人教版高中数学选择性必修第二册第四章-数列-章末测试卷A（含解析）

第四章 数列 章末测试卷(A)【原卷版】
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列{an}：－，0，，…的第15项为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．12
C．13 D．14
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6＝(　　)
A．12 B．18
C．24 D．42
4．若等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为(　　)
A. 升 B. 升
C. 升 D. 升
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝(　　)
A．27 B．81
C．243 D．729
7．数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝(　　)
A. B.
C. D.
8．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还(　　)
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是(　　)
A．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则数列{an}是等差数列
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．常数列{an}既是等差数列，又是等比数列
D．若等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q<1
10．将等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则(　　)
A．d<0
B．a16<0
C．Sn≤S15
D．当且仅当n≥32时，Sn<0
11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－1，则下列结论正确的是(　　)
A．S2＝2
B．数列{an}为等比数列
C．an＝2n
D．若bn＝，则数列{bn}的前10项和为
12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D.＋＋…＋＝－5 050
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则公比q＝________．
14．(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
15．已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在直线y－3＝k(x－6)上，则数列{an}的前11项和S11＝________．
16．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
18．(12分)在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗．一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？
19．(12分)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，________．是否存在正整数k，使得Sk>2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q＝2；②q＝；③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
20．(12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{nSn}的前n项和Tn.
21．(12分)已知数列{an}的首项a1＝，且3an＋1＝an＋2，n∈N*.
(1)求证：数列{an－1}为等比数列；
(2)若a1＋a2＋…＋an<100，求最大的正整数n.
22．(12分)由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n＋3项和T4n＋3.
第四章 数列 章末测试卷(A)【解析版】
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列{an}：－，0，，…的第15项为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．12
C．13 D．14
答案　C
解析　∵a1＝－，d＝，
∴an＝－＋(n－1)×＝n－2.
∴a15＝15－2＝13.
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　A
解析　因为a3a11＝a72＝16，又数列{an}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6＝(　　)
A．12 B．18
C．24 D．42
答案　C
解析　方法一：设数列{an}的公差为d，由题意得解得a1＝，d＝.则S6＝6a1＋15d＝24.
方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.
4．若等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
答案　A
解析　已知等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.
又因为a2＋a7≥2，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.
5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为(　　)
A. 升 B. 升
C. 升 D. 升
答案　A
解析　设自上而下各节竹子的容积依次为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，所以a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A.
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝(　　)
A．27 B．81
C．243 D．729
答案　C
解析　∵数列{an}为等比数列，∴a1a2a3＝a23＝27，∴a2＝3.
又∵S2＝4a1，∴a1＋a2＝4a1，∴3a1＝a2，∴a1＝1，
即公比q＝3，首项a1＝1，
∴a6＝a1·q6－1＝1×35＝35＝243.故选C.
7．数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　a1a2a3…an＝n2，则a1a2a3…an－1＝(n－1)2，n≥3，∴an＝，n≥3，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.故选A.
8．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还(　　)
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
答案　B
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是(　　)
A．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则数列{an}是等差数列
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．常数列{an}既是等差数列，又是等比数列
D．若等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q<1
答案　ACD
解析　对于A，等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，故错误；对于B，若d>0，则an＋1>an，故正确；对于C，当an＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D，若等比数列{an}是递增数列，则当a1>0时，q>1，故错误．故选ACD.
10．将等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则(　　)
A．d<0
B．a16<0
C．Sn≤S15
D．当且仅当n≥32时，Sn<0
答案　ABC
解析　由题意得，S10＝S20，则a11＋a12＋…＋a20＝0，即a15＋a16＝0，也即2a1＋29d＝0(d为公差)，因为a1>0，所以d<0，所以a16<0，Sn≤S15.所以A、B、C正确．由于S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，故S30＝15(a15＋a16)＝0，S31＝31a16<0，所以D不正确．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－1，则下列结论正确的是(　　)
A．S2＝2
B．数列{an}为等比数列
C．an＝2n
D．若bn＝，则数列{bn}的前10项和为
答案　BD
解析　因为Sn＝2an－1，①
所以当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1；
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，②
①②两式相减得an＝2an－2an－1，
所以＝2(n≥2)，
所以数列{an}是以a1＝1为首项，q＝2为公比的等比数列．
所以an＝a1qn－1＝1×2n－1＝2n－1，a2＝2，
所以S2＝3，所以A、C错误，B正确；
因为bn＝＝＝－，
设Tn为{bn}的前n项和，则T10＝＋＋…＋＝，故D正确．故选BD.
