第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 428.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-02 16:14:13 | ||
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文档简介
空间向量与立体几何 单元测试
一、单选题
1．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为正方形，
且 ， 为 的重心，则 与底面 所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
2．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
3．已知直线：，下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为 B．直线的法向量为
C．直线的方向向量为 D．直线的斜率为
4．如果向量 ， ， 共面，则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
5．已知空间向量，，则（ ）
A． B．6 C．36 D．40
6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥 中， ， 是斜边 的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线 与 所成的角为90°；②直线 平面 ；③平面 平面 ；④点 到平面 的距离是 .
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD每个顶点都在球O的球面上， ， ， ，且 ，若球O的体积为 ，则棱PB的中点到平面PCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下说法正确的是（ ）
A．设 、 是两个空间向量，则 、 一定共面
B．设 、 是两个空间向量，则
C．设 、 、 是三个空间向量，则 、 、 一定不共面
D．设 、 、 是三个空间向量，则
10．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
11．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（）
A．当时，直线平面
B．当时，线段CP长度的最小值为
C．当时，直线CP与平面所成的角不可能为
D．当时，存在唯一点P使得直线DP与直线所成的角为
12．如图，在长方体 中， ，点P满足 ， ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A．当 时，
B．当 时， 平面
C．当 ， 时，三棱锥 的体积为定值
D．当 ， 时， 与平面 所成角的正切值为
三、填空题
13．若向量 ，且 夹角的余弦值为 ．
14．已知向量，，若，则 ．
15．已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ．
16．点S、A、B、C在半径为 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 ， ，则点S与 中心的距离为 ．
四、解答题
17．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 是等腰直角三角形， .
（1）证明： ；
（2）若 与平面 所成角的大小为 ， ，求点 到平面 的距离.
18．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，．
（1）证明：．
（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.
19．已知向量，，求：
（1）求向量与；
（2）求向量与的夹角.
20．已知正方形ABCD的边长为2， 平面 ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
（Ⅰ）求点 的坐标；
（Ⅱ）求 ．
21．已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
22．如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.
（1）证明：；
（2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
（3）求点D到平面AMP的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：建立如图空间直角坐标系，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意得P(0，0，1)，，则，
∵底面ABCD的法向量，设PG与底面所成的角为α
∴
故答案为：C
2．【答案】C
【解析】【解答】对于A选项， ，所以， 、 、 共面，A选项不满足条件；
对于B选项， ，所以， 、 、 共面，B选项不满足条件；
对于C选项，假设 、 、 共面，则 ，
从而可知 、 、 共面，矛盾，C选项满足条件；
对于D选项， ，故 、 、 共面，D选项不满足条件.
故答案为：C.
3．【答案】C
【解析】【解答】直线：的斜率为，则倾斜角为，A，C不正确.
所以向量为直线的方向向量，C符合题意.
与直线垂直的直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的方向向量为
又向量与向量不平行，故不是直线的法向量，B不正确.
故答案为：C
4．【答案】B
【解析】【解答】由于向量 ， ， 共面，
设 ，可得 ，解得 .
故答案为：B.
5．【答案】B
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
6．【答案】B
【解析】【解答】因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，故其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
故答案为：B.
7．【答案】D
【解析】【解答】由题意, 则
由 是斜边 的等腰直角三角形,可得
且
所以 平面 ,即 ,故①正确；
由①得 ,
根据 ,即
且
所以 平面 ,故②正确
因为 平面
所以平面 平面 ,故③正确；
取 的中点 ,连接
可证得 平面 ,
故 的长度即为 到平面 的距离 ,所以④正确.
综上可知,正确的为①②③④
故答案为：D
8．【答案】B
【解析】【解答】 ， ， ，
，又 ， ， 平面ABCD， 平面ABCD，
平面ABCD.
底面ABCD为矩形， 侧棱PC为球O的直径，
设球O的半径为R，则 ，即 ，
又 ，解得 .
过A作 于G，取棱PA的中点F，连接EF.
易证 平面APD，则 ，
， ， ， 平面PCD， 平面PCD，
平面PCD.
