章末检测
一、选择题
1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．60° D．135°
答案 D
解析 由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.
2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为( )
A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0
C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0
答案 A
解析 由截距式方程可得l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
3．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )
A．1 B．2 C. D.
答案 C
解析 由点到直线的距离公式得d＝＝.
4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 A
解析 l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，
∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1.
∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.
5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
答案 C
解析 由题意知：－＝－，即3m＝4n，且有－＝，∴n＝－3，m＝－4.
6．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
答案 A
解析 设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.
7．两点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值分别为( )
A．－1,2 B．4，－2
C．2,4 D．4,2
答案 D
解析 A、B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝，
即＝，①
且AB中点在已知直线上，代入得
2(b＋2)＋3＝11，②
解①②组成的方程组得故选D.
8. 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2 B．6
C．3 D．2
答案 A
解析 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.
9．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C. D．(－2,0)
答案 B
解析 将直线方程变为：a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，则直线恒过两直线x＋2＝0与－x－y＋1＝0的交点，
解方程组得
即直线过定点(－2,3)．
10．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C. D．[0,2]
答案 A
解析 直线可化成y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2.所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为[－2,2]．
二、填空题
11．过点(1,3)且在x轴的截距为2的直线方程是________．
答案 3x＋y－6＝0
解析 由题意设所求直线的方程为＋＝1，
又点(1,3)满足该方程，故＋＝1，
∴b＝6.
即所求直线的方程为＋＝1，
化为一般式得3x＋y－6＝0.
12．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．
答案 2x＋3y－2＝0
解析 由方程组得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.
13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
答案 －
解析 设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.
∴x＝－2，∴P(－2,1)，
∴kl＝－.
14．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案 (2,4)
解析 设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
又kAC＝＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
由①②得∴∴M(2,4)．
三、解答题
15．已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解 当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．
(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
16．直线l经过两直线l1：2x－y＋4＝0与l2：x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y－6＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为，求实数a的值．
解 (1)由得交点为(1,6)，
又直线l垂直于直线x－2y－6＝0，
所以直线l的斜率为k＝－2.
故直线l的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于，
则＝，解得a＝1或a＝6.
17．(1)已知直线y＝x－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l的方程；
(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
解 (1)∵已知直线的斜率为，即tan α＝，
∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan 2α＝tan 60°＝.
又l过点(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝(x－2)，即x－y－2－1＝0.
(2)显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．
令x＝0，得y＝2k＋3；
令y＝0，得x＝－－2.
于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为|(2k＋3)·(－－2)|＝4，即(2k＋3)(＋2)＝±8，
解得k＝－或k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x＋2)，或y－3＝－(x＋2)．
即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
18．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶，若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由．
解 (1)∵l2为2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离为d＝＝.
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)满足②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上且＝·，
即c＝或c＝，∴有2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有：
＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
∴x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0.
∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
联立方程
解得(舍去)
由得
∴P(，)即为同时满足条件的点．1．直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便．
(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率kAB＝.
(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．
2．直线的五种方程及比较
名称 方程 常数的几何意义 适用条件
点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴
斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴
两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴
截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况
特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a,0) 斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
3．两直线的平行与垂直
直线方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行的等价条件 l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0， 且B1C2－B2C1≠0
垂直的等价条件 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1⊥l2 A1A2＋B2B1＝0
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．
4．距离问题
类型 已知条件 公式
两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝
点到直线的距离 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0 d＝
两条平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0) d＝
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
5．直线系方程
直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程．直线系方程的常见类型有：
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：
Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：
Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线l1；当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l2)．
6．“对称”问题的解题策略
对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．
(1)中心对称
①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．
②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．
(2)轴对称
①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．
②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．
当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；
当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离．
题型一 直线的倾斜角和斜率
倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视．
(1)对应关系
①α≠90°时，k＝tan α.
②α＝90°时，斜率不存在．
(2)单调性
当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0)．
经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x1≠x2)，应注意其适用的条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在．
例1 (1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．
(2)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
解 (1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．
直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝.
∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝
－tan 60°＝－.
(2)∵P(－1,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，
∴kPA＝＝5，kPB＝＝－.
当l由PA变化到与y轴平行时，其倾斜角为α增至90°，斜率变化范围为[5，＋∞)，
当l由与y轴平行变化到PB的位置时，其倾斜角由90°增至β，斜率变化范围为.
