【高中数学北师大版必修第一册同步练习】 期末综合题题一（含答案）

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【高中数学北师大版必修第一册同步练习】
期末综合题题一
一、单选题
1．按从小到大顺序排列的 9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则等于（　　）
A．40 B．45 C．48 D．62
2．若，，，则a，b，c的人小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
4．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
5．设m∈N，若函数f（x）=2x﹣m ﹣m+10存在整数零点，则符合条件的m的取值个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．下列函数为偶函数的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，则（　　）
A．是偶函数． B．
C．是奇数 D．的最大值为3
三、填空题
10．若，则　 　.
11．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为　 　.
12．若 ，则 　 　.
13．已知 ， ，且 ，则 的最小值是　 　．
14．已知，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足，则可以为　 　．（填一个值即可）
15．已知函数，当时，恒成立，则实数b的取值范围是　 　．
16．已知x，y，z分别满足下列关系： ， ， ，则.x，y，的大小关系（从小到大书写)：　 　
四、解答题
17．某班有男生27名，女生18名，用分层抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参加献爱心活动.
（1）求从该班男生、女生中分别抽取的人数；
（2）为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生中随机抽取2名，求这2名学生均为女生的概率.
18．已知函数 ， .
若曲线 与曲线 在它们的交点 处必具有公共切线，求a，b的值.
19．0＜a＜1，0＜b＜1且ab=ba，试比较a与b的大小．
20．已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB）， =cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．
求角C的大小；
21．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的 倍，求a的值．
22．
（1）证明：函数在上单调递减.
（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.
23．已知函数f(x)＝mx＋3，g(x)＝x2＋2x＋m.
（1）求证：函数f(x)－g(x)必有零点；
（2）设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
2．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
3．【答案】B
【知识点】基本不等式
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
5．【答案】C
【知识点】根的存在性及根的个数判断
6．【答案】B
【知识点】函数的图象
7．【答案】D
【知识点】函数零点存在定理
8．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
10．【答案】{x|0＜x＜2}
【知识点】交集及其运算
11．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
12．【答案】
【知识点】换底公式的应用
13．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】5（大于等于5的正整数均可）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
15．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
16．【答案】y＜x＜z
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
17．【答案】（1）解：设从该班男生、女生中抽取的人数分别为，则，
从该班男生、女生中抽取的人数分别为，
（2）解：记参加活动的名男生分别为，名女生分别为
则随机抽取名学生的所有基本事件为：
，共个
记“名学生均为女生”为事件，则事件包含的基本事件只有个：
【知识点】古典概型及其概率计算公式
18．【答案】解： ， .
因为曲线 与曲线 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以 ，且 ，
即a+1=1+b，且2a=3+b，
解得a=3，b=3.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
19．【答案】解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，且ab=ba，∴ ＞1，
当a＞b时应有 =ba﹣b，此等式的左边大于1，右边大于0且小于1，故此等式不成立，
故a＞b不可能．
当a＜b时， ＞1，由条件得 ab﹣a= ，此等式的左边大于0且小于1，
右边大于1，故此等式不成立，故a＜b不可能．
当a=b时，ab=ba 恒成立，
综上，只有a=b
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
20．【答案】解：∵=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），
∴ =cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，
化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，
故cosC=（cosC=﹣1舍去）
∵C∈（0，π），∴C=．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
21．【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t，可得：4x+3y﹣8=0；
由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0），可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y，ρ2=x2+y2
可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2﹣ay=0，即 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0， ）半径r= ，
直线方程为4x+3y﹣8=0；
那么：圆心到直线的距离d=
直线l截圆C的弦长为 =2
解得：a=32或a=
故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的 倍时a的值为32或
【知识点】参数方程化成普通方程
22．【答案】（1）解：由题意证明如下，
在中，.
令函数.
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以当时，恒成立，
故在上单调递减.
（2）解：由题意及（1）得，
在中，，
.
令函数.
当，即或时，
存在，使得当时，，
即在上单调递减.
因为，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，
不符合题意.
当，即时，
存在，使得当时，，
即在上单调递增.
因为，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，符合题意.
当，即时，
.
结合（1）可得在上单调递减，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以在上单调递减，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
23．【答案】（1）证明； =0有解， 则 恒成立， 所以方程 =0有解 函数 必有零点
（2）解： = ①令 0则 当 ， 时 恒成立 所以， = ， 在 上是减函数，则 ② ， 时 = 因为 在 上是减函数 所以方程 =0的两根均大于0 得到m>6 或者一根大于0而另一根小于0且 ， 得到m 。 综合①②得到 的取值范围是
【知识点】函数的零点与方程根的关系
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