2.2.1 函数的概念 教案（表格式）

教学设计
课 题 2.2.1 函数概念
课时安排 1课时 课前准备
教材内容 分 析 本节课是对函数概念的再认识， 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上， 是利 用集合语言和对应关系来刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画 函数概念中的作用.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.同时它也对前面学习的集合做了巩固和发展.
设计理念 通过学生回顾初中函数的定义过程引出课题， 以课本为基础，紧紧围绕基础知识，在教 师设置的问题引导下，学生通过自主学习、小组合作交流，例题讲解和练习，在学生经历函数概念的形成过程， 渗透归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力.
学情分析 学生在初中已经知道常量和变量的含义，但是学生在初中阶段对函数的理解仅限于两个 变量x和y的函数关系式， 虽然通过集合的学习，为函数重新定义提供了知识保证， 但对于函 数的概念理解并不准确，引入用集合语言去概括函数的定义对于学生自行概括还是有一定难度.
教学目标 2.1 基础知识与基本技能目标 ①通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的三种重要数学模型，在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；②了解 构成函数的要素及同一函数的概念； ③掌握简单函数的定义域的求解， 理解函数的定义. 2.2 思想方法目标 通过对函数再定义，培养学生模型化的思想及通过学生自身对问题的分析、抽象概括， 培养学生分析能力、归纳方法、函数观念及探讨精神. 2.3 活动经验目标 ①通过“学生自身对实际问题的分析”的过程，积累概念生成的活动经验； ②在学习过程中学会用数学语言来进行表达和交流的经验. 2.4 核心素养目标 ①通过集合观点对函数概念再定义的过程，提升学生数学抽象和概括能力的核心素养； ②通过从特殊到一般的概括过程，培养学生的一定的抽象、概括能力.
教学重难点 教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念． 教学难点：函数概念及符号“y＝f(x)，x∈A”的理解．
教学过程
教学环节（一） 师生活动 一、整体概览 问题1：阅读课本第54页，回答下列问题： （1）本章将要研究哪类问题？ （2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？ （3）本章研究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容． 预设的答案：（1）本章将要研究函数的概念、性质及其应用；（2）函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础；（3）起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世界中各种各样的运动变化规律．
设计意图 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
教学环节（二） 师生活动 二、问题导入 问题2：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x． （1）l是x的函数吗？（2）这个函数与正比例函数y＝4x是同一个函数吗？ 师生活动：学生先回忆初中所学的函数概念，分析：在这个变化过程中，有两个变量x与l，并且对于x的每一个确定的值，l都有唯一确定的值与其对应，那么l是x的函数． 预设的答案：问题（1）的答案是肯定的．问题（2）的争议较大，答案悬而未决．
设计意图 设计意图：用学生熟悉的例子导入，唤醒学生已有的知识经验—基于变量关系的函数定义，但是用初中的定义又不能清晰地解决问题（2），制造一种熟悉又陌生的感觉，激起学生的疑惑，激发学生的兴趣．
教学环节 （三） 师生活动 三、新知探究 1．分析实际问题，感知函数的共同特征，逐步发现构成函数的要素 问题3：阅读材料，回答问题： 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：h）的关系可以表示为S＝350t． （1）S＝350t是函数吗？为什么？（2）有人说：“根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km．”你认为这个说法正确吗？ 师生活动： 问题（1），学生判断并说明理由，因为t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数； 问题（2），学生可能会出错，老师应该引导学生关注时间t的变化范围． 追问1：能否根据现有条件回答“24 h时对应的距离是多少？”为什么？（不能，因为半小时之后列车的运行状况未知．） 追问2：这个说法犯了什么错误？（忽略了时间t的变化范围．） 追问3：你认为如何描述才能准确反映实际问题？（在S＝350t的基础上，给时间t备注上范围．） 教师点拨：学生的回答可能不够严谨，老师用精确的语言描述问题2中S与t的对应关系．为学生做示范： 列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是 S＝350t．① 其中，t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集B1＝{S|0≤S≤175}．对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． 问题4：阅读材料，回答问题： 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资． （1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ （2）问题3与问题4中函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ （3）请同学们模仿问题3给出的精确描述，准确地反映实际问题． 师生活动：（1）学生直接回答：w＝350d，w是工作天数d的函数． （2）学生判断并说明理由．不是同一个函数．因为在函数S＝350t中，0≤t≤0.5；在函数w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，虽然两个函数的对应关系相同，但是自变量的取值范围不同． （3）学生描述：工资w与一周工作天数d的对应关系：w＝350d．