人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程 单元测试卷（含解析）

第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．－4
C．－ D.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．直线l：y＝k(x－)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－1或0
4．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．5
5．设a，b∈R，a≠b且ab≠0，则方程bx－y＋a＝0和方程ax2－by2＝ab在同一坐标系下的图象可能是(　　)
6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
7.如图，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是(　　)
A．3 B．2
C. D.
8．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知点F(1，0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　　)
A．y2＝4x B．x2＝4y
C.＋＝1 D.－＝1
10．已知A，B为圆锥曲线E的焦点，点C在E上，若△ABC为等腰直角三角形，则E的离心率可能为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
11．已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)
A．P点纵坐标为3 B．∠F1PF2>
C．△F1PF2的周长为4(＋1) D．△F1PF2的内切圆半径为(－1)
12．已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是(　　)
A．当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B．当－1C．当0D．当m>1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是________．
14．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．在椭圆＋＝1(a>b>0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．
16．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Q点是双曲线－＝1(a，b>0)上异于两顶点的一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．
18．(12分)已知点P到F1(0，)，F2(0，－)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．
(1)求轨迹C的方程；
(2)若|AB|＝，求k.
19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求m的值；
(2)若OA⊥OB，求m的值．
20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
21．(12分)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当·取得最大值时，求△MAB的面积．
22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的倍．
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若A. B.
C. D.
2．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－a B.(m－a)
C．m2－a2 D.－
3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A. B.
C．3 D．2
4．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．【多选题】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为π，则双曲线C的方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．【多选题】我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2分别为其左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是(　　)
A．|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2
B．∠F1B1A2＝90°
C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
7．【多选题】已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则(　　)
A．mn>0时，方程表示椭圆
B．mn<0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
8.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．
9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(010．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．
(1)求k的取值范围；
(2)求证：x0<－3.
13．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．
14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
15.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且与是共线向量．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．
第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．－4
C．－ D.
答案　C
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　因为△AF1B的周长为12，所以4a＝12，所以a＝3.又＝，所以c＝1，b2＝8，所以C的标准方程为＋＝1.
3．直线l：y＝k(x－)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－1或0
答案　C
解析　由题意可知直线l恒过点(，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y＝±x.要使直线l与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k＝±1.故选C.
4．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．5
答案　B
解析　由已知可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∴±＝±，∴b＝2a，∴b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2.
∴c2＝5a2，∴＝5，∴e＝＝.
5．设a，b∈R，a≠b且ab≠0，则方程bx－y＋a＝0和方程ax2－by2＝ab在同一坐标系下的图象可能是(　　)
答案　B
解析　方程ax2－by2＝ab变形为－＝1，直线bx－y＋a＝0，即y＝bx＋a的斜率为b，纵截距为a.当a>0，b>0时，－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，此时直线的斜率b>0，纵截距a>0，故C错误；当a<0，b<0时，－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，此时直线的斜率b<0，纵截距a<0，故D错误；当a<0，b>0，且－a≠b时，－＝1表示椭圆，此时直线的斜率b>0，纵截距a<0，故A错误．故选B.
6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案　B
解析　由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D(－，)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.故选B.
7.如图，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是(　　)
A．3 B．2
C. D.
答案　B
解析　如图，记AF1，AF2与△APF1的内切圆分别相切于点N，M，则|AN|＝|AM|，|PM|＝|PQ|，|NF1|＝|QF1|，又因为|AF1|＝|AF2|，则|NF1|＝|AF1|－|AN|＝|AF2|－|AM|＝|MF2|，因此|QF1|＝|MF2|，则|PF1|－|PF2|＝(|PQ|＋|QF1|)－(|MF2|－|PM|)＝|PQ|＋|PM|＝2|PQ|＝2，即2a＝2，则a＝1.由|F1F2|＝4＝2c，得c＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.故选B.
