人教版高中数学选择性必修第二册 综合测试卷（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册　综合测试卷(原卷版）
[时间：120分钟　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于(　　)
A．－2　　　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．2
2．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，整个建筑的总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为(　　)
A．20° B．28°
C．38° D．48°
4．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为(同一组中的数据用这组数据的中点值代表)(　　)
A．20，22.5 B．22.5，25
C．22.5，22.75 D．22.75，22.75
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，其面积为，则＝(　　)
A．3 B.
C. D.
6．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
7．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A－BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为(　　)
A．30 B．10
C．33 D．12
8．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则三棱锥S－ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k可以是(　　)
A. B．－
C．－ D.
10．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的是(　　)
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若m α，n β，m∥n，则α∥β
C．若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
11．如图所示的折线图是2020年1月25日至2020年2月12日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例的折线图，则下列判断正确的是(　　)
A．1月31日S省新冠肺炎累计确诊病例中X市占比超过了
B．1月25日至2月12日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C．2月2日至2月10日S省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D．2月8日至2月10日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥AF
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sin C)，则C＝________．
15．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考试，已知这位同学在物理、化学、政治科目的考试中得A＋的概率分别为，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A＋的概率是________．
16．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin C＋cos C＝2.
(1)求C的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝b；②B＝；③c＝2.试从中选择两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积S.(只写出一种情况即可)
19．(12分)已知平面内三点A(－1，－3)，B(2，1)，C(－4，m)．
(1)若A，B，C三点共线，求m的值；
(2)当m＝－3时，线段BC上的点D满足＝2，求·的值．
20．(12分)购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2019年某节假日期间在购物广场的消费金额，所得数据如下表，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
消费金额(单位：千元) 人数 频率
(0，1] 8 0.08
(1，2] 12 0.12
(2，3] x p
(3，4] y q
(4，5] 8 0.08
(5，6] 7 0.07
合计 100 1.00
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如下图)；
(2)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0，1]，(1，2]和(4，5]的三个群体中抽取7人进行问卷调查，则各群体应抽取几人？若从这7人中随机选取2人，则此2人来自同一群体的概率是多少？
21．(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求：
(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)该最短路线的长及的值；
(3)平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．
22．(12分)4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到下表．
组号 分组 频数 频率
1 [0，5) 5 0.05
2 [5，10) a 0.35
3 [10，15) 30 b
4 [15，20) 20 0.20
5 [20，25) 10 0.10
(1)求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率分布直方图；(用阴影涂色)
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数(精确到0.01)；
(3)现从第4，5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数＝7，方差s2＝2，第5组得分的平均数＝7，方差t2＝1，则这6人得分的平均数和方差σ2分别为多少(方差精确到0.01)
人教版高中数学选择性必修第二册　综合测试卷（解析版）
[时间：120分钟　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于(　　)
A．－2　　　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．2
答案　A
解析　由复数的运算法则，可得
a＋bi＝＝＝＝＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，
据此可得a＋b＝－2.故选A.
2．李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸取的颜色不全相同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　记事件A＝{3次摸取的颜色不全相同}，则其对立事件为＝{3次摸取的颜色全相同}．从兔窝中有放回地摸取3次，每次摸1只，则基本事件总数为27，其中事件包含的基本事件数为3.所以P()＝＝.故3次摸取的颜色不全相同的概率为P(A)＝1－＝.
3．气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，整个建筑的总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为(　　)
A．20° B．28°
C．38° D．48°
答案　C
解析　依题意得“斗冠”的高为60.3－33.3＝27(米)，
如图，M，N，Q，P分别为所在棱中点，PE，QF为高，连接MP，QP，QN，NM，PE＝27，ME＝(MN－EF)＝×(139.4－69.9)＝，
∠PME为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，
tan∠PME＝＝＝≈0.78，
而tan 30°＝≈0.58，tan 45°＝1，且y＝tan x在上单调递增，
因为0.58<0.78<1，所以30°<∠PME<45°，只有C选项符合题意，故选C.
4．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为(同一组中的数据用这组数据的中点值代表)(　　)
A．20，22.5 B．22.5，25
C．22.5，22.75 D．22.75，22.75
答案　C
解析　根据频率分布直方图，得平均数为5×(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)＝22.75.
∵0.02×5＋0.04×5＝0.3<0.5，0.3＋0.08×5＝0.7>0.5，
∴中位数应在20～25内．
设中位数为x，则0.3＋(x－20)×0.08＝0.5，解得x＝22.5，
∴这批产品的中位数是22.5.故选C.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，其面积为，则＝(　　)
A．3 B.
C. D.
答案　C
解析　设△ABC的面积为S，由题意知S＝bcsin A，即＝c·sin 60°，解得c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8×＝13，即a＝.由正弦定理可得＝＝＝.故选C.