∴直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)．
跟踪演练1 求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
解 当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为：α＝90°.
当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝，
(1)当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.
(2)当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.
题型二 直线的方程
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．
例2 过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
跟踪演练2 将直线的方程x－2y＋6＝0：
(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；
(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．
解 (1)将原方程移项得2y＝x＋6，两边同除以2，得斜截式y＝x＋3，因此它的斜率k＝，在y轴上的截距为3.
(2)将原方程移项得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式＋＝1.由方程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为－6,3.
题型三 直线的位置关系
两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
例3 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．
解 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0，①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1∶(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
跟踪演练3 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．
解 (1)若l1∥l2，
则
∴a＝－1.
∴a＝－1时，l1∥l2.
(2)当l2的斜率不存在时，a＝1.
则l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.
显然l1与l2不垂直．
当l2斜率存在时，a≠1.
则k2＝，k1＝－.
∵l1⊥l2，
∴k1·k2＝·＝－1.
∴a＝.
题型四 分类讨论思想
分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．
在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．
例4 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解 ①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x＋y＝0.
②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，由题意得：
＝a－2，解得：a＝0.
此时直线的方程为：x＋y＋2＝0.
综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
跟踪演练4 直线l经过点P(2,3)，且在x，y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程．
解 ①当截距都为0时，直线过原点，此时k＝，
所以直线方程为y＝x.
②当截距都不为0时，根据题意，
设所求直线的方程为＋＝1.
∵直线过点P(2,3)，∴＋＝1，
得a＝－1.∴直线方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或y＝x.
1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．
2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．
3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．3.2.3 直线的一般式方程
[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化．
[知识链接]
1．过点A(x0，y0)分别垂直于x轴、y轴的直线方程为：x＝x0，y＝y0.
2．直线的点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)．
直线的两点式方程：＝(x1≠x2，y1≠y2)．
[预习导引]
1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．
2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
3．直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程．
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
(3)x的系数一般不为分数和负数．
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
要点一 直线的一般式与其他形式的转化
例1 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A. B．－5 C. D．－3
答案 (1)B (2)D
解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．
又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，
所以只有B项正确．
(2)令y＝0则x＝－3.
规律方法 (1)一般式化为斜截式的步骤：
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤：
方法一：
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
方法二：
①令x＝0求直线在y轴上的截距b；
②令y＝0求直线在x轴上的截距a；
③代入截距式方程＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
跟踪演练1 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形．
解 因为直线l经过点A(－5,6)，B(－4,8)，
所以由两点式，得＝，
整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得＋＝1，
所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为＋＝1.
图形如图所示：
要点二 直线方程的应用
例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解 方法一 l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1,3)，
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
规律方法 一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．
跟踪演练2 已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
解 (1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
要点三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围
例3 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.
(1)答案 m≠－3
解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程组得m＝－3，
所以m≠－3时，方程表示一条直线．
(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，
所以此直线的斜率是1，
所以－＝1，
所以
解得所以m＝－1.
②因为已知直线在x轴上的截距为1，
令y＝0得x＝，
所以＝1，
所以
解得
所以m＝－或m＝2.
规律方法 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
跟踪演练3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．
(1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
故k的取值范围为{k|k≥0}.
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
答案 D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
答案 C
解析 由ax＋by＝c，得y＝－x＋，
∵ab<0，∴直线的斜率k＝－>0，
直线在y轴上的截距<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限．
3．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
4．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )
A．－6 B．6 C．－ D.
答案 B
解析 由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.
1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误．
一、基础达标
1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
答案 D
解析 由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得：m＝3或m＝2(舍去)．
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
答案 D
解析 通过直线的斜率和截距进行判断．
3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，－1
C．－，1 D．－，－1
答案 D
解析 原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°，∴a＝－，故选D.
4．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( )
A．－3 B．3
C. D．－
答案 D
解析 由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
5．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －
解析 把(3,0)代入已知方程得：(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6.∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.
6．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－)∪(0，＋∞)
解析 当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，
解得－1
0.
综上可知，实数a的取值范围是
(－∞，－)∪(0，＋∞)．
7．已知直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．
解 方法一 当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝，
故l1⊥l2.