8．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
答案　D
解析　如图，显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，M(x0，y0)，则两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
由于x1≠x2，所以·＝2 ky0＝2.①
圆心为C(5，0)，由CM⊥AB，得k·＝－1 ky0＝5－x0.②
由①②解得x0＝3，即点M必在直线x＝3上，将x0＝3代入y2＝4x，得y02＝12 －20)上，所以(x0－5)2＋y02＝r2(r>0)，r2＝y02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y0≠0，所以4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知点F(1，0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　　)
A．y2＝4x B．x2＝4y
C.＋＝1 D.－＝1
答案　AD
解析　对于A，y2＝4x，抛物线的焦点为F(1，0)，满足；对于B，x2＝4y，抛物线的焦点为F(0，1)，不满足；对于C，＋＝1，焦点为(±，0)或(0，±)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D，－＝1，双曲线的右焦点为F(1，0)，满足．
10．已知A，B为圆锥曲线E的焦点，点C在E上，若△ABC为等腰直角三角形，则E的离心率可能为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
答案　ABD
解析　若圆锥曲线E为椭圆，不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，设椭圆的离心率为e.因为△ABC为等腰直角三角形，所以当AB为斜边时，可以得到b＝c＝a，则e＝＝；当AB为直角边时，不妨令|AC|＝|AB|＝2c，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝－1.若圆锥曲线E为双曲线，不妨设双曲线方程为－＝1(a′>0，b′>0)，设双曲线的离心率为e′.因为△ABC为等腰直角三角形，所以AB只能为直角边，不妨令AC⊥AB，则|AC|＝|AB|＝2c，可以得到2c′＝2a′＋2c′，则e′＝＝＋1.故选ABD.
11．已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)
A．P点纵坐标为3 B．∠F1PF2>
C．△F1PF2的周长为4(＋1) D．△F1PF2的内切圆半径为(－1)
答案　CD
解析　设点P的坐标为(x，y)，由椭圆E：＋＝1，可知a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)．因为△F1PF2的面积为3，所以×2c×|y|＝×4×|y|＝3，得到y＝±，A说法错误；将y＝±代入椭圆E的方程，得到＋＝1，解得x＝±，不妨取P，因为·＝·＝－4＋>0，所以∠F1PF2为锐角，B说法错误；因为a＝2，所以|PF1|＋|PF2|＝4，所以△F1PF2的周长为4＋4＝4(＋1)，C说法正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，因为△F1PF2的面积为3，所以×r×4(＋1)＝3，解得r＝(－1)，D说法正确．故选CD.
12．已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是(　　)
A．当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)
B．当－1C．当0D．当m>1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
答案　ABD
解析　设点P的坐标为(x，y)(x≠±1)，则直线AP的斜率为kAP＝，直线BP的斜率为kBP＝.因为kAP·kBP＝m，所以·＝m(x≠±1)，化简得到点P的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1)，所以正确结论有A、B、D.故选ABD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是________．
答案　
解析　由题意，得(a，b)共有8种不同情况，其中满足“曲线ax2＋by2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P＝.
14．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　2　
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，双曲线x2－＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为，因此×2p×＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为＝.
15．在椭圆＋＝1(a>b>0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．
答案　0或2或4
解析　设该点为P(x，y)，椭圆的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，则|PF1|＝＝＝a＋ex，|PF2|＝a－ex.
|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1|·|PF2|
＝2a2＋2x2＝4c2.
∴x2＝2a2－＝≥0.
∴当a2＞2c2时，该点不存在；
当a2≤2c2时，该点存在，且当a2＝2c2时这样的点有2个，当c216．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
答案　
解析　利用渐近线与直线方程求出交点A，B的坐标，进而得出中点C的坐标；由|PA|＝|PB|可知，PC与直线x－3y＋m＝0(m≠0)垂直，利用斜率关系求出a，b的关系式．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由得A.
由得B.
所以AB的中点C的坐标为.
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l.
所以kPC＝－3，即＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Q点是双曲线－＝1(a，b>0)上异于两顶点的一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．
解析　如图，延长F2P交F1Q于点A，连接OP，则由角平分线的性质，知|AQ|＝|F2Q|.