，即 ，
可得 ，
则F到平面PCD的距离为 ，
， ， ，
则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，
故棱PB的中点到平面PCD的距离为 .
故答案为：B
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知 ，B对；
对于C选项，在 中， ， ， ，则 、 、 共面，C不符合题意；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得 ，D对.
故答案为：ABD.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
11．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A，当 时， ，即点 在线段 上，利用正方体的性质，易证平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，A符合题意；
对于B，当 时，可知 三点共线，线段 在 中，当点 为 中点时， 最小，此时 ， ，故 长度的最小值为 ，B符合题意；
对于C，当 时，可知 三点共线，点 在平面 内的射影为 在线段 上，则 为 与平面 所成的角， ，又 ，所以 ，而 ，所以 与平面 所成的角不可能为 ，C符合题意；
对于D， 当 时， ，设 的中点为 ，则 ，即 ，即点 为 中点，此时 ，D不符合题意；
故答案为：ABC.
12．【答案】B,C,D
【解析】【解答】以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， ；
对于A，设 ，则 ，
又 ， ， 不恒成立，A不符合题意；
对于B，当 时， 四点共面，即 平面 ；
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得： 平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，B符合题意；
对于C，设 ，则 ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ；
平面 ， 平面 的一个法向量为 ，
点 到平面 的距离 ，又 ，
，即三棱锥 的体积为定值 ，C符合题意；
对于D，当 ， 时， ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，
平面 ， 平面 的一个法向量 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
，即 与平面 所成角的正切值为 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
13．【答案】
【解析】【解答】 ，
故答案为：
14．【答案】-2
【解析】【解答】由于，所以.
故答案为：-2
15．【答案】；
【解析】【解答】（1）当是的中点时，
连接，由于，
所以四点共面，所以平面即平面，
根据正方体的性质可知，四边形是等腰梯形，
，
所以等腰梯形的高为，
所以截面面积为.
（2）当是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
，
设，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
，
所以到平面的距离为，
，
所以当，时，到平面的距离取得最小值为.
故答案为：；
16．【答案】
【解析】【解答】如图所示：
设 的外接圆的圆心为 .连接 过 作 于点 .
因为 .
所以 的外接圆半径 .
所以 .
因为点S到平面ABC的距离为 , 平面 ,
所以 .即
在 中： .
所以 .
故填： .
17．【答案】（1）因为 ， ，所以 ，
因为平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，
于是 .
在等腰直角三角形 中， ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
所以 .
（2）由（Ⅰ）知 平面 ，所以 与平面 所成的角即 ，
结合已知可得 ， ， ， ， .
可得 是以 为斜边的直角三角形.
设点 到平面 的距离为 ，则 .
又因为 ，
所以 ， .
18．【答案】（1）证明：连接DE．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面．
因为，所以平面BDE，所以．
（2）解：由（1）可知．
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直．
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设．则，，．从而，．
设平面BCE的法向量为，
则令，得．
平面ABC的一个法向量为．
设二面角为，由图可知为锐角，
则．
19．【答案】（1）解：，.
（2）解：，，，
，
∴.
20．【答案】解：（Ⅰ）由题意有： ， ，
， ，
（Ⅱ）∵ ，
∴ ，
∴
21．【答案】（1）证明：由直三棱柱，以及，
可建立如图所示空间直角坐标系，
因为为等腰直角三角形且，
则
为平面的一个法向量，，
，即，
又平面，
平面；
（2）解：
设为平面的一个法向量，，
，取，
设直线与平面所成角为，
则，
又，，
即直线与平面所成角余弦值为．
22．【答案】（1）证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）
依题意，可得，，，，
，，
，
即，；
（2）解：设为平面PAM的法向量，
则，即，
取，得，
取，显然为平面ABCD的一个法向量，
，
故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为；
（3）解：设点D到平面AMP的距离为d，
由可知与平面PAM垂直，
则，
即点D到平面AMP的距离为
一、单选题
1．如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 为正方形，
且 ， 为 的重心，则 与底面 所成的角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
2．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
3．已知直线：，下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为 B．直线的法向量为
C．直线的方向向量为 D．直线的斜率为
4．如果向量 ， ， 共面，则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
5．已知空间向量，，则（ ）
A． B．6 C．36 D．40
6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥 中， ， 是斜边 的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线 与 所成的角为90°；②直线 平面 ；③平面 平面 ；④点 到平面 的距离是 .
