第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程 单元测试
一、单选题
1．（·内江模拟）以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（高二上·深圳期中）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，P是C上一点， 垂直于x轴， ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（高二上·安阳期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．（高一下·镇江期末）已知椭圆 （ ）过点 ，则实数a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（·钦州模拟）圆 上一动点 ，抛物线 上一动点 ，则 的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
6．（·南通模拟）双曲线 ( ， )的左 右焦点分别为 ， ，若 上存在点 满足 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（高二上·沧县期中）已知双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线 的离心率 ”是“双曲线 的渐近线方程为 ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（高二上·建瓯月考）已知 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 （　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
二、多选题
9．（高三上·汕头月考）椭圆 的焦距为 ，则 的值为（　　）
A．9 B．23 C． D．
10．（高二上·浙江期中）若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（　　）
A．若曲线为椭圆，则
B．若曲线为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11．（高二下·扬州月考）在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
12．（·潍坊模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，则以下说法正确的是（　　）
A． 的实轴长为 B． 的离心率为
C． D． 的焦距为
三、填空题
13．（高二上·西安期中）抛物线的焦点坐标为　 　.
14．（高二上·毕节期末）抛物线的焦点坐标为　 　．
15．（·湖北模拟）已知双曲线：，F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D：上一点，则的最小值为　 　.
16．（高二下·上海期末）如果曲线C上的动点P到定点 的距离存在最小值，则称此最小值为点 到曲线C的距离.若点 到圆 的距离等于它到直线 的距离，则点 的轨迹方程是　 　.
四、解答题
17．（高二上·河南月考）
（1）求经过点 且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程﹔
（2）求与双曲线 有公共的渐近线，且过点 的双曲线的标准方程.
18．（高二上·莆田期中）已知椭圆两焦点 、 且经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点 是椭圆上的一个点，且 ，求 的面积．
19．（高二上·绥德月考）叙述抛物线的定义，并推导抛物线的一个标准方程.
20．（·湛江模拟）已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.
（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
21．（高二上·宁波期中）已知椭圆 焦点为 ，且过点 ，椭圆第一象限上的一点 到两焦点 的距离之差为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的内切圆方程.
22．（高二上·南京月考）已知椭圆 ： ，点 为椭圆短轴的上端点， 为椭圆上异于 点的任一点，若 点到 点距离的最大值仅在 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.
（1）若 ，判断椭圆 是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆 是“圆椭圆”，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则 ，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 ，
则 ， ， .
则椭圆的标准方程为： .
故答案为：C.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 垂直于x轴， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以C的方程为 .
故答案为：C.
3．【答案】D
【解析】【解答】由题知： 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以
，
解得 。
故答案为：D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：因为椭圆过 ，所以 ， ，所以 ，
故答案为：B.
5．【答案】B
【解析】【解答】如下图所示，过点 作抛物线 的准线 的垂线 ，垂足为点 ，
抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心为 ，半径为1.
由抛物线的定义可得 ，则 ，
.
当且仅当 、 、 、 四点共线且点 、 在线段 上时， 取得最小值为2.
故答案为：B.
6．【答案】A
【解析】【解答】由 ，可知 ，又因为 为 的中点，
所以可得 .
根据题意设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
则 。
故答案为：A.
7．【答案】D
【解析】【解答】因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以双曲线 的离心率 或
双曲线 的离心率 时， ，所以双曲线 的渐近线方程为 或 ，
因此“双曲线 的离心率 ”是“双曲线 的渐近线方程为 ”的既不充分也不必要条件
故答案为：D
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得 ， ．由双曲线的定义可得 ，
， （舍去）
故答案为：A ．
9．【答案】A,B
【解析】【解答】解：椭圆 的焦距为 ，即 得 .
依题意当焦点在 轴上时，则 ，解得 ；
当焦点在 轴上时，则 ，解得 ，
∴ 的值为9或23.
故答案为：AB.
10．【答案】B,D
【解析】【解答】对于A， 当时，此时曲线为圆，A不符合题意，
对于B，若曲线为双曲线，则，即或， B对，
对于C， 若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，C不符合题意，
对于D， 曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对.
故答案为：BD
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】设椭圆的焦距为 ，由椭圆的定义可得 ，解得 ， ，
由题意可得 ，解得 ，又 ，所以， ，
所以，该椭圆离心率的取值范围是 .
故符合条件的选项为BCD.
故答案为：BCD.
12．【答案】A,D
【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，
∴ ，故 ，
∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上则有 ，焦距为 .
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
13．【答案】
【解析】【解答】当 时，整理抛物线方程得 ，即 ，
由抛物线 的焦点为 ，
所求焦点坐标为 .
当 时，同样可得.
故答案为： .
14．【答案】（25，0）
【解析】【解答】因为，所以，所以焦点的坐标为（25，0），
故答案为：（25，0）．
15．【答案】
【解析】【解答】双曲线：，
，设是双曲线的左焦点，
圆的圆心为，半径为.
根据双曲线的定义有，
由于是圆的一点，为定点，
所以当共线时，最小，
即最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：
16．【答案】
【解析】【解答】由题点 到圆 的距离等于点 到圆心 的距离减去半径.
当 时,显然不能满足点 到圆 的距离等于它到直线 的距离.故 ,此时 ,
两边平方有 .
故答案为：
17．【答案】（1）解：依题意，设椭圆的方程为 且 )，
因为椭圆过 两点，
所以
解得
因此，该椭圆的标准方程为 .
（2）设所求双曲线的方程为 ，
将点 代入双曲线方程得 ，
解得 ，
因此，所求双曲线的标准方程为 .
18．【答案】（1）解：由题意，设椭圆方程为 ，椭圆的半焦距为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）解：由余弦定理 ，
得 ，
∵点 是椭圆上的一个点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
19．【答案】解：⑴定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
⑵过点F作直线l的垂线，垂足为K.以线段FK的中点O为坐标原点，
以直线FK为x轴建立平面直角坐标系，如图.
设 ，则焦点F的坐标为 ，
准线l的方程为 .
设 是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.
则 .即 ，
化简得： ，
所以，所求标准方程为 .
20．【答案】（1）解：由题意得 ，即 ，解得 ，又 ，可得 ，故双曲线C的标准方程为
（2）解：设角平分线与 轴交于点 ，根据角平分线性质可得 ，
， ，
设 ，联立方程 ，可得
，
即OP与OQ不垂直
21．【答案】（1）解：椭圆 过点 ，且焦点为 ，则 ，解得： ，所以椭圆方程为： .
（2）解：由 ，
故内切圆半径 ，
所以内切圆方程为：
22．【答案】（1）解：由题意： ，则 ，
设 ，则 ， ，
二次函数开口向下，对称轴 ，在 上单调递减，
∴ 时函数值最大，此时 为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）解：由（1）：椭圆方程： ， ，
设 ，则 ， ， ，
∴二次项系数 ，函数开口向下，
由题意得，当且仅当 时函数值达到最大，
∴ ，解得： ，
综上， 的范围为 .