人教版高中数学选择性必修第二册-第六章-平面向量初步 单元检测（含解析）

第六章　单元质量评估卷(原卷版）
[时间：120分钟　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)
A．a＋b－c　　　　　　　 B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
3．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
4．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
5．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)
A. B.
C. D.
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为(　　)
A. B.
C. D．6
8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则·＝(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4，－8) B．(8，4)
C．(－4，－8) D．(－4，8)
10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b B．a·(a＋b)＝b·(a＋b)
C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|
11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B可以是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．|a|＝1
C．a∥b D．(4a＋b)⊥
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
14．同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是，则a－b与a＋c的夹角是________．
15．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________．
16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量为－，求：
(1)a与b的夹角θ；
(2)(a－2b)·b.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
19．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)若a＋b与a－b的模相等，求角α.
20．(12分)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos B＝bsin A，③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝，求△ABC的面积．
21．(12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．
22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足＋＝.
(1)求角C的大小；
(2)若边长c＝，求a＋2b的最大值．
1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线应满足的条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
2．已知向量a，b，c互不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，则(　　)
A．λ1，λ2，λ3一定全为0
B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0
C．λ1，λ2，λ3可以全不为0
D．λ1，λ2，λ3的值只有一组
3．下列命题中，正确的是(　　)
A．a＝(－2，5)与b＝(4，－10)方向相同
B．a＝(4，10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3，1)与b＝(－2，－5)方向相反
D．a＝(2，4)与b＝(－3，1)的夹角为锐角
4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．3 B．2
C．2 D.
5．在△ABC中，已知a＝2bcos C，那么△ABC的内角B，C之间的关系是(　　)
A．B>C B．B＝C
C．B6．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)
A. B.
C. D.
7．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值(　　)
A．等于2 B．等于0
C．大于2 D．等于0或等于2
8．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　　)
A．76 B．2
C．27 D．2
9.如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
10．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
11．已知＝a，＝b，＝c且满足λ·c＝0(λ>0)，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定
12．已知点A(2，3)，C(0，1)，且＝－2，则点B的坐标为________．
13．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos C－sin Bsin C＝.
(1)求A；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
14．已知|a|＝3，|b|＝4，且满足(2a－b)·(a＋2b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．
15．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ；
(2)设O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在线段OC上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
17．在△ABC中，C－A＝，sin B＝.
(1)求sin A的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
第六章　单元质量评估卷(解析版）
[时间：120分钟　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为(　　)
A．a＋b－c　　　　　　　 B．a－b＋c
C．b－a＋c D．b－a－c
答案　C
解析　依题意得，＝－＝＋－，即＝b－a＋c.故选C.
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A.
3．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
答案　B
解析　依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，则b＝(λ－1)a，
∴a·b＝(λ－1)a2＝(λ－1)×2＝λ－1>－1.
4．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
答案　D
解析　由正弦定理，得＝.所以sin B＝sin A＝sin 30°＝.又a5．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
答案　A
解析　如图，设水柱高AB＝h m.
依题意有∠ADB＝45°，∠BDC＝90°－30°＝60°，∠ACB＝30°，且AB⊥BD，AB⊥BC.
由图可知，BD＝AB＝h，BC＝＝h，CD＝100，又∵∠BDC＝60°，∴在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 60°，
即(h)2＝h2＋1002－100h，
解得h＝50.
7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为(　　)
A. B.
C. D．6
答案　A
解析　由b2－bc－2c2＝0，整理得b2－c2＝c2＋bc，
即b－c＝c，b＝2c.
由cos A＝＝＝，
得c2＝4，c＝2，b＝4.又sin A＝，
∴S＝bcsin A＝×2×4×＝.故选A.
8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则·＝(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
答案　B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4，－8) B．(8，4)
C．(－4，－8) D．(－4，8)
答案　AD
10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b B．a·(a＋b)＝b·(a＋b)
C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|
答案　BC
11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B可以是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　AD
12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．|a|＝1
C．a∥b D．(4a＋b)⊥
答案　BD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
答案　
解析　由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝＝＝.
14．同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是，则a－b与a＋c的夹角是________．
答案　
解析　(a－b)·(a＋c)
＝a2－a·b＋a·c－b·c
＝1－1×1×＋1×1×－1×1×
＝，
|a－b|＝
＝
＝，
|a＋c|＝
＝
＝1，
设a－b与a＋c夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又0≤θ≤π，∴θ＝.
15．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________．
答案　2＋
解析　设AB＝k，则AC＝k.再设BD＝x，则DC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理，得
k2＝x2＋2－2·x·×＝x2＋2＋2x.①
在△ADC中，由余弦定理，得
2k2＝4x2＋2－2·2x·×＝4x2＋2－4x，
即k2＝2x2＋1－2x.②
由①②得x2－4x－1＝0，解得x＝2＋(负值舍去)．
故BD＝2＋.
16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　20　
解析　如图，设甲楼高为AB，乙楼高为CD，由题意知AC＝20 m.
在△ABC中，∠BAC＝90°，所以AB＝ACtan 60°＝20(m)，BC＝40 m，在△BCD中，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得＝，所以CD＝·BC＝(m)．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量为－，求：
(1)a与b的夹角θ；
(2)(a－2b)·b.
解析　(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1，|a|cos θ·＝－，　
∴cos θ＝－.由于θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解析　(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，
则＝＋，
·＝·
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos 60°＋×22
＝－3.
19．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)若a＋b与a－b的模相等，求角α.
解析　(1)证明：由题意，得a＋b＝(cos α－，sin α＋)，a－b＝，
因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝1－1＝0，
所以(a＋b)⊥(a－b)．
(2)因为a＋b与a－b的模相等，
所以(a＋b)2＝(a－b)2，
所以|a|2－|b|2＋2a·b＝0.
