庐江县2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的。
1.集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1},则AU(CRB)=
A.{x|x>1}B.{x|x≥-1}
C.{x|1D.{x|1≤x≤2}
2.已知a∈R,(2+ai)i=4+2i(i为虚数单位)，则a等于
A.-1
B.1
C.-4
D.3
3.已知某地A,B,C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个
村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取10%的户数进行调查，则样本容
量和抽取C村贫困户的户数分别是
50
贫困率(%)
A.100,10
B.100,20
A
C.200,10
D.200,20
350户
30
200片
B
4.已知a,B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，
100
450户
0
ABC村
则下列说法正确的是
图()
图(2)
A.如果mCa,nCa,m∥B,n∥B,那么a∥3
B.如果a∥B,mCa,m∥n,那么n∥p
C.如果a∩B=l,a⊥B,m⊥1，那么m⊥B
D.如果m⊥n,m⊥a,n⊥B,那么a⊥B
5,在△ABC中，∠A=60°，AB=2,AC=3,点D为边AC上一点，且AC=3AD,则AB.BD=
A.3
B.2
C.-3
D.-2
6.我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形
屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为6m,母线SA长
为12m(如图2).若C是母线SA的一个三等分点（靠近点S),从点A到点C绕屋顶侧面一周
安装灯光带，则灯光带的最小长度为
图1
图2
A.6√7m
B.4√/10m
C.16m
D.12m
7.五位数abcde=10000a+1000b+100c+10d+e,当五位数abcde满足a
d>e时，称这个五位数为“凸数”.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中
任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为
4君
B.12
1
C.0
0.6
庐江县高一数学试题第1页（共4页）
8.函数y=f(x)的定义域为R,f(0)≠0.当x>0时，f(x)>1;对任意的a,b∈R,f(a+b)
=f(a)f(b).下列结论：①f(0)=1;②对任意x∈R,有f(x)>0;③f(x)是R上的减
函数，正确的有
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分，
9.下图为某地2014年至2013年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是
A.这10年粮食年产量的极差为15
20142023年粮食年产量
45
40
B.这10年粮食年产量的第65百分位数为33
40
35
30
C.这10年粮食年产量的中位数为29
302828
2
吃6
D.前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年
20
产量的方差
10
10.若平面向最a=(n,2),b=(1,m一1)，其中n,m∈
0-
R,则下列说法正确的是
年份
A.若a+b=(2,6),则a∥b
B.若a=一2b,则与b同向的单位向是为(，-马)
2，一
2
C.若m=1,且a与b的夹角为倾角，则实数m的取值范围为（分，3）U(3,十∞)
D.若4⊥b,则z=2m+4m的最小值为4
11.已知边长为2的菱形ABCD,沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，O为BD的中点，在
翻折过程中，则
A.在任何位置，都存在AC⊥BD
B.若∠BCD=,当平面BCD⊥平面ABD时，异面直线AB与CD所成角的余弦值为
C若∠BCD=亏，当二面角A-BD-C为号时，三袋锥C-ABD的体积为号
D若∠BCD-交，当二面角A一BD-C为时，三棱锥C-AOB的外接球的体积为暂
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12已知s加看-o）=则cos(爱+2a
13.公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任
的概率分别为，。，，则3个人中至少有2人在规定时同内完成在务的概率为
14,赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周碑算经》一书作序
时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由
4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成).类比“赵类弦
图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等
边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=入A+uAC,若AD=
4AF,则λ一u的值为
庐江县高一数学试题第2页（共4页）庐江县 2023/2024 学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试题参考答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D C B A C
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错或不选得 0分.
题号 9 10 11
答案 ABC BCD AC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
7 2 4
12. - 13. 14.
