人教版高中数学选择性必修第三册第6章 计数原理 检测卷 (含解析)

人教版高中数学选择性必修第三册第6章检测卷 原卷版
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有6个同学报名参加三个数学课外活动小组，每个同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有(　　)
A．36　　　　　　　　　　　 B．63
C．A63 D．C63
2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生，薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有(　　)
A．480种 B．360种
C．240种 D．120种
3．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．243 B．27
C．1 D．－1
4．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有(　　)
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
5．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项系数为(　　)
A．Cnn－1 B．Cn2
C．Cn＋12 D.Cn＋12
6．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为(　　)
A．72 B．120
C．192 D．240
7．已知的展开式中各项的二项式系数和为512，且展开式中的常数项为27C93，则a＝(　　)
A．1 B．2
8．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于(　　)
A．0 B．5
C．0或5 D．以上都不对
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A．若任意选科，选法总数为C42
B．若化学必选，选法总数为C21C31
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C21C21C31
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C21C21＋1
10．已知(3x2＋)4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则(　　)
A．A＝256
B．A＋B＝260
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x2项的系数为54
11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设各层球数构成一个数列{an}，Sn是其前n项和，则(　　)
A．S4＝22 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2
12．设a，b，m∈Z，m>0，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记为a≡b(mod m)，已知a＝1＋C201×2＋C202×22＋C203×23＋…＋C2020×220，a≡b(mod 10)，则b的值可能是(　　)
A．2 011 B．2 019
C．2 021 D．2 029
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在(x－2)n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于________．
14．若(1－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5＋a6(1＋x)6，则a4＝________．
.
15．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是________；若甲和乙不参加同一科竞赛，甲和丙必须参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加，则不同的选择种数是________(用数字作答)．(本题第一空2分，第二空3分)
16．5个女孩和6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有________种(填数字)．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．
(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．
18．(12分)已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
19．(12分)已知集合A＝{x|1(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？
20．(12分)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；
(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数．
21．(12分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4，求n的值．
(2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.
①求|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|；
②设ak＝(－2)kbk，求：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1.
22．(12分)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr＋1，Cnr＋2，Cnr＋3不能构成等差数列．
人教版高中数学选择性必修第三册第6章检测卷 解析版
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有6个同学报名参加三个数学课外活动小组，每个同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有(　　)
A．36　　　　　　　　　　　 B．63
C．A63 D．C63
答案　A
解析　第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，后面的四个同学都有三种报法，根据分步乘法计数原理知共有36种结果．故选A.
2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生，薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有(　　)
A．480种 B．360种
C．240种 D．120种
答案　B
解析　当人脸识别方向有2人时，分配方向有A55＝120种，当人脸识别方向有1人时，分配方向有C52A44＝240种，∴分配方向共有360种．故选B.
3．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)
A．243 B．27
C．1 D．－1
答案　D
解析　由题意得|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－2)5＝－1.
4．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有(　　)
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
答案　B
解析　先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，共有A33种排法，所以不同的放法共有A33×＝18种．故选B.
5．(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项系数为(　　)
A．Cnn－1 B．Cn2
C．Cn＋12 D.Cn＋12
答案　C
解析　(x＋1)(2x＋1)(3x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中的一次项的系数即分别取每个括号中x项的系数乘以剩余括号的常数所得结果再相加，故展开式中的一次项系数为1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12.故选C.
6．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为(　　)
A．72 B．120
C．192 D．240
答案　D
解析　由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为C21A53＝120；末尾是4，不同的偶数个数为A55＝120.故共有120＋120＝240个不同的偶数．故选D.
7．已知的展开式中各项的二项式系数和为512，且展开式中的常数项为27C93，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　由题意，可得2n＝512，解得n＝9，则的展开式的通项为Tr＋1＝C9r(ax2)9－r＝(－1)r·C9r·a9－rx18－3r，令18－3r＝0，可得r＝6，则其展开式中的常数项为第7项，即T7＝(－1)6·C96·a3＝27C93，得a＝3.故选C.