当a＝－时，l1的方程为－x＋y＝3，l2的方程为－x＝2，显然l1，l2不垂直．当a≠1且a≠－时，由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－3.综上所述，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.
方法二 因为l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0.
解得a＝1或a＝－3.
故当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.
二、能力提升
8．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
答案 C
解析 将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得选C.
9．若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为________．
答案 0或－1
解析 a＝0时，l1：x＝2，l2：y＝3，显然l1⊥l2；
a＝1时，l1：x＋y－2＝0，l2：x＝－，
显然l1和l2不垂直；
a≠0，且a≠1时，则k1＝－，k2＝.
由l1⊥l2得－·＝－1，解得a＝－1.
故a的值为0或－1.
10．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
答案 2x＋3y＋4＝0
解析 由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求．
11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
三、探究与创新
12．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直．
解 (1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，
所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，则
由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，
所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.
13．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解 方法一 (1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即(－)·(－)＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
方法二 (1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.3.3 直线的交点坐标与距离公式3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[学习目标] 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．
[知识链接]
1．直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°)．
2．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝(x1≠x2)．
[预习导引]
1．两条直线平行与斜率的关系
(1)如图①设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1∥l2.
(2)如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行．
2．两条直线垂直与斜率的关系
(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即k1k2＝－1 l1⊥l2，l1⊥l2 k1k2＝－1.
(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．
要点一 两条直线平行关系的判定与应用
例1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
解 (1)由题意知k1＝＝－，
k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝.
因为k1＝k2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
规律方法 1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等．
2．判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件．
跟踪演练1 根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)．
解 (1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，
虽然k1＝k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．
要点二 两条直线垂直关系的判定与应用
例2 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
解 (1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．
(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．
直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．
故l1⊥l2.
规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
跟踪演练2 已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．
答案 －
解析 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，
设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，
∴k2＝－.
要点三 平行与垂直关系的综合应用
例3 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
解 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，
如图，由斜率公式可得
kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
规律方法 1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
2．由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．
跟踪演练3 已知△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A．－3 B．3
C．－ D.
答案 B
解析 因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.
2．已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为( )
A．0° B．135°
C．90° D．180°
答案 C
解析 ∵kl1＝0且l1⊥l2，
∴kl2不存在，直线l2的倾斜角为90°.
3．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 A
解析 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．
4．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．以上都不正确
答案 A
解析 过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．
5．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.
答案 －1 7
解析 ∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，
∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.
1.两直线平行或垂直的判定方法.
斜率 直线
斜率均不存在 平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直
斜率均存在 相等 平行
积为－1 垂直
2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．
一、基础达标
1．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．－45° D．120°
答案 B
解析 由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，
知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.
2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为( )
A．0 B．－6 C．6 D．3
答案 C
解析 直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.
3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
答案 C
解析 kAB＝＝－，kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．
4．已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为( )
A．(3,4) B．(4,3) C．(3,1) D．(3,8)
答案 A
解析 设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有
kAB＝kDC，kAD＝kBC，
∴解得
∴点D的坐标为(3,4)．
5．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．
答案 4
解析 ∵l2∥l1，且l1的倾斜角为45°，
∴kl2＝kl1＝tan 45°＝1，即＝1，∴a＝4.
6．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
答案 －6
解析 由题意得l1∥l2，∴kl1＝kl2.
∵kl1＝kAB＝＝－，kl2＝kMN＝＝3，
∴－＝3，∴a＝－6.
7．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解 (1)由kAB＝＝－1，解得m＝－或1.
(2)由kAB＝，且＝3，
且＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
二、能力提升
8．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
答案 D
解析 当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.
9．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( )
A．135° B．45° C．30° D．60°
答案 B
解析 kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，
∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
10．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
答案 －1
解析 由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
11．已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
解 由题意知直线l2的斜率存在且k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，
得＝－，解得m＝1或m＝6，
经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2.
当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；
当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k1·k2＝－1，即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4，
所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.
三、探究与创新
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
解 由斜率公式可得kAB＝＝，
kBC＝＝0，kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
解 (1)当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.
(2)当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC.
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
∴?解得m＝，n＝－.
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.3．3.3 点到直线的距离
3．3.4 两条平行直线间的距离
[学习目标] 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离．
[知识链接]
1．已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离|P1P2|＝.
