人教版高中数学选择性必修第一册-第1章 空间向量与立体几何 章末测试卷（含解析）

第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷(原卷版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四个命题中，正确的是(　　)
A．向量a＝(1，－1，3)与向量b＝(3，－3，6)平行
B．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一基底
2．已知点A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A．不共面　　　　　　　　 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
3．如图，在四面体O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离为(　　)
A. B.
C. D.
5．如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
6．在直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
7.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时，则AE等于(　　)
A．1 B.
C．2－ D．2－
8．三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1在底面的射影是△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则有(　　)
A.·＝a2 B.·＝a2
C.·＝a2 D.·＝a2
10．在四面体P－ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则＝3
B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋
C．若·＝0，·＝0，则·＝0
D．若四面体P－ABC的棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则(　　)
A．PA⊥BD
B．PB与平面ABCD所成角为
C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D．平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为
12．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边AB＝，AC＝，则下列说法正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ACD
B．四面体D－ABC的体积是
C．二面角A－BC－D的正切值是
D．BC与平面ACD所成角的正弦值是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD中点，则＝____________________．(用a，b，c表示)
14．在平面直角坐标系中，点A(－1，2)关于x轴的对称点为A′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B(－1，2，3，)关于x轴的对称点B′的坐标为________，若点C(1，－1，2)关于平面Oxy的对称点为点C′，则|B′C′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
15．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则·＝________．
16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积取得最小值时，其棱AA1＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
18．(12分)如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2.
(1)求证：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．
22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4.
(1)若PM∶MD＝1∶2，求证：PB∥平面ACM；
(2)求二面角A－CD－P的正弦值；
(3)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
1．设向量u＝(a，b，0)，v＝(c，d，1)，其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断错误的是(　　)
A．向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c，d的值无关)
B．u·v的最大值为
C．u与v夹角的最大值为
D．ad－bc的最大值为1
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在体对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是(　　)
A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1
B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C
D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为θ2，二面角C1－A1B1－D的平面角为θ3，则(　　)
A．θ2<θ1，θ2<θ3 B．θ2>θ1，θ2<θ3
C．θ2<θ1，θ2>θ3 D．θ2>θ1，θ2>θ3
4.已知正方体ABCD－EFGH(如图)，则(　　)
A．直线CF与GD所成的角与向量所成的角〈，〉相等
B．向量是平面ACH的法向量
C．直线CE与平面ACH所成角的正弦值与cos〈，〉的平方和等于1
D．二面角A－FH－C的余弦值为
5．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
6.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
7．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P(如图乙)，则下列结论正确的是(　　)
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
9．【多选题】已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝3()2
B.·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
10．【多选题】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为θ，则θ的值可能是(　　)
A. B.
C. D.
11．【多选题】在正三棱柱ABC－A′B′C′中，所有棱长均为1，BC′与B′C交于点O，则(　　)
A.＝＋＋
B．AO⊥B′C
C．三棱锥A－BB′O的体积为
D．AO与平面BB′C′C所成的角为
12．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．
①对任意x∈(0，2)，都存在某个位置，使得AB⊥CD；
②对任意x∈(0，2)，都不存在某个位置，使得AB⊥CD；
③对任意x>1，都存在某个位置，使得AB⊥CD；
④对任意x>1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD.
13.如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________，AC1的长为________．
14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．　
15．如图1在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E，F，G分别是线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图2)．
(1)求证：AP∥平面EFG；
(2)求二面角G－EF－D的大小．
16.如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.
(1)求证：EF∥B1C；
(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．
17.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长是1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值．
18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)求证：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
19.如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，点C为圆O上一点，且BD＝PD＝3，AC＝2AD＝2.
(1)求证：PA⊥CD；
(2)求二面角B－CP－D的余弦值．
20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小并求出最小值；
(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
第一章 空间向量与立体几何 章末测试卷(解析版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四个命题中，正确的是(　　)
A．向量a＝(1，－1，3)与向量b＝(3，－3，6)平行
B．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一基底
答案　D
解析　因为{a，b，c}为空间的一个基底，设a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即无解，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，故D正确；因为＝≠，所以a＝(1，－1，3)和b＝(3，－3，6)不平行，故A错误；△ABC为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A，所以无法推出·＝0，故B错误；若a·b＝0即可得出C项错误．综上所述，本题的正确答案为D.