8 3 7
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
2 π
15.解：（1）由 n·(n－λm)＝n －λm·n＝4－λ×2×1×cos ＝0，所以λ＝4 ……………6分
3
2
（2）因为 n·(n－m)＝n －m·n＝4－2×1× ＝3
|n－m|＝ ( )2 2 ·( )＝ 2 · + 2＝ 3，所以 cosθ＝ ＝ 3，| || | 2
2
所以 cos2θ＝2cos θ－1＝ . ……………………………………………………13 分
a2+c2 b2 2 2 2
16.解：（1）由余弦定理得 2a c b a +b c = 0，
2ac 2ab
化简得 a2 + c2 b2 = ac，
a2+c2 b2 ac 1
所以在△ ABC 中由余弦定理可得 cosB = = = ，
2ac 2ac 2
π
又因为 B ∈ 0,π ，所以 B = 3. ……………………………………………………7 分
π
（2）由(1)知 B = 3，由 a + c = 4， a > 0,c > 0，所以 a + c = 4 ≥ 2 ac，
当且仅当 a = c = 2 时取等号，所以 ac ≤ 4，
所以 S = 1 acsinB = 1 ac × 3 1 4 3≤ × × = 3，
2 2 2 2 2
故△ ABC 面积 S 的最大值为 3. ……………………………………………………15 分
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17. 解：（1）依题意：Y2=77 Y1=63 T2=85, T1=71 T=81，代入转换公式(Y2-Y)(T-T1)=(Y-Y1)(T2-T）
即：（77-Y）( 81-71)=(Y-63)(85-81)，解得：Y =73
所以 该生政治科目今年高考的原始分为 73 分 ……………………………5分
（2）∵ 10 0.005 + 0.010 + 0.012 + 0.015 + 0.033 + a = 1， ∴ a = 0.025.……………………10 分
设化学原始成绩 A 等级中的最低分为 x，即第 85 百分位数，
∵ 10× 0.005 + 10× 0.012 + 10× 0.033 + 10× 0.025 = 0.75,
∴0.75+（x-80）×0.015=0.85,得 x≈86.6≈87
综上，估计我省化学原始成绩 A 等级中的最低分为 87 分. ……………………………15 分
18.（1）证明：设 AC 交 BD 于 M，连接 ME.
∵ABCD 为正方形，∴M 为 AC 中点，
又 E 为 PA 的中点，∴ME 为△ PAC 的中位线，∴ME//PC，
又∵ME 平面 BDE，PC 平面 BDE，∴PC//平面 BDE． ……………………………5 分
（2）证明：∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥ AC，
∵PA ⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD，∴PA ⊥ BD，
又 AC ∩ PA = A，PA,AC 平面 PAC，∴BD ⊥平面 PAC．
∵BD 平面 BDE，∴平面 PAC ⊥平面 BDE． …………………………………10 分
（3）解：连接 PM，
∵BD ⊥平面 PAC，∴PM 是 PB 在平面 PAC 上的射影，
∠BPM 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角，
∵PA = AB = 2，∴PB = 2 2，BM = 2，
∴sin∠BPM = BM = 1． ………………………17 分
BP 2
19.（1）证明：任取正常数 T，存在x0 + T = 0，
∵ f(x0) = f( T) = T2 > f(0) = f(x0 + T)，即 f(x) ≤ f(x + T)不恒成立，
∴f(x) = x2不是“T 同比不减函数”. …………………………………5分
π π
（2）解：∵函数 f(x) = kx + sin2x 是“2同比不减函数”，∴f(x + ) ≥ f(x)2 恒成立，
代入 k(x +
π ) + sin2(x + π ) ≥ kx + sin2x k × π恒成立， + cos2x ≥ sin2x，k ×
π
≥ sin2x cos2x
2 2 2 2 ，
k × π ≥ 1 2cos2x
2 ，cosx ∈ [ 1,1]，cos
2x ∈ [0,1]，
k ≥ 2 (1 2cos2x)，1 2cos2x ∈ [ 1,1]，
π
∴ k ≥ [ 2 (1 2cos2x)] = 2max ，π π
∴k 2的取值范围为[ , +∞). …………………………………10 分
π
（3）解：当 x ≥ 0 时，
第 2页，共 3页
{#{QQABAYCAggiAQIBAAQgCAQnoCgGQkAAACQgOABAIMAAAgRNABAA=}#}
当 0 ≤ x ≤ a2 1，f(x) = (a2 x + 2a2 x 3a2) = x，
2
当a2 ≤ x ≤ 2a2，f(x) = 1 (x a2 + 2a2 x 3a2) = a2，
2
当 x ≥ 2a2 1，f(x) = (x a2 + x 2a2 3a2) = x 3a2，
2
由题知 f(x)为奇函数，关于原点对称，如图所示：
根据图象易得：要使 f(x + T) ≥ f(x)对任意的 x 恒成立，
只需 T > 6a2，对任意的 a ∈ [ 2,2]恒成立，
∴ T ≥ (6a2)max = 24 即可，
∴T ∈ [24, + ∞)． …………………………………17 分
第 3页，共 3页
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