2. 如图，平面上点P到直线l的距离是指从点P到直线l的垂线段的长．
[预习导引]
1．点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
2．两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
要点一 点到直线的距离
例1 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；
(2)y＝6；
(3)x＝4.
解 (1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2)方法一 把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
方法二 因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
规律方法 1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．
2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．
3．几种特殊情况的点到直线的距离：
(1)点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
(2)点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
跟踪演练1 若点(a,2)到直线l：y＝x－3的距离是1，则a＝________.
答案 5±
解析 直线l：y＝x－3可变形为x－y－3＝0.
由点(a,2)到直线l的距离为1，得＝1，
解得a＝5±.
要点二 两平行线间的距离
例2 求两平行线l1：2x－y－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0之间的距离．
解析 方法一 在直线l1：2x－y－1＝0上任取一点，不妨取点P(0，－1)
则点P到直线l2：4x－2y＋3＝0的距离为
d＝＝.
∴l1与l2间的距离为.
方法二 将直线l2的方程化为：
2x－y＋＝0.
又l1的方程为：2x－y－1＝0，
∴C1＝－1，C2＝，
又A＝2，B＝－1，
由两平行直线间的距离公式得：
d＝＝.
规律方法 1.针对这个类型的题目一般有两种思路：
(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两条平行直线间距离公式d＝.
2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，
则d＝|x2－x1|；
(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，
则d＝|y2－y1|.
跟踪演练2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
解 ∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0
或5x－12y－33＝0.
要点三 距离公式的综合应用
例3 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解 方法一 联立
得交点P(2,1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，
解得k＝，
∴l的方程为y－1＝(x－2)，
即4x－3y－5＝0.
而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，
故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，
解得λ＝2或，
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由
解得交点P(2,1)，
过P任意作直线l，设d为A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，
∴dmax＝|PA|＝.
规律方法 1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条．一定要注意直线斜率是否存在．
2．数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
跟踪演练3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解 (1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值3时，
两条平行线都垂直于AB，
所以k＝－＝－＝－3，
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 d＝＝.
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 C
解析 d＝＝1.
3．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为( )
A．－1 B．5
C．－1或5 D．－3或3
答案 C
解析 由点到直线的距离公式：得＝，
∴a＝－1或5，故选C.
4．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
答案 A
解析 直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
5．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
答案 5
解析 d＝|3－(－2)|＝5.
1.应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．
2．两条平行线间的距离处理方法有两种：
一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想．
二是直接套用公式d＝，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
一、基础达标
1．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
由平行线间的距离公式得d＝＝.
2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
答案 B
解析 设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.
3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A．a>7 B．a<－3
C．a>7或a<－3 D．a>7或－3答案 C
解析 根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.
4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m等于( )
A．0或 B.或－6 C．－或 D．0或－
答案 B
解析 由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，所以m＝或m＝－6.
5．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为__________________________．
答案 x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析 因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5 |b|＝10.所以b＝±10.
所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________．
答案 2
解析 |OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离．
d＝＝2.
7．直线l过原点，且点(2,1)到l的距离为1，求l的方程．
解 由题意可知，直线l的斜率一定存在．
又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由点(2,1)到l的距离为1，得＝1.
解得k＝0或k＝.∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0.
二、能力提升
8．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
答案 D
解析 方法一 设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，
由题意可知＝.
∴C＝－6(舍)或C＝8.
故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
方法二 令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
9．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0C．0答案 B
解析 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以010．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝的最小值为________．
答案
解析 方法一 ∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1,1)的距离．
即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)的距离．
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即
|MN|min＝d＝＝.
方法二 ∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，
∴S＝＝＝ ，∴x＝－时，Smin＝＝.
11．求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程．
解 方法一 设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
方法二 在直线3x－y－4＝0上任取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)对称点为B1(3，－1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3x－y－10＝0.
方法三 直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0，点P(2，－1)到直线3x－y－4＝0的距离d＝，由于点P(2，－1)到两直线距离相等，
所以＝，解得m＝－10或m＝－4(舍去)，
所以直线l的方程为3x－y－10＝0.
三、探究与创新
12．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
解 由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)则|PQ|＝，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．
如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：
＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A、B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
13．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大．
解 (1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则＝－，且3·－－1＝0，解得C′(－1,1)，所以直线AC′的方程为y＝1.由得l与直线AC′的交点P(，1)，此时|AP|＋|CP|取最小值为5.
