1．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．
2．点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内．
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
3．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．
4．圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
5．空间直角坐标系
(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应．
(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离
|P1P2|＝.
(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点．
题型一 求圆的方程
求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程．
例1 有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
解 方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，
得
解得a＝5，b＝，r2＝.
∴圆的方程为(x－5)2＋2＝.
方法二 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，
得解得
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
方法三 设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又kAB＝＝－2，∴kBP＝，
∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.
解方程组得
∴P(7,3)．∴圆心为AP中点，半径为|AC|＝.∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.
跟踪演练1 已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．
解 方法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
其圆心为.
∵圆过点A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①
又圆心在直线2x＋y＝0上，
∴2·＋＝0，即2D＋E＝0.②
将y＝x－1代入圆方程得
2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.
Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③
将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，
即D2＋20D＋36＝0，∴D＝－2或D＝－18.
代入①②，得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.
方法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圆心为(a，－2a)．
又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．
(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．
例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
解 (1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0.
即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝
－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值范围有无穷多个，
所以或
解得或
这样点P只可能是点P1或点P2.
经检验点P1和P2满足题目条件．
跟踪演练2 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
解 (1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
作示意图如图，作MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中，
|BC|＝，|MB|＝2，
故|MC|＝＝1，
由点到直线的距离公式得＝1，
解得k＝.
所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
且|AB|＝2，所以适合题意．
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
题型三 与圆有关的最值问题
在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围．
例3 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值．
解 (1)显然可以看作是点
P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
跟踪演练3 当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 曲线y＝1＋是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．
设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.
直线PA的斜率为k1＝.
所以，实数k的取值范围是
题型四 分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论．
例4 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋
(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．
解 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.
①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知2＋2＝52，
解得k＝－，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.
综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
跟踪演练4 如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解 (1)设圆A的半径为r.
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
则由|AQ|＝＝1，得k＝.
直线方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果．
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．4．3 空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系
4．3.2 空间两点间的距离公式
[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式．
[知识链接]
在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为，两点间的距离为.
[预习导引]
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
3．空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝.
(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离
|P1P2|＝.
4．空间中的中点坐标公式
在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是.
要点一 求空间中点的坐标
例1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．
解 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，AO＝×2＝，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，
C1(0，－1,3)．
规律方法 1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
跟踪演练1 画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．
(1)求各顶点的坐标；
(2)求棱C1C中点的坐标；
(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标．
解 建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.
(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)．
(2)棱CC1的中点为M.
(3)面AA1B1B对角线交点为N.
要点二 求空间中对称点的坐标
例2 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
规律方法 任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是
P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z)．
求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．
跟踪演练2 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．
解 如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)．
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，
则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2,1)．
∴点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；
点A(1,2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2,1)．
(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)
要点三 空间中两点之间的距离
例3 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
解 (1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.
∴AC边上中线的长度为 ＝.
规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键．
跟踪演练3 已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．
(1)求P、Q之间的距离；
(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.
解 (1)|PQ|＝＝.
(2)设M(0,0，z)由|MP|＝|MQ|，
得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，
∴z＝－6.∴M(0,0，－6).
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
答案 C
解析 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．
2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
答案 A
解析 点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
答案 D
解析 由题意得＝2解得x＝－2或x＝6.
4．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．
答案 (4,0，－1)
解析 设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴中点坐标为(4,0，－1)．
5．在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，－1)间的距离为________．
答案
解析 |AB|＝＝.
1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．
2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．
3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．
一、基础达标
1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
答案 B
解析 由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．
2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B. C．5 D．2
答案 B
解析 由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝.
3．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为( )
A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)
C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)
答案 C
解析 点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．
4. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C．a D.a
答案 B
解析 由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，则|EF|＝
＝a.
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)则|AB|的最小值是( )
A．3 B．3
C．2 D．2
答案 B
解析 |AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2
＝5a2＋10a＋59
＝5(a＋1)2＋54.
∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54.
∴|AB|min＝＝3.
6．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
答案 (0,0,3)
解析 设P(0,0，c)，由题意得
＝
解之得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3).
7. 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．
解 根据已知条件可得|A1C1|＝2，
由|MC1|＝2|A1M|，可得
|A1M|＝，如图所示，
以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1的中点可得N(1,2,2)．
∴|MN|＝ ＝.
二、能力提升
8．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是( )
A. B．2 C. D．3
答案 C
解析 BC的中点坐标为M(1,1,0)，
又A(0,0,1)，∴|AM|＝＝.
9．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.∴＝.
10．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝________.
答案 10
解析 ∵点B的坐标为B(2，－3，－5)，
∴|AB|＝＝10.
