上海市黄浦区2010届高三暑假质量检测（数学文）（一）

黄浦区2009-2010学年度高三年级暑假质量检测(一)
数学试卷(文科)
(2009年7月)
考生注意：
1、每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题纸上填写清楚；
3、本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．只需将结果填写在答题纸上)
1、关于 ．
2、函数的定义域是 ．
3、若函数是定义域为R的偶函数，则实数 ．
4、计算：＝ ．
5、已知全集，，则
= ．
6、某中学即将举行2009届高三学生毕业典礼，校领导准备从高三(1)班的7名优秀毕业生(3名男生，4名女生)中随机抽取2名学生在毕业典礼上发言，则抽到的2名学生恰好是1男1女的概率是 ．
7、已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P()是角终边上一点，则 ．
8、把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形，若矩形的一组邻边长分别为，则该圆柱体的体积是 ．
9、直线经过点P相切，则直线的方程
是 　　　　　 ．
10、已知下列程序框图输出的结果是，则输入框中的所有可能值是 ．
11、已知等比数列，则＝ ．
12、的最小值是 ．
二、选择题(本大题共4小题，共16分．每小题都给出四个选项，其中有且仅有一个结论正确，选对得4分，并将答题纸对应题号上的字母涂黑，否则一律得零分)
13、“直线 ( 　 )
　　　　A、充要条件．　　　 B、充分非必要条件．
　　　　C、必要非充分条件． D、非充分非必要条件．
14、若线性方程组 ( )
A、1 ．　　B、－1 ．　　　C、1 ．　　　D、以上都错 ．
15
则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( )
A、2．　　B、 ．　　　C、．　　　D、 ．
16、已知四棱锥菱形，如图(1)所示，则该四棱锥的主视图(AB平行于主视图的投影平面)可能是 ( )
三、解答题(本大题共5题，满分74分．解答下列各题需要写出必要的步骤，并把解题过程清楚地书写在答题纸上)
17、本大题满分12分(其中(1)6分，(2)6分)
已知三棱锥的棱长都是2，点D是棱AP上不同于P的点．
(1)试用反证法证明直线BD与直线CP是异面直线．
(2)求三棱锥的体积．
18、本大题满分12分
某工厂生产甲、乙两种产品所需原材料吨数及一周内可用工时总量如下表所示．
每吨甲产品消耗
每吨乙产品消耗
每周可供使用的总量
原材料(吨数)
3
2
16
生产时间(小时)
5
1
15
已知销售甲、乙产品每吨的利润分别为5万元和2万元．试问生产甲、乙两种产品各多少吨时，该厂每周获得的利润最大？
　
19、本大题满分16分(其中(1)8分，(2)8分)
　　已知，函数
．
　　(1)求的值．
(2)求函数．
20、本大题满分16分(其中(1)8分，(2)8分)
若数列
都成立，则我们把数列称为“L型数列”．
(1)试问等差是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
(2)已知L型数列满足，证明：数列是等比数列，并进一步求出的通项公式．
21、本大题满分18分(其中(1)8分，(2)10分)
已知点P满足，动点满足．
　　(1)求动点N所在曲线C的方程．
(2)若曲线C上的两点A、B满足(O为坐标原点，A、B不同于O点)，试证明直线AB必过定点，并求出这个定点的坐标．
黄浦区2009年高考模拟考
数学试卷(文科)
参考答案和评分标准
说明：
1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、填空题：
1、　 7、
2、 8、(只填一个给2分)
3、　 9、
4、 1 　　 10、
5、 11、
6、　　 12、
二、选择题：　13、C　　　14、A　　　15、B　　　16、D
三、解答题
17、本大题满分12分(其中(1)6分，(2)6分)
证明 (1)(反证法)假设BD与CP不是异面直线.　　　　　2分
　　设BD与CP都在平面上.，.又，.∴点A、B、C、P都在平面上，这与P、A、B、C不共面(P-ABC是三棱锥)矛盾，于是，假设不成立. 5分
　　所以直线BD与CP是异面直线. 　　　　　　　　　　 6分
解(2)　设锥顶点P在底面的射影为O．∵P-ABC的棱长都是2，∴△ABC是正三角形.
∴，即Ｏ为底面三角形的中心，因此P-ABC为正三棱锥．联结BO并延长交AC于E，．
∵AB=BC=AC=PB=2，．　　　　　　　　　　8分
，进一步可得．　　 　10分
　　∴ 　　　　
=
= ． 　　 　　 　　　 　 　12分
18、本大题满分12分
解 设工厂一周内生产甲产品x吨、乙产品y吨，每周所获利润为z万元．　　1分
　　依据题意，得约束条件为
　　　　　　．　　　　　　　　　　　　4分
　　求目标函数的最大值． 　 　　 6分
　　画出约束条件的可行域，如图阴影部分所示。　 8分
将直线向上平移，可以发现，经过可行域的最后一个点B(2，5)时，函数的值最大(也可通过代凸多边形端点进行计算求得)，最大值为5×2+2×5=20(万元)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
所以每周生产甲产品2吨，乙产品5吨时，工厂可获得的周利润最大(20万元)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12 分
19、本题满分16分(其中(1)8分，(2)8分)
解 (1)依据题意，有

=
= 3分
=
=． 　 6分
又，∴．　　　 8分
(2) 由(1)可知，．
当.　　　　　　　　 　　　　10分
考察正弦函数的图像，进一步有，． 15分
　　所以函数．　　　　　　　　　　　16分
20、(本题满分16分，其中(1)8分，(2)8分)
(1) 答　等差数列都是L型数列．
　　理由　当数列，　　1分
即，且相应的． 3分
　　所以等差数列是L型数列．　　　　　　　　　　　　　　 4分
同样，当数列，　　 5分
即，且相应的． 　 7分
　　所以等比数列是L型数列．　　　　　　　　　　　　　 8分
证明　(2)∵，
　　∴
　　　　　　　＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
又，
　　∴数列．　　12分
　　于是，，即()．
∴因此，的等差数列.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　14分
∴，
　　所以．　　　　　　　　　16分
21、本大题满分18分(其中(1)8分，(2)10分)
解 (1)设动点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分
　依据题意，有，．3分
又，则
　　　，进一步有．因此，．　 　7分
所以曲线C的方程是．　　　　　　　　　　　　　　　8分
证明(2)　因A、B是曲线C：上不同于原点的两点，
　　可设、，
则
　　、，．　11分
　　又，故．所以．　　　14分
　　由直线AB的法向量为，可得直线AB的方程：
，进一步化简为．16分
所以直线AB：恒过定点，且定点坐标为(4，0)． 18分
证毕！