因为|a|＝1，|b|＝＝1，
所以|a|2＝|b|2，所以a·b＝0，
所以－cos α＋sin α＝0，所以tan α＝，
又因为0≤α<2π，
所以α＝或α＝.
20．(12分)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos B＝bsin A，③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝，求△ABC的面积．
解析　若选择条件①b2＋ac＝a2＋c2，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
由正弦定理，得＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，
所以C＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S△ABC＝absin C＝×××
＝.
若选择条件②acos B＝bsin A，
则由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bsin A，
因为A∈(0，π)，即sin A≠0，所以sin B＝cos B，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
下同选择条件①.
若选择条件③sin B＋cos B＝，
则sin＝，所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝.
下同选择条件①.
21．(12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．
解析　设行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处．
当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t，
在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，
由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°
＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)×6t×
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.
∴当t＝2时，CD取得最小值＝3.
当t＝时，C与B重合，此时CD＝6×＝14>3.
当t>时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos 60°＝63t2－252t＋441
＝63(t－2)2＋189>189.
综上可知，当t＝2时，CD取最小值3 n mile，故行驶2 h后，甲、乙两船相距最近，为3 n mile.
22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足＋＝.
(1)求角C的大小；
(2)若边长c＝，求a＋2b的最大值．
解析　(1)由＋＝及正弦定理得cos Bsin C＋sin Bcos C＝2sin Acos C，
即sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，所以cos C＝.
又C∈(0，π)，故C＝.
(2)a＋2b＝(sin A＋2sin B)＝2[sin(B＋C)＋2sin B]＝2＝5sin B＋cos B，
令cos φ＝，sin φ＝，则a＋2b＝sin(B＋φ)，
当B＋φ＝时，(a＋2b)max＝＝2.
1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线应满足的条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
答案　D
解析　A，B，C三点共线即存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k，1＝kμ，得λμ＝1.
2．已知向量a，b，c互不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，则(　　)
A．λ1，λ2，λ3一定全为0
B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0
C．λ1，λ2，λ3可以全不为0
D．λ1，λ2，λ3的值只有一组
答案　C
解析　在△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a，b，c互不平行，且a＋b＋c＝0，排除A、B.由2a＋2b＋2c＝0，排除D，所以选C.
3．下列命题中，正确的是(　　)
A．a＝(－2，5)与b＝(4，－10)方向相同
B．a＝(4，10)与b＝(－2，－5)方向相反
C．a＝(－3，1)与b＝(－2，－5)方向相反
D．a＝(2，4)与b＝(－3，1)的夹角为锐角
答案　B
解析　在B中，a＝(4，10)＝－2(－2，－5)＝－2b，∴a与b方向相反．
4．(设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．3 B．2
C．2 D.
答案　C
解析　由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A，即有4＝b2＋12－4×b，解得b＝2或4，由b5．在△ABC中，已知a＝2bcos C，那么△ABC的内角B，C之间的关系是(　　)
A．B>C B．B＝C
C．B答案　B
6．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　已知在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则点D在与AB边平行的中位线上，且为靠近BC边的三等分点，从而有S△ABD＝S△ABC.
7．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值(　　)
A．等于2 B．等于0
C．大于2 D．等于0或等于2
答案　D
8．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　　)
A．76 B．2
C．27 D．2
答案　B
解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝76，所以b＝2.
9.如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为＝4＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝.
10．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案　C
11．已知＝a，＝b，＝c且满足λ·c＝0(λ>0)，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案　A
12．已知点A(2，3)，C(0，1)，且＝－2，则点B的坐标为________．
答案　(－2，－1)
解析　设点B的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－3)，＝(－x，1－y)．
又＝－2，
∴(x－2，y－3)＝－2(－x，1－y)＝(2x，2y－2)．
∴x＝－2，y＝－1.
13．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos C－sin Bsin C＝.
(1)求A；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解析　(1)∵cos Bcos C－sin Bsin C＝，
∴cos (B＋C)＝.
∵A＋B＋C＝π，∴cos (π－A)＝.∴cos A＝－.
又∵0(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
则(2)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos ，
∴12＝16－2bc－2bc×.∴bc＝4.
∴S△ABC＝bc·sin A＝×4×＝.
14．已知|a|＝3，|b|＝4，且满足(2a－b)·(a＋2b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．
解析　(2a－b)·(a＋2b)＝2a2＋3a·b－2b2
＝2×32＋3a·b－2×42＝3a·b－14，
由(2a－b)·(a＋2b)≥4，
得3a·b－14≥4，∴a·b≥6.
∴cos 〈a，b〉＝≥＝＝.
∴a与b的夹角θ满足0≤θ≤.
15．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ；
(2)设O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在线段OC上是否存在点M，使⊥，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4a2－4a·b－3b2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝π.
(2)假设存在点M，使⊥，则存在实数λ使＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．
由题意知(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0.
∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2，1)或＝，
即存在满足题意的M(2，1)或M.
16．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解析　(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0.
∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|>1，
∴|ka＋b＋c|2>1.
∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1.
∴k2a·a＋b·b＋c·c＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
∵a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
∴k2－2k>0，∴k<0或k>2.
17．在△ABC中，C－A＝，sin B＝.
(1)求sin A的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解析　(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B，0故cos 2A＝sin B，即1－2sin2A＝，sin A＝.
(2)由(1)得cos A＝.
又由正弦定理，得＝，BC＝·AC＝3.
又sin C＝sin＝cos A，
所以S△ABC＝AC·BC·sin C＝AC·BC·cos A＝3.