上海市黄浦区2009-2010届高三暑假质量检测（数学文）(三)

黄浦区2009-2010学年度高三年级暑假质量检测(三)
数学试卷（文史类）
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、学号、以及试卷类型等填写清楚.
3. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟.
一、填空题（本题满分60分）本大题共有12题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写
结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．若，(、,表示虚数单位)，则 ．
2．过点且一个方向向量的直线方程为 ．
3．若，则= ．
4．若圆与抛物线的准线相切，则的值是 ．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ．
6．双曲线的左、右焦点为、，若点在双曲线上，且,则 ．
7．函数，的单调递增区间是 ．
8．两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱中至少有一封信的概率为 ．
9．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．
10．如图，△中，，=，，延长
作平行四边形，．当点在线段上移动时，
若， 则的最小值为 ．
11．已知是以2为周期的偶函数，当时，．若关于的方程
在内恰有四个不同的根，则的取值范围是 ．
12．如图，一条螺旋线用以下方法画成：是边长为1的正三角形，
曲线，，分别以、、为圆心，以、、
为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心、
为半径画弧，这样画到第圈，则第圈的三段圆弧的长度之和
为 ．(用含的式子表示)
二、选择题（本题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论
是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.
13．若A,B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2，则A,B两点间的球面距离为……………………………………………（ ）
A． B． C． D．
14．在中，“”是“”的 …………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
15．在约束条件下，若，目标函数的最大值变化范围是（ ）
A． B． C. D.
16．由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列四个判断错误的是……………………（ ）
A．第2列必成等比数列 B．第1列不一定成等比数列
C． D．若9个数之和等于9，则
三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
17．（满分12分）本题有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
关于的不等式的解集为．
（1）求实数、的值；
（2）若，，且为纯虚数，求的值．
18．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图，直三棱柱中，，．
（1）设是棱的中点，求在平面内的正投影的面积．
（2）若是棱上的任意一点（包括端点），求四棱锥体积的取值范围．
19．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数
（1）解方程；
（2）当时，求函数的最大值和最小值，并求函数的达到最值时x的值．
20．（满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分6分．
把公差为2的等差数列的各项依次插入等比数列中，将按原顺序分成1项、2项、4项、……、项的各组，得到数列：，……，记数列的前项和为，已知，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的第100项；
（3）设 ，阅读框图写出输出项，并说明理由．
21．（满分18分）本题共有2小题，第1小题满分12分，第2小题满分6分．
记平面内动点到两条相交于原点的直线的距离分别为研究满足下列条件下动点的轨迹方程．
（1）已知直线的方程为：，
（a）若，指出方程所表示曲线的形状；
（b）若，求方程所表示的曲线所围成区域的面积；
（c）若，研究方程所表示曲线的性质，写出3个结论．
（2）若，试用表示常数d及直线的方程，使得动点的轨迹方程恰为椭圆的标准方程（）．
黄浦区2009年暑假资料数学文参考答案与评分标准
一、填空题
1．3 2． 3． 4．1 5．
6．10 7． 8． 9． 10．
11． 12．
二、选择题
13．D 14．B 15．C 16．D
三、解答题
17.【解】（1）原不等式等价于，即 -------------------3分
由题意得， 解得，． ------------------------5分
（2）， ------------------------7分
若为纯虚数，则，即 ----------------------------------9分
12分
18．【解】（1）过作于，连接，显然平面，所以在平面内的正投影是．------------------------------3分
，，的面积为．
所以在平面内的正投影的面积为．----------7分
（2）设（），平面，
即是四棱锥的高，-------------9分
且，梯形的面积，四棱锥的体积（）-------------11分
即，故四棱锥体积的取值范围是．-------------14分
19.【解】（1）若，方程为：，
解得：，，为方程的解 --------------------------------------------4分
若，方程为：，方程无解 -----------------------------------------6分
（2）时， ------------------------------------------------------8分
当，即时，
=，故 ．--------------------------------------10分
当，即时，
=，所以．--------------------------------------12分
综上可得：当时，，当时，． ------------------------------14分
20.【解】（1）由题意，，，，故----------------2分
所以， --------------------------------------------------------4分
（2）数列与、相关的项数有规律：
==--------------7分 当6时，即=，故 ------9分
所以： ------------------------------------------------------------------------10分
（3）由于 所以--------------------11分
=---------------------------------------------12分
当时 递增
当时 递减 ----------------------------------------------------13分
通过计算
所以满足条件的项只有三项，，--------------------16分
21.【解】（1）（a） （指出椭圆形状即得3分）--------------------------------3分
（b） ----------------------------------------------------------- 4分
方程所表示的曲线所围成区域为正方形面积为．-----------------------------------6分
（c），
范围：
对称性：关于和原点对称
渐近线为： （任写出一条得2分，满分6分）---------------------------------12分
（2）设直线的方程为：（），-----------------------------------15分
则由得 ，
令，即得椭圆的标准方程（）．------------------18分
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