保山市智源高级中学2023-2024学年高二下学期7月月考
数学试卷
（闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150）
注意事项：
答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号，在试卷上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在中，，，，则（ ）
A．7 B． C． D．13
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线过点，则其准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）（参考公式：棱台的体积，其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）
A．
B．
C．
D．
6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图，则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和没有超过经济收入的一半
7．已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为，，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为，，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 12 11 9 7 6
根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ）
A．相关系数 B．第一个样本点对应的残差为-0.2
C． D．若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg
10．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（ ）
A．的周长为4
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为
11．设无穷等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件， ，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大项 D．数列存在最小项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知，写出一个“+a<0”的一个必要不充分条件： .
13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，M，N分别为线段BC，DC上的点，且，，则的值为 .
14．已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（改编）(13分)已知函数，其中为常数.
(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；
(2)若恒成立，求的最大值.
16．（改编）（15分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，
(1)求角B：
(2)若AC边上的高，求sinAsinC..
17．（15分）2021年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑 200米游泳 1分钟跳绳三项测试.某学校在初三上学期开始，为了了解掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图.
1分钟跳绳成绩 优秀 不优秀 合计
男生人数 30
女生人数 45
合计 100
(1)规定学生1分钟跳绳个数大于等于175为优秀.若在抽取的100名学生中，女生共有45人，男生1分钟跳绳个数大于等于175的有30人.根据已知条件完成下面的列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关.
(2)根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步.假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比初三上学期开始时增加10个，全年级恰有1000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和标准差估计和，各组数据用中点值代替，估计正式测试时1分钟跳绳个数大于173的人数（结果四舍五入到整数）.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
若随机变量服从正态分布，则
18．（17分）在四棱柱中，已知平面，，， ，，是线段上的点．
(1)点到平面的距离；
(2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定
点位置；若不存在，试说明理由．
19．（17分）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、 两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．保山市智源高级中学2023-2024学年高二下学期7月月考
数学 参考答案及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B A D B D
参考答案：
1．C
【分析】利用余弦定理求解可得.
【详解】由余弦定理可得，
所以.
故选：C
2．D
【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.
【详解】，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选：D
3．A
【分析】将点代入抛物线方程可得，进而可得抛物线的准线方程.
【详解】由抛物线过点，得，即，
于是的准线方程为.
故选：A.
4．B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得，.
故选：B.
5．A
【分析】根据棱台的体积公式，直接代入求解即可.
【详解】由已知得：
，
代入公式得：.
故选：A.
6．D
【分析】由饼图提供的数据计算后判断．
【详解】设新农村建设前经济收入为，
则新农村建设后种植收入，新农村建设前种植收入为，种植收入增加，A正确；
其他收入建设后为，建设前为，增加了一倍以上，B正确；
养殖收入建设前为，建设后为，养殖收入增加了一倍，C正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和点总收入的比例为，超过经济收入的一半，D错．
故选：D．
7．B
【分析】根据全概率公式即可求解
【详解】设“甲果园提供赣南脐橙”为事件A，“乙果园提供赣南脐橙”为事件B，“赣南脐橙为优品”为事件C，
则由题意得，
由全概率公式得，
故选：B
8．D
【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】的定义域为R，
，
所以，在上，，则函数单调递减，
在上，，则函数单调递增.
因为，所以是偶函数.
由，可得，
于是，即，
化简得，解得，即.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 BCD BCD AC
9．BCD
【分析】首先根据相关数据的变化关系，即可判断相关系数，计算样本点中心，代入回归直线方程，求解，并根据残差公式，求解残差，并根据回归直线方程，进行预测.
【详解】由对应数据可知，增大，减小，所以相关系数
，，
由，得，所以，
即，
所以相关系数，故A错误，C正确；
由回归直线方程，当时，，
所以第一个样本点对应的残差为，故B正确；
当时，，故D正确.
故选：BCD
10．BCD
【分析】利用椭圆的定义可判定A，利用焦半径公式可判定B，利用椭圆弦长公式可判定C，利用点差法可判定D.
【详解】由题意可知椭圆的长轴长，左焦点，
由椭圆的定义可知，
故A错误；
设，，
易知，故B正确；
若的斜率存在，不妨设其方程为：，
联立椭圆方程，则，
所以，
若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得，
显然当的斜率不存在时，，故C正确；
设，易知
，
若中点为，则，故D正确.
故选：BCD
11．AC
【分析】根据等比数列的单调性可判断，进而可判断，，即可结合选项逐一求解.
【详解】由，所以，又，
当时，则，，不成立，
所以，所以数列为正项数列且单调递减.
对于A，由数列为正项数列，所以，故A正确；
对于B，由，所以，，所以，
，故B错误；
对于C，D，根据上面分析，数列为正项数列且单调递减，且，，
所以，所以是数列的最大项，无最小项，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
题号 12 13 14
答案 （答案不唯一）
12．（答案不唯一）
【分析】解分式不等式得充要条件，再根据必要不充分条件的定义求解即可.
【详解】由得，即，等价于，解得，
所以“”的必要不充分条件必定包含，
所以“”的一个必要不充分条件（答案不唯一）.
证明如下：
当成立时，一定成立，但是成立时，不一定成立，
所以为即的一个必要不充分条件.
故答案为：（答案不唯一）
13．
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
由于，，所以，
故，,
，
故答案为：
14．
【分析】由复合函数单调性、正弦函数单调性得出关于不等式组，从而，进一步结合，又可得到关于的不等式组，结合即可得解.
【详解】由题意，所以在单调递增，
若在区间上单调递增，则在上单调递增，
所以，其中，解得，
从而等号不能同时成立，解得，
又，所以只能或，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．
（1） .............（1分）
设切点坐标为，则切线方程为，.............（3分）
因为切线经过原点，所以，解得， .............（5分）
所以切线的斜率为，所以的方程为..............（6分）
（2），即.............（7分）
16．（1）因为，
由正弦定理可得，.............（1分）
即
即，
所以，.............（3分）
在三角形中，，
所以，.............（4分）
即，因为，则
可得，则..............（7分）
（2）因为边上的高，
所以①.............（9分）
又②.............（11分）
由①②可得，
由正弦定理可得，.............（13分）
结合（1）中可得..............（15分）
17．
（1）由题意得样本中1分钟跳绳个数大于等于175的人数为
，即优秀的共有人，.............（2分）
补充完整的列联表如下表所示：
1分钟跳绳成绩 优秀 不优秀 合计
男生人数 30 25 55
女生人数 18 27 45
合计 48 52 100
所以.............（6分）
所以没有的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关；.............（7分）
（2）因为，
所以，.............（9分）
方差为
，
而，所以，.............（11分）
所以，.............（12分）
，.............（13分）
.............（14分）
故估计正式测试时1分钟跳绳个数大于173的人数约为841..............（15分）
18．
（1）过作直线平面，
则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，.............（2分）
则，，
设面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，.............（5分）
所以点到面的距离..............（6分）
（2）因为为的中点，所以，所以，，.............（7分）
所以
所以异面直线与AE所成角的余弦值为．.............（9分）
（3）设，其中，
则，，.............（10分）
设面的一个法向量为，
则有，令，则，，
所以，平面的一个法向量为，.............（12分）
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，.............（14分）
所以，
若存在点，使得二面角的余弦值为，
则，所以，解得或，.............（16分）
故存在或满足题意，即存在点在处或在靠近的三等分点处．.............（17分）
19．
(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，且，.............（2分）
因为到直线的距离为，故，.............（4分）
则，故双曲线的方程为：．.............（5分）
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，.............（6分）
消元得，则，.............（8分）
又直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．.........（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，.............（12分）
设，，联立，则，
，，，.............（14分）
则，
而，.............（15分）
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．.............（17分）