2．已知点A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)
A．不共面　　　　　　　　 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
答案　B
解析　因为＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．故选B.
3．如图，在四面体O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　取BC中点E，连接AE，OE，则＝(＋)，G1是△ABC的重心，则AG1＝AE，所以＝＝(－)，因为OG＝2GG1，所以＝＝(＋)＝＋(－)＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以x＝y＝z＝.
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　以D1为坐标原点，分别以射线D1A1，D1C1，D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2)．
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，－1，2)，＝(－1，0，2)，
则即
令z＝1，得n＝(2，2，1)．
又因为＝(－2，0，0)，
所以点C1到平面B1EF的距离h＝＝＝.
5．如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
答案　A
解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以点S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M，N.
因为＝，＝所以||＝，||＝，·＝－，
所以cos〈，〉＝＝－.
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.故选A.
6．在直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N.则AM＝3，BN＝2，MN＝5.又＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)．
又AM⊥MN，MN⊥NB，〈，〉＝60°，故2＝9＋25＋4＋6＝44.
∴AB＝||＝2.故选B.
7.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时，则AE等于(　　)
A．1 B.
C．2－ D．2－
答案　D
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝m(0≤m≤2)．
D(0，0，0)，P(0，0，1)，E(1，m，0)，C(0，2，0)．可取平面ABCD的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面PEC的法向量为n2＝(a，b，c)，
＝(0，2，－1)，＝(1，m－2，0)，
则∴∴
令b＝1，得n2＝(2－m，1，2)．
cos〈n1，n2〉＝＝＝.
∴m＝2－.即AE＝2－.
8．三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱长等于底面边长，A1在底面的射影是△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图，设A1在底面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设△ABC边长为1，
则A，B1，
所以＝.
易知平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，
则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sin α＝|cos〈，n〉|＝＝.故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则有(　　)
A.·＝a2 B.·＝a2
C.·＝a2 D.·＝a2
答案　AD
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，B1(a，a，a)，O(，，)．对于A，·＝(0，a，0)·(－a，a，0)＝a2，所以A正确；对于B，·＝(0，a，0)·(－a，a，－a)＝a2，所以B不正确；对于C，·＝(0，－a，0)·(0，a，a)＝－a2，所以C不正确；对于D，·＝(0，a，0)·(－a，a，－a)＝a2，所以D正确．故选AD.
10．在四面体P－ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则＝3
B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋
C．若·＝0，·＝0，则·＝0
D．若四面体P－ABC的棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1
答案　ABC
解析　对于A，∵＝＋，∴3＝＋2，∴2－2＝－，∴2＝，
∴3＝＋，即3＝，∴A正确；
对于B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，
∴3－－－＝3，
∴3＝＋＋，即＝＋＋，∴B正确；
对于C，若·＝0，·＝0，则
·＋·＝·＋·(＋)＝·＋·＋·＝·＋·－·＝(－)·＋·＝·＋·＝·＋·＝·(＋)＝·，
∴·＝0，∴C正确；
对于D，∵＝－＝(＋)－＝(＋－)，
∴||＝|＋－|.
∵(2＋2＋2－2·－2·＋2·)＝(22＋22＋22－2×2×2×－2×2×2×＋2×2×2×)＝2，
∴||＝，
∴D错误．故选ABC.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则(　　)
A．PA⊥BD
B．PB与平面ABCD所成角为
C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D．平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为
答案　ABCD
解析　对于A，由∠DAB＝，AB＝2AD及余弦定理得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.由PD⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D，AD，PD 平面PAD，所以BD⊥平面PAD，又PA 平面PAD，故PA⊥BD.故A正确．
对于B，因为PD⊥底面ABCD，所以∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角，又tan∠PBD＝＝，所以∠PBD＝.故B正确．
对于C，显然∠PCD是异面直线PC与AB所成的角，易得cos∠PCD＝＝.故C正确．
对于D，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设AD＝1，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)，所以＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则即取y1＝1，可得n＝(，1，)是平面PAB的一个法向量．
设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则即
取y2＝1，可得m＝(0，1，)是平面PBC的一个法向量，所以cos〈m，n〉＝＝，
所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.故D正确．
12．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边AB＝，AC＝，则下列说法正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ACD
B．四面体D－ABC的体积是
C．二面角A－BC－D的正切值是
D．BC与平面ACD所成角的正弦值是
答案　CD
解析　依题意作图，如图所示，
由于AD⊥BD，AD⊥CD，故∠BDC是二面角C－AD－B的平面角，
则∠BDC＝120°，因为BD∩CD＝D，所以AD⊥平面BCD.