由三角形中位线性质，知|OP|＝|F1A|.
∴|OP|＝(|QF1|－|QA|)＝(|QF1|－|QF2|)．
若点Q在双曲线的左支上时，|OP|＝(|QF2|－|QF1|)，　
即|OP|＝×2a＝a，
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
18．(12分)已知点P到F1(0，)，F2(0，－)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．
(1)求轨迹C的方程；
(2)若|AB|＝，求k.
解析　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a＝2，c＝，b＝＝1，
故轨迹C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
则Δ＝4k2＋12(k2＋4)＝16(k2＋3)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝－.
则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，
所以|AB|2＝(1＋k)2(x1－x2)2＝(1＋k)2·＝，整理得(17k2＋53)(k2－1)＝0，
解得k2＝1，所以k＝±1.
19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求m的值；
(2)若OA⊥OB，求m的值．
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0，
∴
由|AB|＝|x1－x2|＝·＝10.
得m＝(m＜2)．
(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0.
∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.
∴2m2＋m(8－2m)＋m2＝0.
∴m2＋8m＝0，m＝0或m＝－8.
经检验得m＝－8.
20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
解析　(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)，
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，
由于直线PA与抛物线相切，令Δ＝0，得k＝t.
因此，点A的坐标为(2t，t2)．
设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知点B，O关于直线PD对称，
故解得
因此，点B的坐标为.
(2)由(1)知|AP|＝t·，直线PA的方程为tx－y－t2＝0.
点B到直线PA的距离是d＝.
设△PAB的面积为S，所以S＝|AP|·d＝.
21．(12分)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当·取得最大值时，求△MAB的面积．
解析　(1)由已知a＝2，＝，得c＝，
∴a2－b2＝2，即4－b2＝2，∴b2＝2，
∴椭圆Γ的方程为＋＝1.
(2)当直线AB与x轴重合时，·＝0.
当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)．
由得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0.
显然Δ>0，∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∴·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝(t2＋1)·＋3t·＋9＝＋9＝＋9＝≤，
∴·的最大值为.
此时t＝0，直线AB的方程为x＝1.
综上可知·的最大值为.
联立解得或
不妨令A，B，∴|AB|＝，
又|MN|＝3，
∴S△MAB＝|MN|·|AB|＝×3×＝.
22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的倍．
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
解析　(1)∵曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的倍，
∴|x－2|＝·，化简，得＋y2＝1，
即曲线C是椭圆，其方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋2k2)x2＋4mkx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝(4mk)2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，即2k2＋1>m2，x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝k2·＋mk·＋m2＝.
∵点A2(，0)在以AB为直径的圆上，
∴AA2⊥BA2，即·＝0.
又＝(－x1，－y1)，＝(－x2，－y2)，
∴(－x1，－y1)·(－x2，－y2)＝0，
即(－x1)(－x2)＋y1y2＝2－(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝0，
∴2＋·＋＋＝0，
化简得2k2＋4mk＋3m2＝0，即(k＋m)(k＋3m)＝0，
∴k＋m＝0或k＋3m＝0.
当k＋m＝0时，直线l：y＝k(x－)过定点(，0)，即过点A2(，0)，不满足题意；
当k＋3m＝0时，直线l的方程可化为y＝k，过定点.
综上，直线l过定点.
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知B，∴k＝＝＝1－e，
∴<1－e<，∴2．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－a B.(m－a)
C．m2－a2 D.－
答案　A
解析　不妨取P在双曲线的右支上，则
解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.
∴|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－a.
3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A. B.
C．3 D．2
答案　A
解析　利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r12＋r22－2r1r2cos ，得4c2＝r12＋r22－r1r2.
由得
∴＋＝＝.
令m＝＝＝＝，
当＝时，mmax＝，∴＝.
即＋的最大值为.
4．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1.故选D.