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则＝－，且3·－－1＝0，解得B′(3,3)，所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，由得AB′与l的交点Q(2,5)，此时||AQ|－|BQ||取最大值为.3．2.2 直线的两点式方程
[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
[知识链接]
1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．
2．直线的斜截式方程为y＝kx＋b.
3．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝(x1≠x2)．
[预习导引]
1．两点确定一条直线．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2的直线方程＝，叫做直线的两点式方程．
2．直线l与x轴交点A(a,0)；与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则得直线方程＋＝1，叫做直线的截距式方程．
3．若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则.
要点一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.
∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3,2)．
∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线．
跟踪演练1 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
要点二 直线的截距式方程
例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解．
(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点．
跟踪演练2 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．
解 设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，
∴l：3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，
把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.
∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入两点式得直线方程＝，
整理得y＝x＋3.
2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 C
解析 因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1.
3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
答案 B
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
4．求过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数．
解 设过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)、N.
再由12＝|OM|·|ON|＝|2k＋3|×|－2－|，可得|4k＋＋12|＝24，即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24.解得k＝或k＝或k＝，
故满足条件的直线有3条．
5．求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
解 ①若直线过原点，则k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，
∴x＋y＋1＝0.
故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
2．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
3．对称问题的解决
(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式．
(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决．
(3)点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过解方程组求解．
(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.
一、基础达标
1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
答案 B
解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.
2．直线＋＝1过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
解析 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
3．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
答案 B
解析 kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，
所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.
4．已知△ABC三顶点坐标A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
答案 A
解析 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.
5．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
6．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．
答案 12
解析 AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.
7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________________．
答案 ＋＝1
解析 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．
则l的方程为＋＝1.
二、能力提升
8．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
答案 B
9．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．
答案 3或－3
解析 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，∴6＝×|－|×|－|＝，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
10．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
11．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，
即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.
三、探究与创新
12．某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示)．问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
解 以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y
轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0,60)，
B(90,0)，
∴AB所在直线的方程为
＋＝1，
即y＝60(1－)．
∴y＝60－x.
从而可设P(x,60－x)，其中0∴所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y)．
故S＝(300－x)(240－60＋x)
＝－x2＋20x＋54 000(0∴当x＝－＝15且y＝60－×15＝50时，
S取最大值为－×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2)．
因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2.
13．已知直线l：y＝－x＋1，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
∴解得
即P′点的坐标为(，)．
(2)方法一 由
得l与l1的交点A(2,0)，
在l1上任取一点B(0，－2)，设B关于l的对称点B′为(x0，y0)，则
即∴
即B′(，)，∴l2的斜率为kAB′＝＝7.
∴l2的方程为y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.
方法二 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．
由
得把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.3．2 直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．
[知识链接]
1．两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
2．两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率存在并设为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1.特别地，当直线l1，l2一条斜率为0，另一条斜率不存在时，l1与l2的关系为垂直．
[预习导引]
1．直线的点斜式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在的直线
2.直线l在坐标轴上的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a.
3．直线的斜截式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在的直线
要点一 直线的点斜式方程
例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
解 (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，
即y＋4＝0.
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率
kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2,3)，即x＋y－1＝0.
∴直线的点斜式方程为
y－3＝－(x＋2)．
规律方法 1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
跟踪演练1 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．
(2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．
答案 (1)x＋y－1＝0 (2)x＋4y－6＝0
解析 (1)k＝tan 135°＝－1，
由直线的点斜式方程得
y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4，
由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0.
要点二 直线的斜截式方程
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
规律方法 1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝x－3”．
2．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．
跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
解 (1)由直线方程的斜截式可得，
所求直线方程为y＝3x－3.
(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝，所求直线的方程为y＝x＋5.
(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝，
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.
要点三 直线过定点问题
例3 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
证明 方法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2,3)，
由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
方法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3)．
∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法二体现了代数方法处理恒成立问题的基本思想．
跟踪演练3 已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．
解 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
所以，k的取值范围是.
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案 C
解析 ∵方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
2．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A．60°，2 B．120°，2－
C．60°，2－ D．120°，2
答案 B
解析 ∵该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析 ∵直线经过一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
4．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．
答案 4x－y－11＝0
5．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．
答案 x＝3
解析 直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x＝3.