过B作BE⊥CD交CD的延长线于E，
因为AD⊥平面BCD，BE 平面BCD，所以AD⊥BE.
因为BE⊥CD，AD∩CD＝D，所以BE⊥平面ACD，故BE是三棱锥B－ACD的高．
在原图中，BC＝＝3，AD＝＝＝，BD＝＝1，
CD＝＝＝2，BE＝BD×sin 60°＝1×＝，
所以VD－ABC＝VB－ACD＝××AD×CD×BE＝××2×＝，故B错误．
以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(，0，0)，B，C(0，2，0)，＝，＝(－，2，0)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则
取x＝，则y＝，z＝5，所以n＝(，，5)，
平面ACD的一个法向量为m＝(0，0，1)，则m·n＝5≠0，
所以平面ACD与平面ABC不垂直，故A错误．
平面BCD的一个法向量为a＝(1，0，0)，cos〈n，a〉＝＝＝，
sin〈n，a〉＝＝＝.
设二面角A－BC－D的平面角为θ，由图可知θ为锐角，
则tan θ＝|tan〈n，a〉|＝＝，故C正确．
＝，平面ACD的一个法向量为m＝(0，0，1)，
cos〈m，〉＝＝－，
所以BC与平面ACD所成角的正弦值是，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD中点，则＝____________________．(用a，b，c表示)
答案　a＋b＋c
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
14．在平面直角坐标系中，点A(－1，2)关于x轴的对称点为A′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B(－1，2，3，)关于x轴的对称点B′的坐标为________，若点C(1，－1，2)关于平面Oxy的对称点为点C′，则|B′C′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案　(－1，－2，－3)　
解析　由题意得B(－1，2，3)关于x轴的对称点B′的坐标为(－1，－2，－3)；点C(1，－1，2)关于Oxy平面的对称点为C′(1，－1，－2)，所以|B′C′|＝＝.
15．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则·＝________．
答案　3
解析　如图，可设＝a，＝b，AA1＝c，于是可得
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c，
同理可得＝－a＋b＋c，
于是有·＝(a＋b＋c)·(－a＋b＋c)
　　　　　　＝－a2＋b2＋c2＋2b·c
　　　　　　＝－4＋1＋4＋2×1×2×cos 60°
　　　　　　＝3.
16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积取得最小值时，其棱AA1＝________．
答案　
解析　设AA1＝m(m>0)，CM＝n(0≤n≤m)，如图建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，m)，M(0，1，n)，A(，0，0)，
所以＝(0，1，n－m)，＝(－，1，n)．
又MD1⊥MA，所以·＝1＋n(n－m)＝0，所以m－n＝(n≠0)．
所以S△MAD1＝D1M·AM＝·＝·
＝
＝≥＝，
当且仅当n＝，m＝时，等号成立，所以当△MAD1的面积取得最小值时，其棱AA1＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
解析　ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．
(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，
∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.
解得k＝.
18．(12分)如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b.
(1)P(0，0，a)，A(0，0，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N.易知为平面PAD的一个法向量.＝(b，0，0)，
又＝，
所以·＝0，
所以⊥.
又MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，且D(0，a，0)．
所以＝(b，a，－a)，＝，＝(0，a，－a)．
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
所以
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
所以
令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
解析　(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图所示．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE 平面BCD，BD 平面BCD，
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M，则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．
设平面MBC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则即
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量为n＝(1，－1，1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2.