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知底面为矩形的四棱锥P-ABCD每个顶点都在球O的球面上， ， ， ，且 ，若球O的体积为 ，则棱PB的中点到平面PCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下说法正确的是（ ）
A．设 、 是两个空间向量，则 、 一定共面
B．设 、 是两个空间向量，则
C．设 、 、 是三个空间向量，则 、 、 一定不共面
D．设 、 、 是三个空间向量，则
10．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
11．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（）
A．当时，直线平面
B．当时，线段CP长度的最小值为
C．当时，直线CP与平面所成的角不可能为
D．当时，存在唯一点P使得直线DP与直线所成的角为
12．如图，在长方体 中， ，点P满足 ， ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A．当 时，
B．当 时， 平面
C．当 ， 时，三棱锥 的体积为定值
D．当 ， 时， 与平面 所成角的正切值为
三、填空题
13．若向量 ，且 夹角的余弦值为 ．
14．已知向量，，若，则 ．
15．已知正方体的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为，当点N为的中点时，平面截正方体的截面的面积为 ．点到平面的距离的最小值为 ．
16．点S、A、B、C在半径为 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 ， ，则点S与 中心的距离为 ．
四、解答题
17．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 是等腰直角三角形， .
（1）证明： ；
（2）若 与平面 所成角的大小为 ， ，求点 到平面 的距离.
18．如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，．
（1）证明：．
（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.
19．已知向量，，求：
（1）求向量与；
（2）求向量与的夹角.
20．已知正方形ABCD的边长为2， 平面 ABCD，且PA=2，E是PD中点．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
（Ⅰ）求点 的坐标；
（Ⅱ）求 ．
21．已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，D，E，F分别为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
22．如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.
（1）证明：；
（2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
（3）求点D到平面AMP的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：建立如图空间直角坐标系，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意得P(0，0，1)，，则，
∵底面ABCD的法向量，设PG与底面所成的角为α
∴
故答案为：C
2．【答案】C
【解析】【解答】对于A选项， ，所以， 、 、 共面，A选项不满足条件；
对于B选项， ，所以， 、 、 共面，B选项不满足条件；
对于C选项，假设 、 、 共面，则 ，
从而可知 、 、 共面，矛盾，C选项满足条件；
对于D选项， ，故 、 、 共面，D选项不满足条件.
故答案为：C.
3．【答案】C
【解析】【解答】直线：的斜率为，则倾斜角为，A，C不正确.
所以向量为直线的方向向量，C符合题意.
与直线垂直的直线的斜率为，所以与直线垂直的直线的方向向量为
又向量与向量不平行，故不是直线的法向量，B不正确.
故答案为：C
4．【答案】B
【解析】【解答】由于向量 ， ， 共面，
设 ，可得 ，解得 .
故答案为：B.
5．【答案】B
【解析】【解答】由题意，.
故答案为：B
6．【答案】B
【解析】【解答】因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，故其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
故答案为：B.
7．【答案】D
【解析】【解答】由题意, 则
由 是斜边 的等腰直角三角形,可得
且
所以 平面 ,即 ,故①正确；
由①得 ,
根据 ,即
且
所以 平面 ,故②正确
因为 平面
所以平面 平面 ,故③正确；
取 的中点 ,连接
可证得 平面 ,
故 的长度即为 到平面 的距离 ,所以④正确.
综上可知,正确的为①②③④
故答案为：D
8．【答案】B
【解析】【解答】 ， ， ，
，又 ， ， 平面ABCD， 平面ABCD，
平面ABCD.
底面ABCD为矩形， 侧棱PC为球O的直径，
设球O的半径为R，则 ，即 ，
又 ，解得 .