1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．
一、基础达标
1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示( )
A．任何一条直线
B．不过原点的直线
C．不与坐标轴垂直的直线
D．不与x轴垂直的直线
答案 D
解析 点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．
2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
答案 C
解析 由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，∴选C.
3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
答案 D
解析 ∵直线y＝2x＋1的斜率为2，
∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
4．若经过原点的直线l与直线y＝x＋1的夹角为30°，则直线l的倾斜角是( )
A．0° B．60°
C．0°或60° D．60°或90°
答案 C
5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
6．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；
当k>0时，直线过第三象限；
当k<0时，直线不过第三象限．
7．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
解 直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)．
即x＋3y－6＋＝0.
∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，
∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－2＋＝0.
二、能力提升
8．方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的( )
答案 B
解析 直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a<0时，斜率a<0，在y轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合．故正确答案为B.
9．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
答案 (3,2)
解析 ∵y＝a(x－3)＋2，即y－2＝a(x－3)
∴直线过定点(3,2)．
10．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
答案 k≥1或k≤－1
解析 令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，
所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.
11．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．
解 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，
即y＝x＋3.
三、探究与创新
12．是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5
解 假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.
由题意可知直线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k≠0)，
则直线方程为y＋4＝k(x＋5)，则分别令y＝0，x＝0，
可得直线l与x轴的交点为(，0)，
与y轴的交点为(0,5k－4)．
因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，
所以||·|5k－4|＝5，
所以·(5k－4)＝±10，
即25k2－30k＋16＝0(无解)或25k2－50k＋16＝0，
所以k＝或k＝，所以存在直线l满足题意，
直线l的方程为y＋4＝(x＋5)或y＋4＝(x＋5)，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
13．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)解 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足
即
解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.3．1 直线的倾斜角与斜率
3．1.1 倾斜角与斜率
[学习目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
[预习导引]
1．直线的倾斜角
(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)取值范围：0°≤α<180°.
2．直线的斜率
定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan_α.
取值范围 当α＝0°时，k＝0； 当0°<α<90°时，k>0； 当90°<α<180°时，k<0； 当α＝90°时，斜率不存在.
3.斜率公式
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(其中x1≠x2)．
要点一 直线的倾斜角
例1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
答案 D
解析 根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，
不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪演练1 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
答案 D
解析 如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.
要点二 直线的斜率
例2 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
解 根据题中的条件可画出图形，如图所示，
又可得直线PA的斜率kPA＝－，
直线PB的斜率kPB＝，
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.
综上可知，直线l的斜率的取值范围是
∪.
规律方法 1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
跟踪演练2 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
要点三 斜率公式的应用
例3 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
解 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，
且kOA＝2，kOB＝，
所以可求得的最大值为2，最小值为.
规律方法 若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．
跟踪演练3 已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解 由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1,2)，B(－1,4)．
则kPA＝＝，kPB＝＝7.
∴≤k≤7，∴的最大值为7，最小值为.
1．下图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
A．① B．①② C．①③ D．②④
答案 A
解析 结合直线l的倾斜角的概念可知①可以，选A.
2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B.
C．1 D.
答案 A
解析 由题意可知，k＝tan 30°＝.
3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－ B.
C．－1 D．1
答案 C
解析 tan 45°＝kAB＝，
即＝1，所以y＝－1.
4．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.
5．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
答案 k1解析 设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k11.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
2．直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 0 k>0 不存在 k<0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：
(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在．
一、基础达标
1．下列说法中，正确的是( )
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
答案 D
解析 对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
答案 C
解析 由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.
3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1 B．5 C．－1 D．－5
答案 D
解析 由斜率公式可得：＝tan 135°，
∴＝－1，∴y＝－5.∴选D.
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180°
C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°
答案 C
解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．
5．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为( )
A．4,0 B．－4，－3
C．4，－3 D．－4,3
答案 C
解析 由题意，得即
解得a＝4，b＝－3.
6．如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________.
答案 1
解析 由斜率公式知＝1，解得m＝1.
7．一条光线从A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为__________．
答案 －2
解析 如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，
所以点A′在直线MB上．
由对称性可知A′(3，－2)，
所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.
二、能力提升
8．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥2或k≤ B.≤k≤2
C．k≥ D．k≤2
答案 A
解析 直线PA的斜率kPA＝2，直线PB的斜率kPB＝，结合图象，如图所示，可知直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.故选A.