(1)求证：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
解析　(1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在题图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC＝O，OA1，OC 平面A1OC，从而BE⊥平面A1OC.又BC綉DE，所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)因为平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC为二面角A1－BE－C的平面角，所以∠A1OC＝.如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，所以B，E，A1，C(0，，0)，则＝，＝，＝＝(－，0，0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ.
则即可取n1＝(1，1，1)．
又即可取n2＝(0，1，1)．
从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.
21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．
解析　(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC.
又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.
如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC.
所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又DO＝AO，AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
所以BO⊥OD.又AC 平面ADC，OD 平面ADC，AC∩OD＝O，所以BO⊥平面ADC.
又BO 平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，D(0，0，1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而点E到平面ABC的距离为点D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.
故＝(－1，0，1)，＝(－2，0，0)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，
则即
令x＝1，可得n＝.
设m是平面AEC的法向量，则同理可取m＝(0，－1，)．
则cos〈n，m〉＝＝.
由图知二面角D－AE－C为锐角，所以二面角D－AE－C的余弦值为.
22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4.
(1)若PM∶MD＝1∶2，求证：PB∥平面ACM；
(2)求二面角A－CD－P的正弦值；
(3)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
解析　(1)证明：如图，连接BD交AC于点N，连接MN.
因为BC∥AD，所以＝＝.
又因为PM∶MD＝1∶2，所以MN∥PB.
又因为MN 平面ACM，PB 平面ACM，
所以PB∥平面ACM.
(2)如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，＝(－2，2，0)，＝(0，4，－4)．
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令x＝1，得即n＝(1，1，1)．
又平面ACD的一个法向量m＝(0，0，1)，
所以cos〈m，n〉＝＝，
故二面角A－CD－P的正弦值为＝.
(3)设＝λ(0≤λ≤1)，
则＝(0，4λ，－4λ)，
所以＝(0，4－4λ，4λ)，
由(2)得平面PCD的一个法向量n＝(1，1，1)，且直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
所以cos〈，n〉＝＝，
解得λ＝，即＝.
又||＝＝4，故||＝||＝2.
1．设向量u＝(a，b，0)，v＝(c，d，1)，其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断错误的是(　　)
A．向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c，d的值无关)
B．u·v的最大值为
C．u与v夹角的最大值为
D．ad－bc的最大值为1
答案　B
解析　在A中，设z轴正方向的方向向量z＝(0，0，t)，t>0，向量v与z轴正方向的夹角的余弦值cos α＝＝＝，所以α＝45°.所以向量v与z轴正方向的夹角为定值45°(与c，d的值无关)，故A正确；
在B中，u·v＝ac＋bd≤＋＝＝1.当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得|u·v|≤1，所以－1≤u·v≤1.所以cos〈u，v〉＝＝≥－＝－，所以u与v的夹角的最大值为，故C正确；
在D中，ad－bc≤|ad－bc|≤|ad|＋|bc|≤＋＝＝1，所以ad－bc的最大值为1.故D正确．
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在体对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是(　　)
A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1
B．线段CA1的中点
C．线段CA1的三等分点，且靠近点C
D．线段CA1的四等分点，且靠近点C
答案　B
解析　设正方体的棱长为1，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．取MN的中点为Q，连接PQ.
则M，N，Q，A1(0，0，1)，C(1，1，0)，
则＝(1，1，－1)．
设P(t，t，z)，＝(1－t，1－t，－z)，
由与共线，可得＝＝，所以P(1－z，1－z，z)，其中0≤z≤1.
因为||＝＝，
||＝＝，
所以||＝||，所以PQ⊥MN，即||是动点P到直线MN的距离．
由空间两点间的距离公式可得
||＝＝＝.
