保山市智源高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考
数学 参考答案及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D A C A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ACD AB BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
题号 12 13 14
答案 89.5 -4 7
15.（13分）【详解】（1）
.........3
，解得，.........4
，解得，..........5
所以函数的增区间：，.......6
减区间：，........7
（2）........9
因为，所以.......11
所以，即......13
16.（15分）【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得........2
由乙样本数据直方图可知，，
解得........4
（2）甲样本数据的平均值估计值为
........7
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
解得，所以乙样本数据的中位数为82........10
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为........12
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个.......14
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.........15
17（15分）【详解】（1）.....1
.....3
则.......5
，.......6
又，.........7
（2），，
由余弦定理得，
即，.......10
所以,（当且仅当时取“＝”）.........12
故，.........13
的最大值为8，的最大值为12 周长的最大值为12.......15
18.（17分）【详解】（1）证明：连结，
因为△为等边三角形，所以，又因为底面是菱形，所以.......2
所以△≌△，又因为，所以
所以平面，而平面.........4
所以，又因为底面是菱形，所以，
所以平面.........6
而平面，所以，........7
（2）棱上存在一点，使平面，点为的中点.........8
证明：取的中点，连结，，
因为为的中点，且，又且，
所以，且.........10
所以，四边形为平行四边形，
所以，，又平面，平面，
所以，平面...............12
设点到平面的距离为
因为，...........14
又因为平面，易知，所以，由得：.............16
即：，所以........17
即点F到平面PBD的距离为.
19.（17分）【详解】（1）对于函数的定义域内存在，
则，故不是“依赖函数”............3
（2）因为在递增，故，即，.......5
由，故，得..........6
从而，设......8
当时，函数单调递增，
故...........9
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去......10
②若故在上单调递增，
∴，解得或（舍）........12
∴存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，
得，由，可得........15
又在单调递增，故当时，，
从而，解得..........17
综上，故实数的最大值为.保山市智源高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考
数学试卷
（闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150）
注意事项：
1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚。
2、每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号。在试卷上作答无效。
一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．设全集，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．关于直线、及平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据，方差，则所有的数据都为0
B．若数据，的平均数为，则的平均数为6
C．若数据，的方差为，则的方差为12
D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。)
9．已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项中正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第个路口首次遇到红灯的概率为
B．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为、、，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C．先后抛掷枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字、、、、、）骰子向上的点数分别为、，则的概率为
D．设个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
11．如图，在四边形中，，将沿进行翻
折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．始终有
B．当平面平面时，平面
C．当平面平面时，直线与平面成角
D．当平面平面时，三棱锥外接球表面积为
填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分。)
12．抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为，则该运动员这10次成绩的分位数为 .
13．已知，则 .
14．已知函数，则函数的零点个数为 .
四、解答题(本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15．（13分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到函数的图象，当，求函数的值域．
(15分)某学校为了解本校历史 物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理
方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个.
(1)求和乙样本直方图中的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分别在和的学生中抽取6人，并从这6
人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
17．(15分)已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足 ．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值．
18．(17分)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，E为AP的中点，为等边三角形．
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在一点F，使平面PBF，若存在，求点F到平面PBD的距离；若不存在，请说明理由．
19．(17分)若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使 成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.