9．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．
答案 (－2,1)
解析 ∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，
解得－210．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．
11．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a、b的值．
解 由题意可知kAB＝＝2，
kAC＝＝，
kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，
解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
三、探究与创新
12．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
解 (1)由斜率公式得
kAB＝＝0，
kAC＝＝.
(2)如图所示．
kBC＝＝.
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
13．光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
解 方法一 设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB.
∵kQA＝，kQB＝，∴＝－.
解得y＝，即点Q的坐标为，
∴k入＝kQA＝＝－.
方法二 如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(－4,3)，
kAB′＝＝－，
由题意得，A、Q、B′三点共线．
从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB′＝－.
设Q(0，y)，则k入＝kQA＝＝－.
解得y＝，即点Q的坐标为.3．3.1 两条直线的交点坐标
3．3.2 两点间的距离
[学习目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．
[知识链接]
直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y－y0＝k(x－x0)、y＝kx＋b、＝、＋＝1及Ax＋By＋C＝0.
[预习导引]
1．两条直线的交点
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．
2．过定点的直线系方程
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2.
3．两点间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝.
4．两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
要点一 两直线的交点问题
例1 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
解 方法一 由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，
∴其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二 ∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋
λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
规律方法 1.方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，方法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x＋y＋2＝0上．否则，会出现λ的取值不确定的情形．
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；
②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.
跟踪演练1 求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．
解 方法一 由得
∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，
再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，
把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，
故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.
方法二 设过直线l1、l2交点的直线方程为
x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，
即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，
由题意可知，＝－2，解得λ＝，
所以所求直线方程为x＋y－＝0，
即2x＋y－1＝0.
要点二 两点间距离公式的应用
例2 已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．
解 方法一 ∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．
规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
跟踪演练2 已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．
解 设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝10，
得＝10，解得：x＝11或x＝－5.
所以点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．
要点三 坐标法的应用
例3 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
证明
如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．
设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.
规律方法 坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
(2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
跟踪演练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4,1) B．(1,4)
C. D.
答案 C
解析 由方程组得
即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5 B.
C. D．4
答案 A
解析 |MN|＝＝5.
3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
答案 A
解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
4．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．
答案 a≠2
解析 l1与l2相交则有：≠，∴a≠2.
5．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
答案 2
解析 设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，
∴＝2，＝－1，
∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝＝2.
1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
一、基础达标
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为( )
A. B.
C．3 D．2
答案 D
解析 由两点间的距离公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.
2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．24
答案 C
解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，
∴三角形为等腰三角形．故选B.
4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
答案 B
解析 由垂直性质可得2m－20＝0，m＝10.由垂足可得解得
∴m－n＋p＝20.
5．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
答案 1或－5
解析 由题意得＝5，
解得a＝1或a＝－5.
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
答案
解析 由得由于交点在第一象限，故x>0，y>0，解得k>.
7．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
解 方法一 设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和点P到A，B的距离相等建立方程组
解得
所以P点坐标为(0,1)．
方法二 设P(x，y)，两点A(1，－1)、B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0.①
又3x－y＋1＝0，②
解由①②组成的方程组得
所以所求的点为P(0,1)．
二、能力提升
8．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.
9．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一的解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
答案 B
解析 由题意，得直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1、P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1与OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组一定有唯一解．
10．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．
答案
解析 由距离公式得＝＝，∴最小值为＝.
11．(1)求过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
解 (1)方法一 由
得即交点为(－1,4)．
∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直，
∴所求直线的斜率为.
∴由点斜式得y－4＝(x＋1)，
即x－3y＋13＝0.
方法二 设所求的方程为3x＋y－1＋λ(x＋2y－7)＝0，
即(3＋λ)x＋(1＋2λ)y－(1＋7λ)＝0，
由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，
∴λ＝－2，代入所设方程得x－3y＋13＝0.
(2)设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.
由＝，得λ＝或λ＝.
故直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
三、探究与创新
12．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．
解 方法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3)．
将点(2，－3)代入直线方程，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
方法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，有，
解得
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？
解
如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.
因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．
设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
即
解得即A′(3,6)．
所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.
解方程组得
所以P点的坐标为.
故供水站应建在点P处，
此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝.