人教版高中数学选择性必修第二册第四章-数列-章末测试卷B（含解析）

第四章 数列 章末测试卷(B)【原卷版】
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在数列2，9，23，44，72，…中，第6项是(　　)
A．82　　　　　　　　　　 B．107
C．100 D．83
2．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知数列{an}是首项为1的等比数列，设bn＝an＋2n，若数列{bn}也是等比数列，则b1＋b2＋b3＝(　　)
A．9 B．21
C．42 D．45
4．若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2－1(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．2
5．设等比数列{an}的各项均为正数，若＋＝＋，＋＝＋，则a1·a5＝(　　)
A．24 B．8
C．8 D．16
6．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若S2 020<0，S2 021>0，则下列判断错误的是(　　)
A．数列{an}为递增数列
B．a1 010<0
C．数列{an}的前2 020项和最小
D．a1 011>0
7．在正项数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn满足Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，则a10＝(　　)
A．72 B．80
C．90 D．82
8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学问题，将所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列{an}，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列{bn}，把{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则下列说法正确的是(　　)
A．a1＋b2＝c2 B．b8－a2＝c4
C．b23＝c8 D．a6b2＝c9
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋110．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．6 B．9
C．8 D．7
11．设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．01
C．a8>1 D．Tn的最大项为T7
12．设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下面四个结论中正确的有(　　)
A．数列{Sn＋n}为等比数列
B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1
C．数列{an＋1}为等比数列
D．数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________．
14．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则数列{an}的通项公式为________．
16．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S4＝－20.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
18．(12分)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，4是a4与a6的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log2an，Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Sn.
19．(12分)(2022·潍坊市高三一模)在①b2n＝2bn＋1；②a2＝b1＋b2；③b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．
已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an.公差不等于0的等差数列{bn}满足________，________，求数列的前n项和Sn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．
20．(12分)在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)当k＝－1时，求a12＋a22＋…＋an2.
21．(12分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
22．(12分)已知正项数列的前n项和为Sn，满足an2＋an－2Sn＝0(n∈N*)．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，若bn＝(2an－7)·2n，求Tn；
(3)求数列的最小项．
1．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列的前n项和Sn＝(　　)
A．4 B．4
C．1－ D.－
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，对任意的n∈N*，都有nan＝(n＋2)·an＋1，则S2 021＝(　　)
A. B.
C. D.
3．数列2，22，222，2 222，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝10n－8 B．an＝
C．an＝2n－1 D．an＝
4．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝，那么此数列的第10项为(　　)
A. B.
C. D.
5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．　
6．已知an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
7．已知等差数列{an}的首项a1＝0，等差数列{bn}的首项b1＝－4，{an}和{bn}的前m项和分别为Sm，S′m，若Sm＋S′m＝0，则am＋bm的值为________．
8．(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
9．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
10．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1，1，2，…，求数列{cn}的前10项的和．
11．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，an＋12＝6Sn＋9n＋1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a2.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝(3n－2)·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
12．已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2an＋12.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围．
第四章 数列 章末测试卷(B)【解析版】
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在数列2，9，23，44，72，…中，第6项是(　　)
A．82　　　　　　　　　　 B．107
C．100 D．83
答案　B
解析　　∵9－2＝1×7，23－9＝2×7，
44－23＝3×7，72－44＝4×7，
设第6项为x，则x－72＝5×7＝35，∴x＝107.
2．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　　依题意，奇数项的和S奇数＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝＝(n＋1)an＋1，同理可得S偶数＝nan＋1，∴＝.故选B.
3．已知数列{an}是首项为1的等比数列，设bn＝an＋2n，若数列{bn}也是等比数列，则b1＋b2＋b3＝(　　)
A．9 B．21
C．42 D．45
答案　B
解析　　设数列{an}的公比为q，则a2＝q，a3＝q2，
∴b1＝a1＋21＝3，b2＝a2＋22＝q＋4，b3＝a3＋23＝q2＋8，
∵数列{bn}也是等比数列，
∴(q＋4)2＝3(q2＋8)，解得q＝2，
∴b1＋b2＋b3＝3＋6＋12＝21.故选B.
4．若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2－1(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．2
答案　A
解析　　由递推关系式得a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
5．设等比数列{an}的各项均为正数，若＋＝＋，＋＝＋，则a1·a5＝(　　)
A．24 B．8
C．8 D．16
答案　C
解析　　∵＋＝＋，∴＝，
∵等比数列{an}的各项均为正数，∴a1a2＝4，同理可得a3a4＝16.∴q4＝4，q＝，∴a1a5＝＝＝8.
6．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若S2 020<0，S2 021>0，则下列判断错误的是(　　)
A．数列{an}为递增数列
B．a1 010<0
C．数列{an}的前2 020项和最小
D．a1 011>0
答案　C
解析　　因为S2 020<0，S2 021>0，即<0，>0，所以a1＋a2 020<0，a1＋a2 021>0.
因为a1 010＋a1 011＝a1＋a2 020<0，2a1 011＝a1＋a2 021>0，
所以a1 010<0，a1 011>0，所以公差d＝a1 011－a1 010>0，所以数列{an}是递增数列，其前1 010项和最小，所以C错误．故选C.
7．在正项数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn满足Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，则a10＝(　　)
A．72 B．80
C．90 D．82
答案　A
解析　　由an>0得Sn>0.Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)两边同时除以，得－＝2(n≥2)．而S1＝a1＝1，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝4n2－4n＋1.根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得an＝8n－8(n≥2)，∴a10＝8×10－8＝72.
8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学问题，将所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列{an}，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列{bn}，把{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则下列说法正确的是(　　)
A．a1＋b2＝c2 B．b8－a2＝c4
C．b23＝c8 D．a6b2＝c9
答案　C
解析　　根据题意可知，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，
数列{bn}是首项为3，公差为5的等差数列，所以bn＝3＋5(n－1)＝5n－2，
数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，故数列{cn}是首项为8，公差为15的等差数列，所以cn＝8＋15(n－1)＝15n－7.
a1＋b2＝2＋2×5－2＝10，c2＝15×2－7＝23，a1＋b2≠c2，A错误；
b8－a2＝5×8－2－3×2＋1＝33，c4＝15×4－7＝53，b8－a2≠c4，B错误；
b23＝5×23－2＝113，c8＝15×8－7＝113，b23＝c8，C正确；
a6b2＝(3×6－1)×(5×2－2)＝136，c9＝15×9－7＝128，a6b2≠c9，D错误．故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)
A．q＝2 B．an＝2n
C．S10＝2 047 D．an＋an＋1答案　ABD
解析　　由题意q>0且2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2，A正确；
an＝2×2n－1＝2n，B正确；
Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，C错误；
an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，所以an＋an＋110．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A．6 B．9
C．8 D．7
答案　BC
解析　　设至少需要过滤n次(n∈N*)，产品能达到市场要求，则0.02×≤0.001，
即≤，
所以nlg ≤lg ，
即n≥＝≈7.4，
又n∈N*，所以n≥8，
所以使产品达到市场要求的过滤次数可以为8或9.故选BC.
11．设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．01
C．a8>1 D．Tn的最大项为T7
答案　ABD
12．设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下面四个结论中正确的有(　　)
A．数列{Sn＋n}为等比数列
B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1
C．数列{an＋1}为等比数列
D．数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4
答案　AD
解析　　因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，则＝＝2，又因为S1＋1＝2，
所以数列{Sn＋n}为首项是2，公比是2的等比数列，
所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，
又因为a1≠21－1－1，
所以A正确，B、C错误；
因为2Sn＝2n＋1－2n，
所以{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4，所以D正确．
故选AD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________．
答案　24
14．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　－2　2n－1－
解析　　依题意得a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2.等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.
15．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝3·2n－2
解析　　由题意知，当n≥2时，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝4n－1－1，
∴2nan＝(4n－1)－(4n－1－1)，化简得an＝3·2n－2.
当n＝1时，2a1＝4－1＝3，解得a1＝，符合上式．
∴an＝3·2n－2.
16．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________．
答案　－
解析　　因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－an＝＝－.
当n≥2，n∈N*时，an－an－1＝－，
所以将这n－1个式子相加可得an－a1＝1－＋－＋…＋－＝1－，
又因为a1＝，所以an＝1－＋＝－(n≥2)．
当n＝1时，a1＝也符合上式，所以an＝－.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S4＝－20.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
解析　　(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵S2＝2，S4＝－20，
∴解得
∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝＝7n－3n2.
(2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3，
即2[7(n＋2)－3(n＋2)2＋2n]＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2，解得n＝5.
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．
18．(12分)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，4是a4与a6的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log2an，Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求Sn.
解析　　(1)∵a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，
∴a42＋2a4a6＋a62＝100，∴(a4＋a6)2＝100.
又an>0，∴a4＋a6＝10.
∵4是a4与a6的等比中项，∴a4a6＝16，
而q∈(0，1)，∴a4>a6，∴a4＝8，a6＝2，
∴q＝，a1＝64，∴an＝64·＝27－n.
(2)∵bn＝log2an＝7－n，
∴当1≤n≤7时，bn≥0，Sn＝.
当n≥8时，bn<0，Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn)
＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7)
＝－＋2×＝.
∴Sn＝
19．(12分)(2022·潍坊市高三一模)在①b2n＝2bn＋1；②a2＝b1＋b2；③b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．
已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an.公差不等于0的等差数列{bn}满足________，________，求数列的前n项和Sn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．
解析　　因为a1＝1，an＋1＝3an，
所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以an＝3n－1.
选条件①②时，设数列{bn}的公差为d(d≠0)，因为a2＝3，所以b1＋b2＝3(*)，
因为b2n＝2bn＋1，所以当n＝1时，b2＝2b1＋1(**)，由(*)(**)解得b1＝，b2＝，所以d＝，
所以bn＝.
所以＝.
所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn＝＋5－＝＋－－＝－.
所以Sn＝－.
选条件②③时，设数列{bn}的公差为d(d≠0)，因为a2＝3，所以b1＋b2＝3，即2b1＋d＝3，
因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即(b1＋d)2＝b1(b1＋3d)，化简得d2＝b1d，因为d≠0，所以b1＝d，从而d＝b1＝1，所以bn＝n，
所以＝.
所以Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－，
所以Sn＝－.
选条件①③时，设数列{bn}的公差为d(d≠0)，因为b2n＝2bn＋1，所以n＝1时，b2＝2b1＋1，所以d＝b1＋1.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即(b1＋d)2＝b1(b1＋3d)，化简得d2＝b1d，因为d≠0，所以b1＝d，与d＝b1＋1矛盾，所以等差数列{bn}不存在，故此种情形不符合题意．
20．(12分)在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)当k＝－1时，求a12＋a22＋…＋an2.
解析　　(1)证明：因为Sn＝1＋kan，①
所以Sn－1＝1＋kan－1(n≥2)，②
①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)，所以an＝an－1(k≠0，k≠1)，an≠0.
当n＝1时，S1＝a1＝1＋ka1，所以a1＝.
所以{an}是首项为，公比为的等比数列．
(2)因为a1＝，＝(n≥2)，
所以an＝·＝－.
(3)因为在数列{an}中，a1＝，公比q＝，
所以数列{an2}是首项为，公比为的等比数列．
当k＝－1时，等比数列{an2}的首项为，公比为，
所以a12＋a22＋…＋an2＝＝[1－]．
21．(12分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析　　(1)当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化简得an－an－1＝2，∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，an＝2n－1，
则bn＝＝＝(－)，
∴Tn＝＝＝.
22．(12分)已知正项数列的前n项和为Sn，满足an2＋an－2Sn＝0(n∈N*)．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，若bn＝(2an－7)·2n，求Tn；
(3)求数列的最小项．
解析　　(1)由an2＋an－2Sn＝0，得an＋12＋an＋1－2Sn＋1＝0，
两式相减得(an＋12－an2)＋(an＋1－an)－2(Sn＋1－Sn)＝0，
即(an＋12－an2)＋(an＋1－an)－2an＋1＝0，
化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0，
因为数列为正项数列，
所以an＋1＋an>0，则an＋1－an＝1，
令n＝1，则a12＋a1－2a1＝0，又a1>0，所以a1＝1，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
即an＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*.
(2)由(1)可得bn＝(2n－7)·2n，
Tn＝(－5)×21＋(－3)×22＋(－1)×23＋…＋(2n－7)×2n，
2Tn＝(－5)×22＋(－3)×23＋…＋(2n－9)×2n＋(2n－7)×2n＋1，
两式相减得－Tn＝(－5)×2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－7)·2n＋1，
化简得Tn＝(2n－9)·2n＋1＋18.
(3)由(2)得Tn＋1－Tn＝(2n－7)·2n＋2＋18－(2n－9)·2n＋1－18＝(2n－5)·2n＋1，
当n≤2时，Tn＋1当n≥3时，Tn＋1>Tn，
即T1>T2>T3则数列的最小项为T3＝－30.
1．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列的前n项和Sn＝(　　)
A．4 B．4
C．1－ D.－
答案　A
解析　　∵an＝＝＝，
∴＝＝4.