② 其中，d的变化范围是数集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应． 问题5：阅读材料，回答问题： 图1是北京市2016年11月23日空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图． （1）I是t的函数吗？为什么？ （2）模仿前两个问题，用精确的集合语言和对应关系描述这个实际问题． 师生活动：学生独立完成有困难，教师通过追问帮助学生思考． 追问1：①通过图形能确定唯一的I与之对应，怎么找？（在横轴上，过t0作垂线交曲线与点（t0，I0），I0就是与t0对应的值．） ②从所给的图中确定11月24日12：00的AQI的值吗？为什么？（不能，因为时间不在图象覆盖的范围内．） 预设的答案：从图1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在数集B3＝{I|0＜I＜150}．对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中曲线所给的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应． 因此，这里的I是t的函数． 问题6：阅读材料，回答问题： 国际上常用恩格尔系数r（r＝）反应一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高． （1）你认为按表1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？ （2）如果是，这个函数有解析式吗？如何描述这个函数？ 师生活动： 学生在回答问题时可能会把年份y的范围写成：{y|2006≤y≤2015}，这个素材正好可以帮助学生理解函数定义中的“值域是集合B的子集”． 预设的答案：（1）r是y的函数．因为对于2006到2015年中任一个年份y，根据表1，都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应． （2）这个函数没有解析式．从表格1可知，y的取值范围是数集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格尔系数r的取值范围是数集B4＝{r|0＜r≤1}．对于数集A4中的任一个年份y，根据表1所给的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应．
设计意图 通过创设问题情境，让学生意识到除了关注对应关系之外，还必须明确自变量的取值范围也是函数的一个重要构成要素，提升了对函数概念的认识．问题4与问题3的解析式相同但是定义域不同，是离散型函数．让学生模仿问题3给出描述，并且对两者进行比较，使学生进一步体会关注自变量的取值范围的重要性． 问题5是用图象表示的函数关系，通过这个例子强化学生对图象类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫． 问题6是用表格表示的函数关系，通过这个例子强化学生对表格类型的对应关系的认识，并认识到不是所有的函数都能用解析式表示，为引入抽象符号表示函数做铺垫．
教学环节 （四） 师生活动 2．在大量实例感知的基础上，抽象出函数概念 问题7：上述问题3~问题6中的函数有哪些共同特征？由此你能抽象出函数概念的本质特征吗？ 师生活动：学生先独立思考，之后组内讨论，找到构成要素，老师指导总结，给出准确的概念． 上述问题的共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用A，B来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 函数的定义域，对应关系和值域也叫函数的三要素． 教师点拨：至此已经形成了函数的概念，请你阅读课本第63页，并背会函数的定义． 追问：值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？ 预设的答案：值域与集合B不一定相等，值域是集合B的子集，具体例子见问题6． 3．辨析概念 问题7：你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝（k≠0）吗？从哪几个角度描述？ 师生活动：学生先独立完成，最后填表汇总，教师有针对性地指导纠正． 函数一次函数二次函数反比例函数a＞0a＜0对应关系定义域值域
设计意图 用新的方式阐述熟悉的函数，使学生熟悉新的语言，进一步体会集合—对应说函数定义的精确性和普适性．
教学环节 （五） 师生活动 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等． 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x（10－x）来描述． 师生活动：先让学生思考，展示其想到的不同情境． 预设的答案： 把y＝x（10－x）看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}．对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一的数x（10－x）． 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设其一边长为x，面积为y，那么y＝x（10－x）． 其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是 B＝{y|0＜y≤25}．对应关系f把每一个长方形的周长x，对应到唯一确定的面积x（10－x）．
设计意图 一个解析式对应多种问题情境，让学生感受函数能解决一类问题的作用，让学生感受函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型．
板书设计 上述问题的共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用A，B来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 函数的定义域，对应关系和值域也叫函数的三要素．
教学反思 本节课主要是概念讲述，在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，提升学生的数学抽象素养。理解了函数的概念，对于画函数图象，学生就是觉得简单很多，特别是分段函数的图象。