12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D.＋＋…＋＝－5 050
答案　BCD
解析　由Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，又a1＝－1，∴S1＝a1＝－1，从而S2－S1＝S1S2，即S2＋1＝－S2，得S2＝－，∴S1S2≠0，从而SnSn＋1≠0，∴＝1，整理得－＝－1(常数)，所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以＝－1－(n－1)＝－n，所以＋＋…＋＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D正确；由＝－n得Sn＝－.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－(首项不符合此式)，故an＝故B正确，A错误．故选BCD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则公比q＝________．
答案　2
解析　因为数列{an}为等比数列，且a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a2＋a4＝(a1＋a3)q，即10＝5q，∴q＝2.
14．(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
答案　16
解析　方法一：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a12＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，将以上两式联立，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
方法二：设等差数列{an}的公差为d.由S9＝＝9a5＝27，得a5＝3，又a2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，a4＝1，则S8＝＝4(a4＋a5)＝4×(1＋3)＝16.
15．已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在直线y－3＝k(x－6)上，则数列{an}的前11项和S11＝________．
答案　33
解析　∵点(n，an)在直线y－3＝k(x－6)上，∴an＝3＋k(n－6)．
∴an＋a12－n＝[3＋k(n－6)]＋[3＋k(6－n)]＝6，n＝1，2，3，…，6，
∴S11＝a1＋a2＋…＋a11＝5(a1＋a11)＋a6＝5×6＋3＝33.
16．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
答案　
解析　在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2，得a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5＜＜6，∴当n＝5时，＝5－1＋＝，当n＝6时，＝6－1＋＝＝，∵＞，∴的最小值是.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解析　(1)设数列{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，
解得q＝2，所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设数列{bn}的公差为d，
则有
解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n，n∈N*.
18．(12分)在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗．一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？
解析　植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60，…，380，
这是首项a1＝0，公差d＝20，项数n＝20的等差数列，其和S20＝20a1＋d＝0＋×20＝3 800(m)．
因此，植树工人共走了3 800 m的路程．
19．(12分)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，________．是否存在正整数k，使得Sk>2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q＝2；②q＝；③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析　若选①，
因为a3＝12，q＝2，所以a1＝3.
所以Sn＝＝3(2n－1)．
Sk>2 020，即3(2k－1)>2 020，即2k>.
当k＝9时，29＝512＜，当k＝10时，210＝1 024＞，
所以存在正整数k，使得Sk>2 020，k的最小值为10.
若选②，
因为a3＝12，q＝，所以a1＝48.
所以Sn＝＝96.
因为Sn<96<2 020，
所以不存在满足条件的正整数k.
若选③，
因为a3＝12，q＝－2，所以a1＝3.
所以Sn＝＝1－(－2)n.
Sk>2 020，即1－(－2)k>2 020，整理得(－2)k<－2 019.
当k为偶数时，原不等式无解；
当k为奇数时，原不等式等价于2k>2 019，
当k＝9时，29＝512＜2 019，当k＝11时，211＝2 048＞2 019，
所以存在正整数k，使得Sk>2 020，k的最小值为11.
20．(12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{nSn}的前n项和Tn.
解析　(1)设数列{an}的公比为q.由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.
∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴＝q10＝.
∵an＞0，∴q＝，∴an＝a1qn－1＝(n∈N*)．
(2)∵{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，
∴Sn＝＝1－，nSn＝n－.
则数列{nSn}的前n项和为
Tn＝(1＋2＋…＋n)－，　①
则＝(1＋2＋…＋n)－，②
①－②，得
＝(1＋2＋…＋n)－＋
＝－＋，
即Tn＝＋＋－2.
21．(12分)已知数列{an}的首项a1＝，且3an＋1＝an＋2，n∈N*.
(1)求证：数列{an－1}为等比数列；
(2)若a1＋a2＋…＋an<100，求最大的正整数n.
解析　(1)证明：∵3an＋1＝an＋2，∴an＋1－1＝(an－1)，又a1－1＝，∴数列{an－1}是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)可得an－1＝×，∴an＝2×＋1.
则a1＋a2＋…＋an＝n＋2＝n＋2×＝n＋1－，
若n＋1－<100，n∈N*，则nmax＝99.
22．(12分)由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n＋3项和T4n＋3.
解析　(1)由题意，设数列{an}的公差为d，
由a3＝5，a1a2＝2a4，
可得
整理得(5－2d)(5－d)＝2(5＋d)，即2d2－17d＋15＝0，解得d＝或d＝1，因为{an}为整数数列，所以d＝1，
又a1＋2d＝5，所以a1＝3，
所以数列{an}的通项公式为an＝n＋2.
(2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝n＋2，又数列{bn}的通项公式为bn＝2n，
根据题意，新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，
则T4n＋3＝b1＋a1＋a2＋b2＋b3＋a3＋a4＋b4＋…＋b2n－1＋a2n－1＋a2n＋b2n＋b2n＋1＋a2n＋1＋a2n＋2
＝(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n＋1)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n＋2)
＝＋
＝4n＋1＋2n2＋9n＋5.