11. 如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
三、探究与创新
12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长．
解 如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，
设点E的坐标为(x，y,0)，
在坐标平面xOy内，直线AC的方程为＋＝1，
即2x＋y－4＝0，又DE⊥AC，直线DE的方程为x－2y＝0.
由得∴E(，，0)．
∴|B1E|＝ ＝，
即B1E的长为.
13．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0求：(1)MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小．
解 (1)∵面ABCD⊥面ABEF，
面ABCD∩面ABEF＝AB，AB⊥BE，BE 平面ABEF，∴BE⊥面ABCD.
∴AB、BC、BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.
∵CM＝BN＝a，∴CH＝MH＝BG＝GN＝a，
∴以B为坐标原点，
以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则M、N.
∴|MN|＝
＝＝ (0(2)∵|MN|＝，
故当a＝时，|MN|min＝，
这时M、N恰好为AC1BF的中点．4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系．
[知识链接]
1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．
2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．
3．平面上两点间的距离公式d＝.
[预习导引]
1．圆的定义及圆的标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
(2)圆的标准方程
2．点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|>r，则点M在圆外；
若|CM|(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：
点M(m，n)在圆C上 (m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外 (m－a)2＋(n－b)2>r2；
点M(m，n)在圆C内 (m－a)2＋(n－b)2要点一 点与圆的位置关系
例1 已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞)．
规律方法 判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．
对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上，
③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．
跟踪演练1 点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
答案 A
解析 把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．
要点二 求圆的标准方程
例2 求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 设点C为圆心，
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
跟踪演练2 以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
答案 D
解析 ∵点A(－3，－1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2)，
∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，
半径r＝＝5.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
要点三 圆的方程的综合应用
例3 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得C(3,0)r＝＝2，
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)圆心C到直线x－y＋1的距离
d＝＝2.
∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.
规律方法 解答例3应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解．
跟踪演练3 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
解 设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， D．(2，－3)，
答案 D
解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝
答案 B
解析 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.
3．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．
4．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．
答案 5
解析 C1圆心为(5,3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝＝5.
5．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________．
答案 x2＋(y－1)2＝1
解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
一、基础达标
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析 由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案 D
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
答案 A
解析 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
4．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．－C．－≤a≤ D．－1≤a≤1
答案 D
解析 由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.
∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.
5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________________．
答案 x2＋(y－2)2＝1
解析 设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，
把(1,2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
6．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则
的最大值为________．
答案 1＋
解析 的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为＋1.
7．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解 (1)PQ的方程为x＋y－1＝0，
PQ中点M，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
二、能力提升
8．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝＝.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
9．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1 C. D.
答案 B
解析 由几何意义可知最小值为14－＝1.
10．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________．
答案 t≤－或t≥
解析
y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：
A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，
则kAB＝，kAC＝－，
∴t≤－或t≥.
11．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
解 能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一个圆上．
三、探究与创新
12．求圆(x－)2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
解 圆(x－)2＋(y＋1)2＝的圆心为M(，－1)．
设所求圆的圆心为(m，n)，它与(，－1)关于直线x－y＋1＝0对称，
∴∴
∴所求圆的圆心坐标为(－2，)，半径r＝.
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋(y－)2＝.
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解 设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2
＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，
最小值为72.4．2.2 圆与圆的位置关系
4．2.3 直线与圆的方程的应用
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想．
[知识链接]
1．判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法．
2．两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含．
[预习导引]
1．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元,一元二次方程
2．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
要点一 与两圆相切有关的问题
例1 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则＝r＋1，①
＝，②
＝r.③
联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
规律方法 两圆相切时常用的性质有：
(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，
则两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．
跟踪演练1 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．
解 设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1.①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为
(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
要点二 与两圆相交有关的问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
即两圆的公共弦长为.
规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪演练2 求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0.
圆心为，由题意得
－＋－4＝0，∴λ＝－7.
∴圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.
要点三 直线与圆的方程的应用
例3 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离
d＝＝，而半径r＝3，∴d>r，
∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．
规律方法 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
跟踪演练3 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
答案 B
解析 以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40,0)到y＝x的距离为d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时．故选B.
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1,0)和(0,1) B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1) D．(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由
解得或
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 A
解析 直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线．
4．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是( )
A. B. C．5 D.
答案 D
解析 由题意可知＝2r，
∴r＝.
5．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．
答案 x＋3y＝0
解析 2x＋6y＝0，
即x＋3y＝0.
1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作．
2．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
一、基础达标
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 两圆圆心坐标分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－22．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A．21 B．19 C．9 D．－11
答案 C
解析 圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
3．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，
半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)．代入得0.82＋h2＝3.62.
∴h＝4≈3.5(米)．
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y－7)2＝25
B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y－7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案 D
解析 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，
∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
5．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________．
答案 －5，－2，－1,2
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.当C1、C2外切时有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1、C2内切时有＝3－2，即m2＋3m＋2＝0解得m＝－1或m＝－2.