5．【多选题】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为π，则双曲线C的方程为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　AB
解析　因为A1(－a，0)，A2(a，0)，P(0，b)，Q(0，－b)，所以|A1A2|＝2a，|PQ|＝2b，所以|A1P|＝|A2Q|＝|A1Q|＝|A2P|＝＝c.又四边形A1PA2Q的面积为2，所以4×ab＝2，即ab＝.记四边形A1PA2Q的内切圆的半径为r，则2πr＝π，解得r＝，所以2cr＝2，所以c＝.又c2＝a2＋b2＝3，所以或，所以双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1.故选AB.
6．【多选题】我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2分别为其左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是(　　)
A．|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2
B．∠F1B1A2＝90°
C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1
D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
答案　BD
解析　∵椭圆C：＋＝1(a>b>0)，∴A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F1(－c，0)，F2(c，0)．对于A，若|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2，则(a－c)2＝(2c)2，∴a－c＝2c，∴e＝，不符合题意，故A错误；对于B，若∠F1B1A2＝90°，则|A2F1|2＝|B1F1|2＋|B1A2|2，∴(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，∴c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，符合题意，故B正确；对于C，若PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，则P，∵kPO＝kA2B1，∴＝，解得b＝c，又a2＝b2＋c2，∴e＝＝＝，不符合题意，故C错误；对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则由菱形面积公式可得ab＝c，∴c4－3a2c2＋a4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，解得e2＝(舍去)或e2＝，∴e＝，故D正确．故选BD.
7．【多选题】已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则(　　)
A．mn>0时，方程表示椭圆
B．mn<0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
答案　BD
解析　mx2＋ny2＝1表示椭圆的充要条件是m>0，n>0，A不正确；mx2＋ny2＝1表示双曲线的充要条件是mn<0，B正确；当n＝0时，mx2＝1不表示抛物线，C不正确；mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是n>m>0，D正确．故选BD.
8.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．
答案　＋1
思路分析　根据正方形的边长及O为AD的中点，求出点C，F的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．
解析　∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，
∴C，F.
又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，
∴解得＝＋1.
9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0答案　x2＋y2＝1
思路分析　根据题意，求出点B的坐标代入椭圆方程求解．
解析　设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，
∴F1(－，0)，F2(，0)．
∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3.
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－，y0＝－.
∴点B的坐标为.
将B代入x2＋＝1，得b2＝.
∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
答案　±1
解析　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.
∴x1＋x2＝－.
∴＝－＝－1＋，＝，
即Q.
又|FQ|＝2，F(1，0)，
∴＋＝4，解得k＝±1.
11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解析　方法一：根据题图设焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为.
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，
整理，得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝.
所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.
方法二：设M，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.
12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．
(1)求k的取值范围；
(2)求证：x0<－3.
解析　(1)由y2＝－4x，可得准线x＝1，从而M(1，0)．
设l的方程为y＝k(x－1)，
联立得k2x2－2(k2－2)x＋k2＝0.
∵A，B存在，
∴Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，∴－1又k≠0，∴k∈(－1，0)∪(0，1)．
(2)证明：设P(x3，y3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得
x3＝＝，y3＝k＝－＝－.
即直线PE的方程为y＋＝－.
令y＝0，x0＝－－1.
∵k2∈(0，1)，∴x0<－3.
13．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．
解析　(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±.
于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析　(1)椭圆＋＝1的右焦点为(4，0)，
所以抛物线C的方程为y2＝16x.
(2)设点M(a，0)(a≠0)满足题设，
当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，
则联立 k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝a2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则由∠POQ＝，得x1x2＋y1y2＝0.
从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0 a2－16a＝0 a＝16，
若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4，
当∠POQ＝时，a＝4，即a＝16，
所以存在满足条件的点M(16，0)．
15.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且与是共线向量．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．
解析　(1)设M(xM，yM)，∵F1(－c，0)，
∴xM＝－c，yM＝，∴kOM＝－.
由题意知kAB＝－，∵与是共线向量，
∴－＝－，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝.
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
则r1＋r2＝2a.又|F1F2|＝2c，∴由余弦定理，
得cos θ＝＝＝－1≥－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，
∴cos θ≥0，∴θ∈.
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