8．已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于(　　)
A．0 B．5
C．0或5 D．以上都不对
答案　C
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A．若任意选科，选法总数为C42
B．若化学必选，选法总数为C21C31
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为C21C21C31
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C21C21＋1
答案　BD
解析　首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，则选法总数为C21C42，故A错误；首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、生物3门科目中选择1门，则选法总数为C21C31，故B正确；分政治、地理都选和政治、地理仅选一门两种情况，则选法总数为C21，故C错误；物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选一门两种情况，则选法总数为1＋C21C21，故D正确．故选BD.
10．已知(3x2＋)4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则(　　)
A．A＝256
B．A＋B＝260
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x2项的系数为54
答案　ABD
解析　令x＝1，得(3x2＋)4的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，A正确；(3x2＋)4的展开式中第二项的二项式系数为C41＝4，所以B＝4，A＋B＝260，B正确；(3x2＋)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C4r·(3x2)4－r·()r＝34－r·C4rx8－3r，令8－3r＝0，则r＝，所以展开式中不存在常数项，C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展开式中含x2项的系数为34－2C42＝54，D正确．故选ABD.
11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的图形，后人称为“三角垛”．某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设各层球数构成一个数列{an}，Sn是其前n项和，则(　　)
A．S4＝22 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝anan＋2
答案　BC
解析　由题意可知，a1＝1，a2＝a1＋2＝1＋2，a3＝a2＋3＝1＋2＋3，…，an＝an－1＋n＝1＋2＋3＋…＋n，
故an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
所以S4＝1＋3＋6＋10＝20，故A错误；
因为an＋1＝an＋n＋1，故B正确；
因为a100＝＝5 050，故C正确；
因为2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，anan＋2＝，所以2an＋1≠anan＋2，故D错误．
12．设a，b，m∈Z，m>0，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对于模m同余，记为a≡b(mod m)，已知a＝1＋C201×2＋C202×22＋C203×23＋…＋C2020×220，a≡b(mod 10)，则b的值可能是(　　)
A．2 011 B．2 019
C．2 021 D．2 029
答案　AC
解析　∵a＝1＋C201×2＋C202×22＋C203×23＋…＋C2020×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C100×1010－C101×109＋C102×108－…－C109×10＋C1010，
∴a被10除得的余数为1，又2 021，2 011被10除得的余数是1.故选AC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在(x－2)n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于________．
答案　－32
解析　由题意，可得＋1＝3，解得n＝4，所以该二项式为(x－2)4，则展开式的通项为Tr＋1＝C4rx4－r(－2)r，令4－r＝1，可得r＝3，所以含x项的系数为(－2)3C43＝－32.
14．若(1－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5＋a6(1＋x)6，则a4＝________．
答案　60
解析　(1－x)6＝(－1＋x)6＝[－2＋(1＋x)]6，[－2＋(1＋x)]6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k(－2)6－k(1＋x)k，令k＝4可得a4＝C64(－2)2＝4C62＝60.
15．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是________；若甲和乙不参加同一科竞赛，甲和丙必须参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加，则不同的选择种数是________(用数字作答)．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　243　30
解析　因为每个同学只能参加一科竞赛，且每个同学可以自由选择，故每个同学都有3种选择，故共有35＝243种不同的选择；因为每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以三科的选择数有2，2，1和3，1，1两种分配方案，当分配方案为2，2，1时，因甲和丙参加同一科竞赛，甲和乙不参加同一科竞赛，故有C32A33＝18种不同的选择，当分配方案为3，1，1时，因甲和丙参加同一科竞赛，甲和乙不参加同一科竞赛，故有C21A33＝12种不同的选择，故共有18＋12＝30种不同的选择．
16．5个女孩和6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有________种(填数字)．
答案　86 400
解析　因为任意两个女孩中间至少站一个男孩，故有且仅有两个男孩站在一起．先把5个女孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有＝(5－1)！＝4！(种)；然后把6个男孩排成一排，共有6！种排法；最后在排好的男孩中选择两个相邻的男孩组合在一起，共有5种排法，这样男孩被分成5组，分别站在两个女孩中间．综上，不同的排法共有4！×6！×5＝86 400(种)．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．
(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．
解析　(1)5名学生分成3组，人数分别为2，2，1，
∴分配方案共有＝90(种)．
(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数为2，2或3，1.