6．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为
________.
答案
解析 由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为
d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝.
7．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
二、能力提升
8．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4 C．8 D．8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
9．以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.2＋2＝
D.2＋2＝
答案 B
解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
10．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________________．
答案 (x－2)2＋(y－2)2＝2
解析
曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.设C2的坐标为(x0，y0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
11．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
解 方法一 将圆C化为标准方程得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，则圆心坐标为(－5，－5)，所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得解得
于是所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
方法二 由题意知所求的圆经过点(0,0)和(0,6)，所以圆心一定在直线y＝3上，又由方法一知圆心在直线x－y＝0上，所以由得圆心坐标为(3,3)．
所以r＝＝3，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
三、探究与创新
12．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？
解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．
将x＝2.7代入，得y＝＝<3，
所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．
将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝.
所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为m.
13．求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，所以圆心坐标为(，)．
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x，由
解得
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1)．
由得
所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.4．1.2 圆的一般方程
[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
[知识链接]
1．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r.
2．点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断．
[预习导引]
1．圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
要点一 圆的一般方程的概念
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解 (1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．
∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为2＋y2＝2，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆．
规律方法 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.
跟踪演练1 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________．
答案
解析 由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
即k<.
要点二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径．
解 方法一 设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
方法二 设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，
∴
解得即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
方法三 ∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．
∴圆心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
跟踪演练2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．
解 设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得解得
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
要点三 求动点的轨迹方程
例3 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解 设另一端点C的坐标为(x，y)．
依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得
＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．
因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．
又因为点B、C不能为一直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，
为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法．
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
跟踪演练3 已知直角△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程．
解 方法一 设顶点C(x，y)，
因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝.
且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
方法二 △ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，
所以x≠3且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
答案 D
解析 －＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．
2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )
A．k≤ B．k＝
C．k≥ D．k<
答案 D
解析 方程表示圆 1＋1－4k>0 k<.
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案 D
解析 原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．
4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
答案
解析 因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
∴r＝＝，∴m＝.
5．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
答案 3
解析 圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．
3．对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
一、基础达标
1．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是( )
A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3
C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9
答案 A
解析 圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.
2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
答案 C
解析 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.
3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
答案 A
解析 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，即点在直线y＝x上，所以D＝E.故选A.
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
答案 A
解析 直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，
所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC＝×|AB|×
＝×2×
＝3－.
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案 C
解析 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________．
答案 x2＋y2＝4
解析 设M(x，y)，则即
又P(x0，y0)在圆上，
∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.
7．设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．
解 (1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2,0)，半径为r＝3.
(2)设直线AB的斜率为k.
由圆的几何性质可知：CP⊥AB，
∴kCP·k＝－1.
又kCP＝＝1，∴k＝－1.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，
即：x＋y－4＝0.
二、能力提升
8．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值范围是，故选A.
9．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝2
答案 A
解析 设P(x，y)，则PM⊥PN.
又kPM＝＝(x≠－2)，
kPN＝＝(x≠2)，
∵kPM·kPN＝－1，∴·＝－1，
即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．
当x＝2时，不能构成以MN为斜边的直角三角形，
因此不成立．同理当x＝－2时也不成立．
故点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．
10．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．
答案 6－2
解析 ∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(－1,1)，
∴所求的最短路程为|A′C|－2，
|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程为6－2.
11．已知定点A(2,0)，圆x2＋y2＝1上有一个动点Q，若线段AQ的中点为P，求动点P的轨迹．
解 设动点P的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，
利用中点坐标公式有即
∵x＋y＝1，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝1，
∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝.
∴动点P的轨迹为以(1,0)为圆心，为半径的圆．
三、探究与创新
12．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
解 方法一 设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q的坐标分别代入①，得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或.
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①
∵所求圆的圆心C在直线①上，
故设其坐标为(a，a－1)，
又圆C的半径r＝|CP|＝ .②
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆C到y轴的距离为|a|.
r2＝a2＋2，代入②并将两端平方，
得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5.
∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
13．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解 (1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，
由二次函数的图象解得－(2)由(1)知r＝＝ ，
∴当t＝∈(－，1)时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是(x－)2＋(y＋)2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9<0时，
点P恒在圆内，∴8t2－6t<0，∴0一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D.
答案 D
解析 由空间直角坐标系中两点间距离公式得：
|AB|＝＝.
2．点A(2a，a－1)在以点C(0,1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为( )
A．±1 B．0或1
C．－1或 D．－或1
答案 D
解析 由题意，得圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，将点A的坐标代入圆的方程可得a＝1或a＝－.
3．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
答案 B
解析 由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．
4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A. B．2 C. D．2
答案 D
解析 直线方程为y＝x，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝x的距离为d＝1，∴半弦长为＝，∴弦长为2.