所以当z＝时，PQ取得最小值，此时P为线段CA1的中点，
由于MN＝为定值，所以当△PMN的面积取得最小值时，P为线段CA1的中点．
3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为θ2，二面角C1－A1B1－D的平面角为θ3，则(　　)
A．θ2<θ1，θ2<θ3 B．θ2>θ1，θ2<θ3
C．θ2<θ1，θ2>θ3 D．θ2>θ1，θ2>θ3
答案　A
解析　由题可知，直三棱柱ABC－A1B1C1底面为锐角三角形，D是棱BC的中点，
设三棱柱ABC－A1B1C1是棱长为2的正三棱柱，以A为原点，
在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(0，0，2)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，D，A(0，0，0)，＝(0，2，0)，＝，＝(，1，0)．
因为直线B1D与直线AC所成的角为θ1，θ1∈，
所以cos θ1＝＝.
因为直线B1D与平面A1B1C1所成的角为θ2，θ2∈，
平面A1B1C1的法向量n＝(0，0，1)，
所以sin θ2＝＝，所以cos θ2＝＝.
设平面A1B1D的法向量m＝(a，b，c)，
则
取a＝，取m＝，
由图可知，θ3为锐角，
所以cos θ3＝＝＝，所以cos θ2>cos θ3>cos θ1.
由于y＝cos θ在区间(0，π)上单调递减，故θ2<θ3<θ1，
则θ2<θ1，θ2<θ3.
4.已知正方体ABCD－EFGH(如图)，则(　　)
A．直线CF与GD所成的角与向量所成的角〈，〉相等
B．向量是平面ACH的法向量
C．直线CE与平面ACH所成角的正弦值与cos〈，〉的平方和等于1
D．二面角A－FH－C的余弦值为
答案　B
解析　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(1，0，1)，F(1，1，1)，G(0，1，1)，H(0，0，1)．
易知GD∥AF，且△AFC为等边三角形，所以异面直线CF与GD所成的角为∠AFC＝60°，而＝(1，0，1)，＝(0，－1，－1)，所以cos〈，〉＝＝－，所以〈，〉＝120°，故A错误；
＝(－1，－1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，则·＝(－1)×(－1)－1×1＝0，·＝(－1)×(－1)－1×1＝0，所以⊥，⊥，即FD⊥AC，FD⊥AH，又AC∩AH＝A，所以FD⊥平面ACH，所以向量是平面ACH的法向量，故B正确；
设直线CE与平面ACH所成角为θ，＝(1，－1，1)，＝(－1，－1，－1)，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝，所以sin2θ＋cos2〈，〉＝＋＝，故C错误；
连接EG，设EG∩FH＝M，则M为FH的中点，连接AM，CM，因为AH＝AF，CH＝CF，M为中点，所以AM⊥FH，CM⊥FH，所以∠AMC为二面角A－FH－C的平面角，易得M，＝，＝(－，，－1)，所以cos〈，〉＝＝，故D错误．
5．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－PB－C的平面角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0，2，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)．
所以＝(0，－2，2)，＝(，－1，0)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量，
则即
令y＝1.则x＝，z＝1.
即n＝.
易知m＝(1，0，0)是平面PAB的一个法向量．
则cos〈m，n〉＝＝＝.
所以正切值tan〈m，n〉＝.故选A.
6.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0，0，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)，
∴＝(0，2，1)，＝(3，3，0)
设平面BED的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝，
平面ABE的法向量为m＝(1，0，0)，
∴cos〈n，m〉＝＝，
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.
7．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　设向量a＋b与c的夹角为α，
因为a＋b＝(－1，－2，－3)，|a＋b|＝，cos α＝＝，所以α＝60°.因为向量a＋b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.故选C.
8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P(如图乙)，则下列结论正确的是(　　)
A．PD⊥EF
B．平面PDE⊥平面PDF
C．平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为
D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心
答案　ABC
解析　对于A，如图，取EF的中点H，连接PH，DH，由△PEF和△DEF为等腰三角形，得PH⊥EF，DH⊥EF，又PH∩DH＝H，PH，DH 平面PDH，所以EF⊥平面PDH，又PD 平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确．
对于B，根据折起前后，可知PE，PF，PD三线两两垂直，于是可证平面 PDE⊥平面PDF，故B正确．
对于C，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的AB＝2，则P(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，0，0)，D(0，2，0)，故＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)．易知＝(0，2，0)为平面PEF的一个法向量，设平面EFD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则y＝1，z＝2，则n＝(2，1，2)为平面EFD的一个法向量，
|cos〈，n〉|＝＝＝，所以平面PEF与平面EFD夹角的余弦值为.故C正确．
对于D，由于PE＝PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是△DEF的外心，故D错误．
9．【多选题】已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝3()2
B.·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
答案　AB
解析　由向量的加法得到＋＋＝，因为A1C2＝3A1B12，所以()2＝3()2，A正确；
因为－＝，AB1⊥A1C，所以·＝0，B正确；
因为△ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，所以异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，C错误；
因为AB⊥AA1，所以·＝0，故|··|＝0，D错误．
10．【多选题】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为θ，则θ的值可能是(　　)
