人教版高中数学选择性必修第一册-第2章-直线和圆的方程-章末测试卷（含解析）

第二章 直线和圆的方程 章末测试卷（原卷版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝(　　)
A．10　　　　　　　　　　 B．180
C．6 D．6
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是(　　)
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0
4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为(　　)
A．5－3 B.－3
C．7－3 D．5－3
8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为(　　)
A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0
C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为(　　)
A．x－3＝0 B．x－2＝0
C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．
14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．
15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15 km，观测站C的观测半径为5 km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝k(k>0)．
(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；
(2)在(1)问的条件下，则：
①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)
②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)
(参考数据：≈6.4，≈3.4，≈7.6)
22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
2．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－)2＋(y－)2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋(y－3)2＝ D．(x－2)2＋＝9
3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为(　　)
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－，0)
C．(0，) D．(0，5)
6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是(　　)
A. B．1＋
C．1＋ D．2－
7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若两圆外切，则r＝1
B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝
9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
10．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．
11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2，求直线l1的方程．
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.
(1)若|AB|＝，求CD的长；
(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．
15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(3)求线段AB长度的最小值．
第二章 直线和圆的方程 章末测试卷（解析版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则|MN|＝(　　)
A．10　　　　　　　　　　 B．180
C．6 D．6
答案　D
解析　kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝＝6.故选D.
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
答案　A
解析　方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.
3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是(　　)
A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0
答案　B
解析　本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，所以所以于是所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.
4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0
答案　D
解析　设圆心为C(2，0)，所以kPC＝＝－1，所以kAB＝1，所以lAB：x－y－4＝0.故选D.
5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
答案　C
解析　易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，由点到直线的距离公式，得<1，即k2<，解得－6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0，可得圆C1和C2的公共弦所在的直线方程为k(x－2y)＋(y－1)＝0，联立解得即点M(2，1)，又因为点M在直线mx＋ny＝2上，即2m＋n＝2，又由原点到直线2x＋y＝2的距离为d＝＝，即的最小值为.
7．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为(　　)
A．5－3 B.－3
C．7－3 D．5－3
答案　A
解析　圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝－3＝5－3.故选A.
8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为(　　)
A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0
C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0
答案　C
解析　本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，E(－，0)，所以AB，BC，CD，DE所在直线的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋，y＝(x＋)，整理为一般式即x＋(－1)y－＝0，(1－)x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0，x－(－1)y＋＝0.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案　ABC
解析　当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，把点(1，2)代入，得k＝2，所以此时直线的方程为2x－y＝0；当直线斜率k＝1时，设直线的方程为y＝x＋b，把点(1，2)代入，得b＝1，所以此时直线的方程为x－y＋1＝0；当直线斜率k＝－1时，设直线的方程为y＝－x＋b，把点(1，2)代入，得b＝3，所以此时直线的方程为x＋y－3＝0.
10．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为(　　)
A．x－3＝0 B．x－2＝0
C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
答案　AC
解析　由题意得圆心为C(1，2)，半径r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x－3＝0是圆C的切线；当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝2，解得k＝，∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.故选AC.
11．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
答案　ABC
解析　因为圆C1：x2＋y2＝r2①，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2②，交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以①－②得到直线AB的方程为2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入直线AB的方程可得2ax1＋2by1＝a2＋b2③，2ax2＋2by2＝a2＋b2④，故B正确；③－④得到2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，所以＝，＝，即x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案　ACD
解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，而4＋<5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，而－4<－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，此时|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，此时|PB|＝3，故C、D都正确．综上，选ACD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．
答案　或－1
解析　本题主要考查两直线的平行关系．当a＝－1时，两直线方程分别为2y＋1＝0，y－1＝0，显然两直线平行；当a≠－1时，由＝≠，得a＝.故a的值为或－1.