∴Sn＝4(1－＋－＋－＋…＋－)＝4.故选A.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，对任意的n∈N*，都有nan＝(n＋2)·an＋1，则S2 021＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　　依题意可得，n(n＋1)an＝(n＋1)(n＋2)an＋1，则数列{n(n＋1)an}为常数列，所以n(n＋1)an＝2a1＝1，所以an＝＝－，所以S2 021＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.故选C.
3．数列2，22，222，2 222，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝10n－8 B．an＝
C．an＝2n－1 D．an＝
答案　D
解析　　根据题意，设数列{cn}：9，99，999，9 999，…，其通项公式是10n－1，
数列2，22，222，2 222，…的每一项均是数列{cn}对应项的，
则数列2，22，222，2 222，…的一个通项公式是an＝.故选D.
4．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝，那么此数列的第10项为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　　∵＝，∴为常数列．
∴＝＝2，∴an·an－1＝2an－1－2an.
∴－＝，∴为等差数列，其首项为＝，公差为.
∴＝＋(n－1)·＝.∴an＝，∴a10＝.故选D.
5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．　
答案　3
解析　　由题意得，蒲草每天长高的长度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草每天长高的长度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草的高度相同．
6．已知an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
答案　
解析　　Sn＝(1＋2＋…＋n)＋＝.
7．已知等差数列{an}的首项a1＝0，等差数列{bn}的首项b1＝－4，{an}和{bn}的前m项和分别为Sm，S′m，若Sm＋S′m＝0，则am＋bm的值为________．
答案　4
解析　　方法一：由等差数列的前n项和公式，得Sm＋S′m＝＋＝0，所以am＋bm＝－(a1＋b1)＝4.
方法二：由于数列{an}，{bn}是等差数列，因此数列{an＋bn}也是等差数列．由条件知该数列的首项为a1＋b1＝－4，前m项的和为0.根据等差数列的前n项和公式得0＝＝，故am＋bm＝4.
8．(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
答案　0　－10
解析　　设等差数列{an}的公差为d，∵即∴∴a5＝a1＋4d＝0.∵Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，∴当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
9．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
解析　　(1)证明：b1＝a2－a1＝1，
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1，
∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋…＋
＝1＋＝1＋＝－，
当n＝1时，－＝1＝a1.
∴an＝－(n∈N*)．
10．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1，1，2，…，求数列{cn}的前10项的和．
解析　　设数列{an}的公比为q(q≠0)，数列{bn}的公差为d.
∵c1＝a1＋b1，即1＝a1＋0，∴a1＝1.
又即
②－2×①，得q2－2q＝0.
又∵q≠0，∴q＝2，d＝－1.
∴c1＋c2＋c3＋…＋c10
＝(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b10)
＝＋10b1＋d
＝210－1＋45×(－1)＝978.
11．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，an＋12＝6Sn＋9n＋1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a2.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝(3n－2)·bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
解析　　(1)∵an＋12＝6Sn＋9n＋1，
∴an2＝6Sn－1＋9(n－1)＋1(n≥2)，
∴an＋12－an2＝6an＋9(n≥2)，∴an＋12＝(an＋3)2.
又∵an>0，∴an＋1＝an＋3(n≥2)．
当n＝1时，a22＝6a1＋9＋1，可得a1＝1，
∴a2＝a1＋3，满足an＋1＝an＋3，
∴{an}为首项为1，公差为3的等差数列，
∴an＝3n－2(n∈N*)．
设数列{bn}的公比为q(q>0)，∵b1＝a1＝1，b3＝a2＝4，∴q＝2，∴bn＝2n－1.
(2)由(1)可知cn＝(3n－2)·2n－1，
∴Tn＝1×20＋4×21＋…＋(3n－2)×2n－1，
2Tn＝1×21＋4×22＋…＋(3n－2)×2n，
∴－Tn＝1＋3×(21＋22＋…＋2n－1)－(3n－2)·2n
＝1＋6(2n－1－1)－(3n－2)·2n
＝(5－3n)·2n－5，
∴Tn＝(3n－5)·2n＋5.
12．已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2an＋12.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围．
解析　　(1)∵a1＝1，an＋1＝an，∴an≠0，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝，∴bn＝2－log2＝2n＋2.
(2)由bn＝2n＋2，得Tn＝n2＋3n，∴m≥－2n2＋6n对任意正整数n都成立．
∵－2n2＋6n＝－2＋，
∴当n＝1或2时，－2n2＋6n取得最大值4.
∴实数m的取值范围是[4，＋∞)．