A. B.
C. D.
答案　ABC
解析　以D点为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DA＝2，易得＝(－2，0，0)，＝(2，－2，2)，＝(1，0，－1)，设＝λ＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则＝＋＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝＝(0≤λ≤1)．当λ＝时，cos θ取到最大值，此时θ＝；当λ＝1时，cos θ取到最小值，此时θ＝，所以θ的取值范围为.故选ABC.
11．【多选题】在正三棱柱ABC－A′B′C′中，所有棱长均为1，BC′与B′C交于点O，则(　　)
A.＝＋＋
B．AO⊥B′C
C．三棱锥A－BB′O的体积为
D．AO与平面BB′C′C所成的角为
答案　AC
解析　由题意，画出正三棱柱ABC－A′B′C′如图所示，
向量＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋＝＋＋，A正确；
在△AOC中，AC＝1，OC＝，OA＝＝1，
OA2＋OC2≠AC2，所以AO和B′C不垂直，B错误；
在三棱锥A－BB′O中，S△BB′O＝，
点A到平面BB′O的距离即△ABC中BC边上的高，所以h＝，
所以VA－BB′O＝S△BB′Oh＝××＝，C正确；
设BC中点为D，所以AD⊥BC，又三棱柱是正三棱柱，
所以AD⊥平面BB′C′C，
所以∠AOD即为AO与平面BB′C′C所成的角，
cos∠AOD＝＝＝，所以∠AOD＝，D错误．
12．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．
①对任意x∈(0，2)，都存在某个位置，使得AB⊥CD；
②对任意x∈(0，2)，都不存在某个位置，使得AB⊥CD；
③对任意x>1，都存在某个位置，使得AB⊥CD；
④对任意x>1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD.
答案　③
解析　假设将△ABD沿对角线BD所在的直线进行翻折时存在△A1BD(A1是点A翻折后对应的点)，使BA1⊥CD.建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(0，x，0)，D(1，x，0)．
又BA1⊥A1D，CD∩A1D＝D，CD，A1D 平面A1CD，
∴BA1⊥平面A1CD.
设A1(a，b，c)，则＝(a，b，c)，＝(1，0，0)，＝(1－a，x－b，－c)．
由得
得
当a＝0时，点A1位于yBz坐标平面内，此时，b2＋c2＝1，01.
综上可知，当x>1时，将△ABD沿对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，都存在某个位置，使得AB⊥CD.故答案为③.
13.如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________，AC1的长为________．
答案　3　
解析　由题意知，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝，则＝＋＋＝＋＋.
因为＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝1，所以x＋y＋z＝3.
因为底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
所以||＝|＋＋|＝
＝＝.
14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．　
答案　
解析　以B1为坐标原点，B1C1为x轴，B1A1为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，
∴A(0，2，2)，D(1，1，0)，B(0，0，2)，C1(2，0，0)，
＝(1，－1，－2)，＝(2，0，－2)，
设异面直线AD和BC1所成角为α，
则cos α＝＝＝.
∴异面直线AD和BC1所成角的大小为.
15．如图1在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E，F，G分别是线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图2)．
(1)求证：AP∥平面EFG；
(2)求二面角G－EF－D的大小．
解析　(1)证明：因为在图1中，AP⊥CD，所以在图2中PD⊥CD，AD⊥CD，
所以∠ADP是二面角P－DC－A的平面角，
因为平面PDC⊥平面ABCD，
所以∠ADP＝90°，即PD⊥DA，
又AD∩DC＝D，AD 平面ABCD，DC 平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD.
