河北省部分中学2023-2024学年高二下学期6月联考
数学试卷解析版
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】集合，集合，
若，又，所以，解得
故选：B
2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
3．的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【详解】由二项式的展开式的通项为，
则展开式中项为，
所以展开式中的系数为.
故选：B.
4．用5种不同的颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，要求相邻格子的颜色不相同．则所有不同染色方法种数为（ ）
A．1280 B．120 C．32 D．64
【答案】A
【详解】由题意知，本题是一个分步计数问题，
首先给最左边一块涂色，有5种结果，
再给左边第二块涂色有4种结果，
以此类推第三块也有4种结果，
第四块有4种结果，
第五块有4种结果，
所以根据分步乘法计数原理知共有种，
故选：A．
5．商场出售的袋装大米，每袋净重X（单位：kg）服从正态分布．随机抽取1袋，其净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
【答案】A
【详解】由题意可知，，可得，
则净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为，
由正态分布的对称性可知，
.
故选：A
6．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【详解】样本点的观测值为，预测值为，
则残差为，解得.
故选：C.
7．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ）
A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小
【答案】D
【详解】A：在10次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，
因为取最大值，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．故A错误；
B：，当时，取得最大值，故B错误；
C、D：，
，
，
，
当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误；
当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系.
8．设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为为偶函数，
所以，所以，
令，
因为为偶函数，
则，即，
即，
所以，
当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，
由，即，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围是．
故选：A．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.4 0.1
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A：由，解得，
所以，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC.
10．已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．4为函数的一个周期
【答案】ACD
【详解】根据题意，，
取，得，因为，所以，A正确;
取，得，所以，B错误;
取，得，即，
所以为偶函数，C正确;
取，得，所以，
即4为函数的一个周期，D正确.
故选：ACD.
11．小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
x 1 2 3 4 5
y 10 m 6 n 2
（附：，）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】当时，，解得，
则，
，，
，
，
所以，
得，
，
；
同理，当时，，，
所以，
故选：BD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则 .
【答案】-448
【详解】由题意知为的展开式中项的系数，即展开式中第6项的系数，其为.
故答案为：-448.
13．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以当时，，
易知函数在单调递增，所以，
即可得在上单调递减，
由不等式可得；
即，因此可得，解得.
即不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解函数不等式解集问题时，利用已知条件并合理构造函数，再由导函数求得函数单调性，根据单调性即可求得不等式解集.
14．已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是 .
【答案】1
【详解】通过观察
可得恒成立；
整数满足恒成立则一定满足恒成立；
注意到时，，取特殊值，得到，
可验证当时，若取大于的整数，都有使得.
下面验证满足恒成立：
令，，
，，
由零点存在定理得：存在使得.
且当，，单调递减；
，，单调递增；
满足.
，当且仅当取等，,可得恒成立，
即恒成立，恒成立.
综上，可知满足题意的最大整数为.
故答案为：1
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）二项式展开式的通项为：（且），
所以，所以.
（2）令，得，
令，得，
所以.
（3）因为展开式的通项为（且），
所以当为奇数时，项的系数为负数.
所以，
令，得，
∴.
16.（本小题15分）
已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)
答案见解析
【详解】（1）当时，，则，，
又，在处的切线方程为：，即
（2）由题意得：定义域为，，
当时，，在上单调递增.
当时，若和，则.
若，则；在，上单调递增，在上单调递减.
17.（本小题15分）
某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.
(1)求和.
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
参考公式及数据：，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】(1)，
(2)表格见解析，有关；
【详解】（1）因为，，
所以，，
由于，解得，所以.
，解得.
（2）
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
零假设为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.
根据列联表中的数据，经计算得到.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，
此推断犯错误的概率不大于0.005.
18.（本小题17分）
有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.
(1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
(2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件
①求
②求
【答案】(1)
(2)①，，；②
【详解】（1）；
（2）①，
，
，
；
②，
.
19.（本小题17分）
已知函数，其导函数为．
(1)求函数的最小值；
(2)若直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)证明：（，）
【答案】(1)0
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）定义域为，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为；
（2）令，则，
设直线切曲线于点，则
，
所以切线方程为，即，
因为是曲线在处的切线方程，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，上递增，
所以，
所以的最小值为；
（3）证明：由（1）知，所以，
所以，当时取等号，
令，则，
因为，所以，
所以，所以，
所以，，，……，，
所以，
即（，）.河北省部分中学2023-2024学年高二下学期6月联考
数学试卷
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
3．的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
4．用5种不同的颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，要求相邻格子的颜色不相同．则所有不同染色方法种数为（ ）
A．1280 B．120 C．32 D．64
5．商场出售的袋装大米，每袋净重X（单位：kg）服从正态分布．随机抽取1袋，其净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
6．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ）
A． B．6 C． D．8
7．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ）
A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小
8．设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.4 0.1
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．4为函数的一个周期
11．小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，排名y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）
x 1 2 3 4 5
y 10 m 6 n 2
（附：，）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则 .
13．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ．
14．已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
16.（本小题15分）
已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
17.（本小题15分）
某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.
(1)求和.
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格
建立
未建立
合计
参考公式及数据：，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
18.（本小题17分）
有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.
(1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
(2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件
①求
②求
19.（本小题17分）
已知函数，其导函数为．
(1)求函数的最小值；
(2)若直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)证明：（，）