∴分配方案共有C51(＋C43C11A22)＝70(种)．
18．(12分)已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解析　展开式的通项为Tk＋1＝Cnk(x2)n－k·(－)k＝(－1)k()n－kCnkx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)6()4C106＝.
(3)要使2n－k即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
19．(12分)已知集合A＝{x|1(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？
解析　由1(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成的三位数的个数为A63＝120.
(2)若从集合A中取元素3，则3不能是千位上的数字，
满足题意的自然数有C53C31A33＝180(个)．
若不从集合A中取元素3，则四位数的组成数字有5组：4，5，6，7；4，6，7，8；4，5，6，8；4，5，7，8；5，6，7，8.分别全排列，满足题意的自然数有5A44＝120(个)．
所以满足题意的自然数共有180＋120＝300(个)．
20．(12分)为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；
(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数．
解析　(1)当“射”排在最后一周时，有A55＝120种排法，
当“射”不排在最后一周时，有C41C41A44＝384种排法，
由分类加法计数原理知，“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有120＋384＝504(种)．
(2)当甲只任教1门时，有C51××A44＝1 200种排法，
当甲任教2门时，有C52A44＝240种排法，
由分类加法计数原理知，甲不任教“数”的课程安排方案有1 200＋240＝1 440(种)．
21．(12分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4，求n的值．
(2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N*.
①求|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|；
②设ak＝(－2)kbk，求：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1.
解析　(1)∵(1－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4，∴＝，则n＝4.
(2)①由题意知，(1＋2x)2n＋1＝|a0|＋|a1|x＋…＋|a2n＋1|x2n＋1，
令x＝1得|a0|＋|a1|＋…＋|a2n＋1|＝32n＋1.
②由题意知ak＝C2n＋1k·(－2)k.
又ak＝(－2)kbk.
∴bk＝C2n＋1k.
∴(k＋1)bk＝(k＋1)·C2n＋1k＝k·C2n＋1k＋C2n＋1k＝k＋C2n＋1k＝＋C2n＋1k＝(2n＋1)·C2nk－1＋C2n＋1k，
∴1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1
＝1·C2n＋10＋2·C2n＋11＋3·C2n＋12＋…＋(2n＋2)·C2n＋12n＋1
＝(C2n＋10＋C2n＋11＋C2n＋12＋…＋C2n＋12n＋1)＋(2n＋1)(C2n0＋C2n1＋C2n2＋…＋C2n2n)
＝22n＋1＋(2n＋1)·22n
＝(2n＋3)·22n.
22．(12分)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr＋1，Cnr＋2，Cnr＋3不能构成等差数列．
解析　(1)存在．杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk(k＝0，1，2，…，n)组成．
若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，
则＝＝，＝＝，
即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.
即第62行有三个相邻的数C6226，C6227，C6228的比为3∶4∶5.
(2)证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得Cnr，Cnr＋1，Cnr＋2，Cnr＋3成等差数列，
则2Cnr＋1＝Cnr＋Cnr＋2，2Cnr＋2＝Cnr＋1＋Cnr＋3，
即
＝＋，
＝＋，
所以＝＋，
＝＋，
整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，
n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.
两式相减得n＝2r＋3，
所以C2r＋3r，C2r＋3r＋1，C2r＋3r＋2，C2r＋3r＋3成等差数列，
由二项式系数的性质可知C2r＋3r＝C2r＋3r＋3这与等差数列的性质矛盾，所以任何四个相邻的组合数Cnr，Cnr＋1，Cnr＋2，Cnr＋3不能构成等差数列．