过A作 于G，取棱PA的中点F，连接EF.
易证 平面APD，则 ，
， ， ， 平面PCD， 平面PCD，
平面PCD.
，即 ，
可得 ，
则F到平面PCD的距离为 ，
， ， ，
则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，
故棱PB的中点到平面PCD的距离为 .
故答案为：B
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知 ，B对；
对于C选项，在 中， ， ， ，则 、 、 共面，C不符合题意；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得 ，D对.
故答案为：ABD.
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
11．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A，当 时， ，即点 在线段 上，利用正方体的性质，易证平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，A符合题意；
对于B，当 时，可知 三点共线，线段 在 中，当点 为 中点时， 最小，此时 ， ，故 长度的最小值为 ，B符合题意；
对于C，当 时，可知 三点共线，点 在平面 内的射影为 在线段 上，则 为 与平面 所成的角， ，又 ，所以 ，而 ，所以 与平面 所成的角不可能为 ，C符合题意；
对于D， 当 时， ，设 的中点为 ，则 ，即 ，即点 为 中点，此时 ，D不符合题意；
故答案为：ABC.
12．【答案】B,C,D
【解析】【解答】以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， ；
对于A，设 ，则 ，
又 ， ， 不恒成立，A不符合题意；
对于B，当 时， 四点共面，即 平面 ；
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得： 平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，B符合题意；
对于C，设 ，则 ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ；
平面 ， 平面 的一个法向量为 ，
点 到平面 的距离 ，又 ，
，即三棱锥 的体积为定值 ，C符合题意；
对于D，当 ， 时， ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ，
平面 ， 平面 的一个法向量 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
，即 与平面 所成角的正切值为 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
13．【答案】
【解析】【解答】 ，
故答案为：
14．【答案】-2
【解析】【解答】由于，所以.
故答案为：-2
15．【答案】；
【解析】【解答】（1）当是的中点时，
连接，由于，
所以四点共面，所以平面即平面，
根据正方体的性质可知，四边形是等腰梯形，
，
所以等腰梯形的高为，
所以截面面积为.
（2）当是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
，
设，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
，
所以到平面的距离为，
，
所以当，时，到平面的距离取得最小值为.
故答案为：；
16．【答案】
【解析】【解答】如图所示：
设 的外接圆的圆心为 .连接 过 作 于点 .
因为 .
所以 的外接圆半径 .
所以 .
因为点S到平面ABC的距离为 , 平面 ,
所以 .即
在 中： .
所以 .
故填： .
17．【答案】（1）因为 ， ，所以 ，
因为平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，
于是 .
在等腰直角三角形 中， ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
所以 .
（2）由（Ⅰ）知 平面 ，所以 与平面 所成的角即 ，
结合已知可得 ， ， ， ， .
可得 是以 为斜边的直角三角形.
设点 到平面 的距离为 ，则 .
又因为 ，
所以 ， .
18．【答案】（1）证明：连接DE．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面．
因为，所以平面BDE，所以．
（2）解：由（1）可知．
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直．
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设．则，，．从而，．
设平面BCE的法向量为，
则令，得．
平面ABC的一个法向量为．
设二面角为，由图可知为锐角，
则．
19．【答案】（1）解：，.
（2）解：，，，
，
∴.
20．【答案】解：（Ⅰ）由题意有： ， ，
， ，
（Ⅱ）∵ ，
∴ ，
∴
21．【答案】（1）证明：由直三棱柱，以及，
可建立如图所示空间直角坐标系，
因为为等腰直角三角形且，
则
为平面的一个法向量，，
，即，
又平面，
平面；
（2）解：
设为平面的一个法向量，，
，取，
设直线与平面所成角为，
则，
又，，
即直线与平面所成角余弦值为．
22．【答案】（1）证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）
依题意，可得，，，，
，，
，
即，；
（2）解：设为平面PAM的法向量，
则，即，
取，得，
取，显然为平面ABCD的一个法向量，
，
故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为；
（3）解：设点D到平面AMP的距离为d，
由可知与平面PAM垂直，
则，
即点D到平面AMP的距离为