上海市黄浦区2009-2010届高三暑假质量检测（数学文）(六)

黄浦区2009-2010学年度高三年级暑假质量检测(六)
数学文科　2009.7
（满分150分，考试时间120分钟）
一、填空题(每小题5分，共60分)
1. 设复数z满足（是虚数单位）, 则z= ▲ .
2. 方程的解是= ▲ .
3. 已知向量，若向量与垂直，则= ▲ .
4. 已知函数，与的图像关于直线对称，则= ▲ .
5. 若, 则实数= ▲ .
6. 函数 的最大值是 ▲ .
7. 已知、满足，则的最大值等于 ▲ .
8. 已知集合，，若，则实数的取值范围是 ▲ .
9. 从5名世博志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有
▲ 种.
10. 在棱长为的正方体中,是的中点, 若都是上的点, 且,是上的点, 则四面体的体积是 ▲ .
11. 函数为偶函数的充要条件是 ▲ .
12. 当正三角形边长为时，图(1)中点的个数为；当正方形边长为时，图(2)中点的个数为；在计算图(3)中边长为的正五边形中点的个数时，观察图(4)可得，…，则类似的边长为的正边形中点的个数= ▲ .
二、选择题(每小题4分，共16分)
13. 若直线的一个法向量, 则这条直线的倾斜角为 （ ▲ ）
A． B． C． D．不能确定
14. 已知在上是奇函数, 且满足, 当(0, 2) 时,, 则的值是（ ▲ ）
A. —2 B. 2 C. —98 D. 98
15. 若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ▲ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1个或2个
16. 对于直角坐标平面内任意两点、，定义它们之间的一种“新距离”：
.给出下列三个命题：
①若点在线段上. 则;
②在中,若,则;
③在中,.
其中的真命题为 ( ▲ )
A. ①②③ B. ①② C. ① D. ②③
三、解答题
17. （本题12分）在中，，.，求的面积.

18. （本题14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，，⊥平面, 且,.
(1) 求证: 平面;
(2) 求异面直线与所成角的大小.
19．（本题14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知幂函数在区间上是单调增函数，且为偶函数．
⑴求函数的解析式；
⑵设函数，若对任意 恒成立，求实数的取值范围．
20. （本题16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）对于正整数，表示的最大奇因数，如，，，.
（1）分别计算：；；;
（2）求；
并证明=;
（3）记 其中为正整数，求.
21. （本题18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比.
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程.
（2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值.
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆：和：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等比数列，则点P的轨迹方程为”.请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明.
黄浦区2009年高三数学文答案
一、填空题
1. _____ . 2. ___. 3. 4. 。
5. _____. 6. _____. 7. __3___ 8. _______.
9 __48___ 10. __________. 11. 或.12. 二、选择题
13. C 14. A 15. C 16.C
三、解答题
17. (本题12分)在中，，.，求的面积.
解：由，， 得，
所以 ……………………………… 4分
因为，
且， 故 ……………………………… 7分
根据正弦定理得，………………………… 10分
所以的面积为 ……………………………… 12分

18. （本题14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，AB∥OC，PO⊥平面, 且,
(1) 求证: 平面
(2) 求异面直线与所成角的大小
18．（1）面 …………………………… 2分
…………………………… 4分
面 …………………………………6分
（2）作交于，连，则是与所成的角，
易知，……………………………… 8分
在，，中分别得，…… 11分
在中，……………………………… 13分
是所求角的大小. ……………………………… 14分
19．（本题14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知幂函数在区间上是单调增函数，且为偶函数．
⑴求函数的解析式；
⑵设函数，若对任意 恒成立，求实数的取值范围．
19．解：⑴∵在区间上是单调增函数，
∴ 即
∴ ……………………………… 3分
又∵∴
而时，不是偶函数，
时，是偶函数．
∴ ………………………… 6分
⑵由知，
对任意 恒成立． ………… 9分
又＝
∴在上单调递减，于是．
∴
故实数的取值范围是． ………………………… 14分
20.对于正整数，表示的最大奇因数，如，，，，
（1）分别计算；；
（2）求；
并证明=
（3）记其中为正整数，求
解：（1）=；……………………2分
=；
= ……………………4分
（2）
……………………6分
证明：∵ ∴中的最大奇因数即为中的最大奇因数
∴=
……………………8分
（3）当时，
………10分
……………………12分
即
∴，
，
…………
可得=……………………15分
当时，也成立，
∴ ……………16分
21.若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比。
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程。
（2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值.
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆：和：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等比数列，则点P的轨迹方程为”.请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明.
解：（1）设椭圆的相似椭圆的方程为，则有
解得 ……………………3分
∴所要求的椭圆方程为 ……………………4分
（2）①当射线与轴重合时，=……………………5分
②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形。
设其方程为（），设，
由 解得
由 解得 ……………………7分
= ……………………9分
∴
由①②知， 的最大值为， 的最小值为 ……………………10分
(3)本题根据学生提出和解决问题的质量评分
命题结构：条件结论
条件由四部分组成：
其中基本条件为：椭圆、、、等比，
得分条件为：①双曲线或抛物线； ②或； ③相似比为；④等差。
分三类评分标准
第一类：含三个或四个得分条件，满分为8分（提出命题和证明命题各4分）。
第二类：含二个得分条件，满分为6分（提出命题和证明命题各3分）。
第一类：含一个得分条件，满分为4分（提出命题和证明命题各2分）。
例如：①双曲线+②+③相似比为+等比
1.过原点的一条射线分别与两条双曲线：和： 交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等比数列，则点P的轨迹方程为 ……………………4分
证明：∵射线与双曲线有交点，不妨设其斜率为，显然。
设射线的方程为，设点、、
由 解得 ，
由 解得 …………………6分
由P点在射线上，且 得 即
得 ……………………8分
例2：①抛物线+②+③相似比为+等比
过原点的一条射线分别与两条抛物线：和： 相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等比数列，则点P的轨迹方程为 ……………………4分
证明：∵射线与抛物线有异于原点的交点，不妨设其斜率为。
设射线的方程为，设点、、
由 解得 ，
由 解得 ……………………6分
由P点在射线上，且 得 即
得 …………8分
其他主要情形如下表，不属表中情况的，根据相关原则酌情评分。
满分情况
基本条件
得分条件
结论
椭圆
等比
双曲线或抛物线
或
等差
满分
为
8分（4
+4）
1
√
√（双）
√
√
2
√
√（双）
√
√
3
√（双）
√
√
√
4
√
√（抛）
√
√
5
√（抛）
√
√
√
6
√
√（抛）
√
√
7
√
√
√
√
满分
为
6分
（3
+3）
8
√
√
√
√
9
√
√
√（双）
√
10
√
√
√（抛）
√
满分
为
4分
（2
+2）
11
√
√
√
√
12
√
√
√
√
椭圆与双曲线可写成统一形式
若方程为，相似比为，则
等差时，
等比时，
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