14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．
答案　0解析　因为圆心C(－5，0)到直线l：3x＋y＋5＝0的距离为＝＝，所以要使圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是015．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)　2
解析　直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x＋2)2＋y2＝4上，不妨设A(－4，0)，M(x，y)(x≠－4)，B(x1，y1)，则将(2x＋4，2y)代入(x＋2)2＋y2＝4，得(x＋3)2＋y2＝1(x≠－4)，所以点M的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A(－4，0))，则点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为－1＝2.
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．
答案　
解析　由题意圆L与圆S关于原点对称，设S(a，0)，a>0，则＝2＋3，解得a＝4，即S(4，0)，所以L(－4，0)．
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：
d1＝，d2＝，d3＝，
则d2＝4(4－d12)＝4(4－d22)＝4(9－d32)，
即有4－＝4－＝9－()2，解得k2＝.
则d2＝4＝，即d＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解析　(1)由得
所以交点坐标为(2，1)．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
则点A到直线l的距离为＝3，
解得k＝，所以l的方程为4x－3y－5＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
故直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)设直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点为P，由(1)可知P(2，1)，过点P任意作直线l(如图所示)，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时，等号成立)，
由两点间的距离公式可知|PA|＝.
即所求的距离的最大值为.
18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝2.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？
思路分析　由点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB的垂直平分线x＝－上，设圆心坐标为，半径为r，若选①，求出直线l1和l2的交点为，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD|＝2，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．
解析　因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，
又线段AB的垂直平分线所在直线方程为x＝＝－，则可设圆心坐标为，圆的半径为r，
若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
由解得即直线l1和l2的交点为，则圆Q过点，
所以r2＝＋＝＋(b＋1)2，解得b＝－1，则r2＝.
即存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝.
若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
由圆心在直线2x－y＝0上可得2×－b＝0，则b＝－1，所以r2＝＋(－1＋1)2＝，
即存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝.
若选③，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上．
若圆被y轴截得弦长|CD|＝2，根据圆的性质可得，r2＝＋＝，
由r2＝＋(b＋1)2＝，解得b＝－1.
即存在圆Q，且圆Q的方程为＋(y＋1)2＝.
19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
解析　因为圆C1可化为(x－6)2＋(y－1)2＝50，所以C1的坐标为(6，1)，半径r1＝5，同理可得C2的坐标为(－6，－8)，半径r2＝5.所以C1，C2所在的直线方程为3x－4y－14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0，
由得
即所求圆的圆心为C(2，－2)，半径r＝＝5.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若P(x，y)是圆C上的动点，求3x－4y的最大值与最小值．
解析　(1)线段AB的中点为，又kAB＝－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝1×，即x－y＋1＝0.
由解得所以圆心C(－3，－2)．
圆C的半径r＝|AC|＝＝5，
故圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)令z＝3x－4y，即3x－4y－z＝0.
当直线3x－4y－z＝0与圆C相切于点P时，z取得最值，
圆心C(－3，－2)到直线3x－4y－z＝0的距离d＝＝5，
解得z＝－26或z＝24.
故3x－4y的最大值为24，最小值为－26.
21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O的正东方向有一观测站C，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC＝15 km，观测站C的观测半径为5 km.现以点O为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y＝k(k>0)．
(1)若测得鲸的行进路线上一点A(1，1)，求k的值；
(2)在(1)问的条件下，则：
①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C的观测区域内？(计算结果精确到0.1)
②当鲸运动到何处时，离观测站C最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)
(参考数据：≈6.4，≈3.4，≈7.6)
解析　(1)将A(1，1)代入y＝k，可得k＝1.
(2)①以C为圆心，5为半径的圆的方程为(x－15)2＋y2＝25，
由
得x2－29x＋200＝0，
∴x＝，∴x1≈11.3，x2≈17.7，
∴当鲸运动到点(11.3，)即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C的观测区域内．
②鲸与点C的距离为：
d＝
＝
＝
＝，
∴当x＝时d最小．
故当鲸运动到点即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C最近．
22．(12分)已知圆C：x2＋(y－4)2＝4，直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0.
