（　　）
A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面
C．两条相交直线确定一平面 D．两条平行直线确定一平面
4．（高一上·黄陵期末）下列条件能唯一确定一个平面的是（　　）
A．空间任意三点 B．不共线三点
C．共线三点 D．两条异面直线
5．（·马鞍山模拟）设a，b为两条直线，则 的充要条件是（　　）
A．a，b垂直于同一条直线 B．a，b垂直于同一个平面
C．a，b平行于同一个平面 D．a，b与同一个平面所成角相等
6．（高一下·滨海期末）经过同一条直线上的3个点的平面（　　）
A．有且仅有1个 B．有无数个 C．不存在 D．有且仅有3个
7．（高一下·滁州期末）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2AB=2AP=2AD,则直线PB与平面PCD所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（高一下·岳阳月考）已知三条不同的直线m，n，l，三个不同的平面a，B，γ，给出下面四个命题：
① β∥γ ② β∥γ ③ m∥n ④ n∥α
其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二、多选题
9．（高三上·保定期末）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
10．（高三上·广东月考）设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则（　　）
A．在内存在直线与直线平行 B．在内存在直线与直线相交
C．在内存在直线与直线垂直 D．存在过直线的平面与垂直
11．（高二上·厦门开学考）设m，n是两条直线， ， 是两个平面，以下判断正确是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
12．（高二上·揭西期末）如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（　　）
A．MB是定值
B．点M在圆上运动
C．一定存在某个位置，使DE⊥A1C
D．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE
三、填空题
13．（高二上·浦东期中）公理2：不在同一直线上的　 　点确定一个平面.
14．（高一下·苏州月考）两个平面将空间分成　 　个部分.
15．（高二上·海淀期中）平面 的法向量为 ，若向量 ，则直线 与平面 的位置关系为　 　．
16．（高三上·金台月考）已知三个不同平面 、 、 和直线 ，下面有四个命题：
①若 ， ， ，则 ；②直线 上有两点到平面 的距离相等，则 ；③ ， ，则 ；④若直线 不在平面 内， ， ，则 .则正确命题的序号为　 　．
四、解答题
17．（高一下·肥城期中）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型 ，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交PB、PC、PD于点E、F、G，得到四棱锥 ；第二步，将剩下的几何体沿平面 切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG，若 ， ，请在图中的棱PD上作出点G，并说明作法及理由．
18．（高二上·庐阳月考）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且 ；
求证：
（1）点E，F，G，H四点共面；
（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．
19．（高二上·佛山月考）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是 、 的中点，
（1）证明点E、F、C、 D1 共面
（2）证明 、 、 三线交于一点
20．（高二上·乐山期末）如图，正方体 中，E、F分别是 、 的中点．求证： 、 、 三线共点．
21．（高一上·河南月考）
（1）已知某圆柱的体积为 ，侧面积为 ，求该圆柱的高与表面积；
（2）如图， ， 与 、 分别交于A、B两点， 与 、 分别交于C、D两点， ，证明：A、B、C、D、E五点共面.
22．（高一下·广东期中）如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】点A∈直线l，又A∈平面 ，则 与平面 至少有一个公共点，所以 或 ．
故答案为：D．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：充分性： ， ， ，故充分性成立．
必要性： ， ， ，则 与 平行或异面，故必要性不成立．
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故答案为：A．
3．【答案】B
【解析】【解答】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故答案为：B.
【分析】根据平面的特点，不在同一直线上三点可以确定一个平面，即可判断.
4．【答案】B
【解析】【解答】过直线与线外一点，有且只有一个平面；
所以不共线的三点能唯一确定一个平面；B符合题意；
共线的三点，不能唯一确定一个平面；空间中任意三点可能共线，A，C都错；
由异面直线的定义，可得：两条异面直线也不能唯一确定一个平面；D不符合题意.
故答案为：B
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A：若a，b都垂直同一直线，则a，b可能相交，平行，异面，A不符合题意，
B：由 ，得a，b垂直于同一个平面，是充分条件，
若a，b垂直于同一个平面，则 ，是必要条件，∴B符合题意，
C：若a，b平行于同一平面，则a，b可能相交，平行，异面，C不符合题意，
D：若a，b与同一平面所成角相等，则a，b可能相交，D不符合题意，
故答案为：B.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面，
∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，
∴有无数个平面，
故答案为：B．
7．【答案】A
【解析】【解答】取DP的中点，的中点,
可得且,又由且.可得且。
故四边形为平行四边形,
可得。
由底面得
又∵
∴
又由底面得
∵
∴平面，
可得,
故平面，
即⊥平面，
所以则直线与平面所成的角为。
设,则,可得 , ,
,在中 ,故
故答案为：A
8．【答案】B
【解析】【解答】 解：对于①，若 α⊥ γ， α⊥ β，则 γ与 β平行或相交，A故错误；
对于②，若 α∥ β， α∥ γ，则 β∥γ ，故②正确；
对于③，若l ⊥m， l ⊥ n， 则 m， n平行或相交或异面，故③错误；
对于④，若 m∥ n， m∥ α，则 n∥ α或 n在平面 α，故斯错误.