5．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1
答案 A
解析 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 (3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．
7．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
答案 A
解析 方法一 因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，所以圆C为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
方法二 已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，
所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.
所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
8．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A．4 B．2 C. D.
答案 A
解析 P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.
9．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．0条
答案 B
解析 由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1(－2，2)，r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r2＝4.
因为d＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．
10．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程是( )
A．2x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
答案 C
解析 设圆心为C，则C点坐标为(1,0)且AB⊥CP，kCP＝＝－1，∴kAB＝1，直线AB的方程为y＋1＝x－2即x－y－3＝0.
二、填空题
11．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．
答案 (x－2)2＋2＝
解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－，所以圆的方程为(x－2)2＋2＝.
12．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．
答案 1≤m≤121
解析 由x2＋y2＋6x－8y－11＝0得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以两圆的圆心距d＝＝5，当两圆有公共点时，它们只能是内切、外切或相交，因此圆心距d应满足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，即|－6|≤5≤＋6，从而1≤≤11，即1≤m≤121.
13．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．
答案 x2＋y2＝25
解析 原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.
14．过点M(3,2)作圆O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________．
答案 y＝2或5x－12y＋9＝0
解析 由圆的方程可知，圆心为(－2,1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y－2＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋2＝0，由＝1，
解得k＝0或k＝，所以所求直线的方程为y＝2和5x－12y＋9＝0.
三、解答题
15．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
解 (1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝＝2，m＝±2.
即m＝±2时，直线l与圆相切．
16．已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．
解 如图：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x，y)，BC的中点为D(x0，y0)则x0＝，y0＝，①
∵|AD|＝m，∴|x0＋a|2＋y＝m2，②
将①代入②并整理，得(x＋3a)2＋y2＝4m2，
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m为半径的圆，挖去(－3a＋2m,0)和(－3a－2m,0)两点．
17．在三棱柱ABOA′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
解 如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，
设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|＝
＝，
故当z＝1时，|EC|取得最小值为，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
18．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
解 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1,1)，
又＝1<，
所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan 120°＝－，即m＝－.
此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，
所以|AB|＝2＝2＝.4.2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．
[知识链接]
1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0)．
2．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(其中D2＋E2－4F>0)
3．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
[预习导引]
直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ dr
代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
要点一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－规律方法 直线与圆位置关系判断的三种方法：
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪演练1 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
答案 A
解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
要点二 圆的切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
规律方法 1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．
2．一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．
跟踪演练2 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
解 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5.
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)
或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
要点三 圆的弦长问题
例3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解 方法一 由
得交点A(1,3)，B(2,0)，
∴弦AB的长为|AB|＝＝.
方法二 由
消去y得x2－3x＋2＝0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.
∴|AB|＝
＝
＝＝
＝＝，
即弦AB的长为.
方法三 圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝，
点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长为＝＝＝，所以弦长|AB|＝.
规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2.
即|AB|＝2.
(2) 代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ |y1－y2|，其中k为直线l的斜率．
跟踪演练3 直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2 C．4 D．4
答案 C
解析 圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，
圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝2．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2 C. D．无解
答案 B
解析 由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.
3．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于( )
A．1 B. C. D．2
答案 D
解析 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，
则|AB|＝2.
4．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．
答案 1
解析 点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，
∴切线长为＝1.
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
答案 2x－y＝0
解析 设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于 ＝0，即圆心(1,2)位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|.
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
一、基础达标
1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，
圆心为(－1,1)，半径r＝.
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.
由r2＝d2＋()2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
2．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为( )
A．2＋ B．2－
C. D．0
答案 A
解析 圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，∴所求最大距离为2＋.
3．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
答案 C
解析 l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，
∴l与圆一定相交，故选C.
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
答案 C
解析 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝±－1，因为a>0，所以a＝－1，故选C.
5．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－ B．1 C．2 D.
答案 C
解析 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2 ＝.
7．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解 圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m<－2或m>2；
(2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以－2二、能力提升
8．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．
9．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
答案 A
解析 设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|＝2时，
|AC|＝＝＝1.∴当|MN|≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.
∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.
∴－≤k≤0.
10．若直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．
答案 [1，)
解析 如图所示，y＝是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，
y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b＝1；当直线l与半圆相切时，b＝.所以b的取值范围是[1，)．
11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝，③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
三、探究与创新
12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．
(1)证明 因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得
即l恒过定点A(3,1)．
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
13．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.
(1)证明不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．
(1)证明 曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.
由解得
点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．
(2)证明 配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，
∵当a≠2时，5(a－2)2>0，∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有
消去a得y＝－x，
故圆心必在直线y＝－x上．
(3)解 由题意知|a－2|＝|a|，解得a＝.