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)如图，已知点M(－3，4)，在直线MC上(C为圆心)，存在一定点N(异于点M)，满足对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
解析　(1)依题意，得m(3x－y)＋(x＋y－4)＝0，
令解得∴直线l过定点A(1，3)．
(2)当AC⊥l时，所截得的弦长最短．
由题知C(0，4)，圆C的半径r＝2，
∴kAC＝＝－1，∴kl＝1，∴＝1，∴m＝－1.
∵圆心C到直线l的距离为d＝|AC|＝，
∴最短弦长为2＝2.
(3)由题意知直线MC的方程为y＝4.
设定点N(t，4)(t≠－3)，P(x，y)，＝λ(λ>0)，则|PM|2＝λ2|PN|2，
∴(x＋3)2＋(y－4)2＝λ2(x－t)2＋λ2(y－4)2，
∴(x＋3)2＋4－x2＝λ2(x－t)2＋λ2(4－x2)，
整理得(6＋2tλ2)x－(λ2t2＋4λ2－13)＝0，
此式对任意的x∈[－2，2]恒成立，
∴∴或(舍去)或(舍去)．
综上，满足条件的点N的坐标为，且为常数.
1．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线x－3y＝0上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
答案　C
解析　设点A(－2，1)关于直线x－3y＝0的对称点为D(a，b)，则解得所以D(－1，－2)，所以|AC|＋|BC|＝|DC|＋|BC|，当B，D，C共线时，|AC|＋|BC|取最小值，最小值为|DB|＝＝2.
2．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－)2＋(y－)2＝9 B．(x－3)2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋(y－3)2＝ D．(x－2)2＋＝9
答案　D
解析　设圆心为(a，b)，半径为r，则满足条件的圆面积最小即r最小，r＝＝≥，因为圆心(a，b)在y＝(x>0)上，所以b＝，即ab＝3，所以rmin＝＝3，当且仅当3a＝4b，即a＝2，b＝时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋＝9.
3．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l的方程为(　　)
A．－3x＋2y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．2x－3y＋1＝0
答案　C
解析　方法一：由得由题意，知直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.故选C.
方法二：由题意设直线l：x＋y－2＋λ(2x－y－1)＝0(λ∈R)，即(1＋2λ)x＋(1－λ)y－2－λ＝0，又直线l的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－，所以直线l的方程为2x＋3y－5＝0.故选C.
4．已知圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4外切，a，b为正实数，则ab的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
答案　B
解析　因为圆C1：(x＋a)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(－a，2)，半径r1＝1，圆C2：(x－b)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(b，2)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝＝|a＋b|＝1＋2，所以a2＋b2＋2ab＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9，所以ab＝－≤，即当a＝b时，ab取得最大值，最大值为.
5．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－，0)
C．(0，) D．(0，5)
答案　A
解析　圆C的方程x2＋4x＋y2－5＝0可化为(x＋2)2＋y2＝9，则圆C与x轴正半轴交于点A(1，0)，与y轴正半轴交于点B(0，)，如图所示，因为过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆C：x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以kMA6．已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a的值是(　　)
A. B．1＋
C．1＋ D．2－
答案　A
解析　如图所示，易知直线AB的方程是y＝3，直线AC的方程是＋＝1，即3x＋2y－6＝0，且直线x＝a只与边AB，AC相交．设直线x＝a与AB交于点D，与AC交于点E，则点D，E的坐标分别为(a，3)，，从而|DE|＝3－＝a，S△ADE＝|AD||DE|＝a×a＝a2①.又S△ABC＝×3×3＝，所以S△ADE＝S△ABC＝②，由①②得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)．故选A.