故选B.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故答案为：BD
10．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A选项，若在内存在直线与直线平行，且平面，则平面，
但直线与平面不一定平行，A不符合题意；
对于B选项，当直线平面，则平面内的直线与直线平行或异面，B不符合题意；
对于C选项，设、在内的射影点为、，连接，
存在直线平面，使得，因为，，则，
，则，，则平面，
平面，则，C对；
对于D选项，由C选项可知，，平面，则平面，
且平面，D对.
故答案为：CD.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】若 ， ，则 或 ，A不符合题意；
若 ， ，则 或 与 相交，B不符合题意；
垂直于同一个平面的两条直线平行，C符合题意；
垂直于两个平行平面中的一个，则垂直于另一个，D符合题意．
故答案为：CD
12．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：取DC的中点N，连接MN，NB，
则MN∥A1D，NB∥DE，
因为MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，
所以平面MNB∥平面A1DE，
因为MB 平面MNB，
所以MB∥平面A1DE，D符合题意；
∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，
根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos ∠MNB，所以MB是定值，A符合题意；
因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B符合题意；
在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE，即得DE⊥A1E，与∠DEA1为矛盾，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，C不正确.
故答案为： ABD.
13．【答案】三
【解析】【解答】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面
故答案为：三
14．【答案】3或4
【解析】【解答】两个平面平行时，将空间分成3部分；
两个平面相交时, 将空间分成4部分，
所以两个平面将空间分成3或4 部分，
故答案为3或4.
15．【答案】 平面 或 平面
【解析】【解答】由题意，平面 的法向量为 ，向量 ，
若 平面 ，则 成立，若 平面 ，则 平面 ，
∴直线 与平面 的位置关系为 平面 或 平面 ，
故答案为： 平面 或 平面 。
16．【答案】①③
【解析】【解答】对于命题①，若 ，则存在异于直线 的直线 ，当 垂直于平面 与 的交线时， ，又 ，则 ， ，且 ， ， ，命题①正确；
对于命题②，直线 上有两点到平面 的距离相等，则 与 平行或相交，命题②错误；
对于命题③，过直线 作平面 ，使得 ， ，由直线与平面平行的性质定理可知 ， ， ，又 ， ，命题③正确；
对于命题④，若直线 不在平面 内， ， ，则 或 ，命题④错误.
因此，正确命题的序号为①③.
故答案为：①③.
17．【答案】如图所示：
作法：连接FE并延长，与CB的延长线相交于点H，
连接HA并延长，与CD的延长线相交于点M，
连接MF，与PD相交于一点，则该点即为点G.
理由如下：
因为MH与FH是两条相交直线，所以MH与FH确定一个平面 ，
则 ， ， 、 、 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，A、E、F、G四点共面.
18．【答案】（1）解： 如图所示，连接EF，HG，
空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，
∴ 且 ．
又 ，∴ 且 ．
故 ，即E、F、G、H四点共面．
（2）解：由（1）知 且 ，
∴设EH与FG交于点P，
∵ 平面ABD，P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，且平面 平面 ，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
19．【答案】（1）解：连接 ，根据正方体的几何性质可知 .由于 分别是 的中点，所以 ，所以 ，所以 四点共面.
（2）解：由于 ，所以 与 延长后必相交，设交点为 ，由于 平面 ， 平面 ，根据公理3可知， 在平面 与平面 的交线 上，所以 、 、 三线交于一点
20．【答案】证明：连结 、 、 ，
由题可知 ，
∵E、F分别是 、 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴ 为梯形．
则可令 ．
由 面 ， 面 ，
∴ 面 面
∴ 、 、 共点于P．得证．
21．【答案】（1）解：设圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，解得 .
故该圆柱的表面积为
（2）解：因为 ，所以 ， 可以确定一个平面 .
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，又 ，所以 .
因为 ， ，所以 ， ，
从而A、B、C、D、E五点都在平面 内，即A、B、C、D、E五点共面.
22．【答案】解：连接GE， HF.
因为E， G分别为BC， AB中点， 所以 .
因为DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3，所以 .
从而GE∥HF且 ，故G， E， F， H四点共面且四边形 为梯形，
因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD， O∈平面BCD.
而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF， GH， BD交于一点