如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，G(1，2，0)．
所以＝(－2，0，2)，＝(0，－1，0)，＝(1，2，－1)，
设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，由法向量的定义得

不妨设z＝1，则n＝(1，0，1)，
·n＝－2×1＋0×0＋1×2＝0，
所以⊥n，又AP 平面EFG，
所以AP∥平面EFG.
(2)由(1)知平面GEF的法向量n＝(1，0，1)，
因平面EFD与坐标平面PDC重合，
则它的一个法向量为i＝(1，0，0)，
由图形观察二面角G－EF－D为锐角，设二面角G－EF－D为θ，则cos θ＝＝＝.
故二面角G－EF－D的大小为45°.
16.如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.
(1)求证：EF∥B1C；
(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．
解析　(1)证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.又A1D 平面A1EFD，B1C 平面A1EFD，于是B1C∥平面A1EFD.又B1C 平面B1CD1，平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.
(2) 因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为(0.5，0.5，1)．
设平面A1DE的法向量为n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量＝(0.5，0.5，0)，＝(0，1，－1)，由n1⊥，n1⊥得(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1)．
设平面A1B1CD的法向量为n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，由此可得n2＝(0，1，1)．
所以结合图形知二面角E－A1D－B1的余弦值为＝＝.
17.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长是1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值．
解析　(1)证明：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C，D，P(0，0，2)，E.
因为＝，平面PAB的一个法向量是n0＝(0，1，0)，所以和n0共线．从而BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
(2)易知＝(1，0，－2)，＝，
＝(0，0，－2)，＝.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面PBE的一个法向量，
则由得
所以y1＝0，x1＝2z1，故可取n1＝(2，0，1)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAD的一个法向量，
则由得
所以z2＝0，x2＝－y2，故可取n2＝(，－1，0)．
于是cos〈n1，n2?＝＝＝.
故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值为.
18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)求证：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
解析　(1)证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．
易得＝(1，0，－1)，＝(－1，1，－1)，
于是·＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
则即
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2，1)．
由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，CC1∩CE＝C，CC1，CE 平面CEC1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，
从而sin〈m，〉＝.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)＝(0，1，0)，＝(1，1，1)．
设＝λ＝(λ，λ，λ)(0≤λ≤1)，
有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则
sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝
＝.
于是＝，
解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝.
19.如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，点C为圆O上一点，且BD＝PD＝3，AC＝2AD＝2.
(1)求证：PA⊥CD；
(2)求二面角B－CP－D的余弦值．
解析　(1)证明：由BD＝3，AD＝1，知AB＝4，AO＝2，点D为AO的中点，
连接OC，因为AO＝AC＝OC＝2，
所以△AOC为等边三角形．
又点D为AO的中点，所以CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以PD⊥CD.
又PD∩AO＝D，PD 平面PAB，AO 平面PAB，
所以CD⊥平面PAB，又PA 平面PAB，
所以PA⊥CD.
(2)由(1)可知，DC，DB，DP三线两两垂直．以D为原点，以DC，DB，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，3)，C(，0，0)，B(0，3，0)，因为DB⊥平面PCD，所以＝(0，3，0)是平面PCD的一个法向量．
设平面BCP的一个法向量u＝(x，y，z)，
＝(－，3，0)，＝(－，0，3)．
因为所以
令x＝，则y＝1，z＝1.所以u＝(，1，1)．所以|cos〈u，〉|＝＝，所以二面角B－CP－D的余弦值为.
20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小并求出最小值；
(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
解析　如图建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，0，0)．
因为CM＝BN＝a，所以M，N.
(1)MN＝＝，其中0(2)MN＝＝.
当a＝时，MN最小，最小值为.
(3)由(2)可知，当M，N为所在边的中点时，MN最短，此时M，N，
取MN的中点G，连接AG，BG，则G，
因为AM＝AN，BM＝BN，
所以AG⊥MN，BG⊥MN，所以∠AGB或其补角为所求的角．
因为＝(，－，－)，＝(－，－，－)，
所以cos∠AGB＝＝－，
所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为.