7．【多选题】已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若两圆外切，则r＝1
B．若两圆公共弦所在的直线方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
答案　ABC
解析　由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r＝5，即r＝1，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x－6y－41＋r2＝0，所以－41＋r2＝－37，解得r＝2，故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r2，解得r＝3，故C正确．
8．【多选题】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝37
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝
答案　AB
解析　过点A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0，过点A，B的直线方程为x＝－2，过点B，C的直线方程为y＝－1，所以原点O到直线x＋2y－4＝0的距离dAC＝，原点O到直线x＝－2的距离dAB＝2，原点O到直线y＝－1的距离dBC＝1，所以dAB>dAC>dBC，又|OA|＝＝，|OB|＝＝，且|OC|＝＝.结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或.故选AB.
9．已知过点P(4，1)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
答案　x＋4y－8＝0
解析　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(4，1)，所以＋＝1≥2＝，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积S＝ab取得最小值，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
10．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－3)＋5有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　由题可知，y＝1＋，即x2＋(y－1)2＝9(y≥1)，其图象如图所示：
又直线y＝k(x－3)＋5即kx－y－3k＋5＝0过定点A(3，5)．
当直线与半圆相切时，则＝3，解得k＝.
当直线过点B(－3，1)时，k＝＝.
所以k∈.
11．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
答案　±
解析　根据题意，设点P的坐标为(a，b)，则直线PA的方程为y＝(x＋1)，其在y轴上的截距为，直线PB的方程为y＝(x－5)，其在y轴上的截距为－.若点P满足使直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则有×＝5，变形可得b2＋(a－2)2＝9，则点P在圆(x－2)2＋y2＝9上．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一的点P满足题意，则圆M与圆(x－2)2＋y2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为≥2，所以两圆外切，所以4＋m2＝25，解得m＝±.
12．已知圆C的圆心在直线l：x＋y＋1＝0上且经过点A(－1，2)，B(1，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点D(0，3)的直线l1被圆C截得的弦长为2，求直线l1的方程．
解析　(1)由题意得，圆心C一定在线段AB的垂直平分线上，
kAB＝＝－1，线段AB中点为(0，1)，
所以直线AB的垂直平分线为x－y＋1＝0.
所以直线l：x＋y＋1＝0与x－y＋1＝0的交点即为圆心C，即C的坐标为(－1，0)，半径r＝|CA|＝2.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)当直线l1斜率不存在时，方程为x＝0，此时圆心到l1距离为1，截得的弦长为2，满足题意；
当直线l1斜率存在时，设为k，则l1：kx－y＋3＝0，圆心(－1，0)到l1的距离d＝＝＝1，所以k＝，则直线l1的方程为4x－3y＋9＝0.
综上，直线l1的方程为x＝0或4x－3y＋9＝0.
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D.
(1)若|AB|＝，求CD的长；
(2)若线段CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．
解析　(1)直线AB的斜率显然存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝kx＋1.
因为＋＝4，
所以|AB|＝2，
由2＝，得k2＝15，
因为直线CD的方程为y＝－x＋1，
所以＝1－，
所以|CD|＝2＝2＝.
(2)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝×4×2＝4；
当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋1，显然k≠0，
则直线CD的方程为y＝－x＋1，
由<1，得k2>3，
因为＋＝4，
所以|AB|＝2，
易知E到直线AB的距离即M到AB的距离，设为d，
则d＝＝，
所以△ABE的面积S＝|AB|·d＝2，
令k2＋1＝t>4，则S＝2＝2＝2，易知∈，所以S∈.
综上，△ABE面积的取值范围为.
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．
解析　(1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．
又圆C与y轴相切，所以＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.
由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为＋＝.
15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
(3)求线段AB长度的最小值．
解析　由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．
(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，
∴|MP|＝＝＝＝4，
解得b＝0或，
∴点P的坐标为(0，0)或.
(2)圆N过定点(0，4)，.理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为(x－b)2＋＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由解得或
∴圆N过定点(0，4)，.
(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋＝，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①
又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②
②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，
∴点M到直线AB的距离d＝，
∴|AB|＝2＝4＝
4，
∴当b＝时，|AB|有最小值，为.