6．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定是(　　)
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
答案　B
解析　设BC的中点D，
∵(－)·(＋－2)＝0，
∴·(2－2)＝0，
∴·2＝0，∴⊥，
∴△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC一定是以BC为底边的等腰三角形．
7．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A－BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为(　　)
A．30 B．10
C．33 D．12
答案　B
解析　因为BC⊥CD，易得BD＝.又AB⊥底面BCD，易得AD＝，可将三棱锥补为长和高都为，宽为2的长方体，则AD为其体对角线，球O的球心为AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论＝，可得π＝，所以球O的表面积为4π＝10π＝10.故选B.
8．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则三棱锥S－ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　
如图，设球心为O，由OS＝OA＝OC，得∠SAC＝90°，又∠ASC＝45°，所以AS＝AC＝SC，即△SAC为等腰直角三角形，SO⊥AO，AO＝SC＝2，同理BS＝BC＝SC，SO⊥BO，BO＝2，又BO∩AO＝O，所以SC⊥平面AOB，又AO＝BO＝AB，所以△AOB为等边三角形，则VS－ABC＝S△AOB·SC＝××2××4＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k可以是(　　)
A. B．－
C．－ D.
答案　BD
10．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的是(　　)
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若m α，n β，m∥n，则α∥β
C．若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
答案　AC
解析　显然A正确；两条在不同平面的直线平行不能说明这两个平面平行，故B错误；由两条分别在不同平面的异面直线分别平行于这两个平面，可得这两个平面平行，故C正确；垂直于同一平面的两平面不一定平行，故D错误．故选AC.
11．如图所示的折线图是2020年1月25日至2020年2月12日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例的折线图，则下列判断正确的是(　　)
A．1月31日S省新冠肺炎累计确诊病例中X市占比超过了
B．1月25日至2月12日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势
C．2月2日至2月10日S省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例
D．2月8日至2月10日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率
答案　ABC
解析　对于A中，1月31日S省新冠肺炎累计确诊病例中X市占比为>，故A正确；
对于B中，1月25日至2月12日S省及X市新冠肺炎确诊病例都呈递增趋势，故B正确；
对于C中，2月2日到2月10日S省新冠肺炎累计确诊病例增加了213－116＝97(例)，故C正确；
对于D中，2月8日到2月10日X市新冠肺炎累计确诊病例的增长率小于2月6日到2月8日的增长率，故D错误．故选ABC.
12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥AF
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案　AD
解析　连接BD(图略)，可得AC⊥BD，而BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，即AC⊥EF，若AC⊥AF，EF∩AF＝F，则AC⊥平面AEF，即可得AC⊥AE，由图分析显然不成立，故A不正确；
因为EF∥BD，EF 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正确；
VA－BEF＝×S△BEF×AC＝××EF×BB1×AC＝×EF×BB1×AC，所以体积是定值，故C正确；
设B1D1的中点是O，点A到直线EF的距离是AO，而点B到直线EF的距离是BB1，所以AO>BB1，S△AEF＝×EF×AO，S△BEF＝×EF×BB1，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，D不正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
答案　－20
解析　∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴复数(z1－z2)i的实部为－20.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sin C)，则C＝________．
答案　
解析　∵c2＝2b2(1－sin C)，
∴sin C＝1－.
又∵a＝b，由余弦定理可得，
cos C＝＝1－＝sin C，
∴tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
15．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考试，已知这位同学在物理、化学、政治科目的考试中得A＋的概率分别为，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A＋的概率是________．
答案　
解析　设这位同学在物理、化学、政治科目的考试中得A＋的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A＋的概率P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝.
16．(2020·全国新高考Ⅰ)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
答案　
解析　如图，取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G，连接D1E，D1B1，EG，EF.
因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝，D1E⊥B1C1，
又四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，又BB1 侧面B1C1CB，所以平面A1B1C1D1⊥侧面B1C1CB.
因为平面A1B1C1D1∩侧面B1C1CB＝B1C1，D1E⊥B1C1，D1E 平面A1B1C1D1，所以D1E⊥侧面B1C1CB，
设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，连接EP，D1P，则D1E⊥EP，D1P为球的半径，
因为球的半径为，D1E＝，所以EP＝＝＝，
所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为，
因为EF＝EG＝，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形FEG的，
因为∠B1EF＝∠C1EG＝，所以∠FEG＝，
根据弧长公式可得＝×＝π.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)若z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
解析　(1)复平面内A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，设D的坐标为(x，y)．由于＝，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，则点D对应的复数z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)(3－2i)＝，即p＝12，q＝26.
18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin C＋cos C＝2.
(1)求C的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝b；②B＝；③c＝2.试从中选择两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积S.(只写出一种情况即可)
解析　(1)依题意sin C＋cos C＝2(sin C＋cos C)＝2sin＝2，即sin＝1.
∵0∴C＋＝，∴C＝.
(2)方案一：选条件①和③，
由余弦定理a2＋b2－2abcos C＝c2，
有3b2＋b2－2b2·＝4，则b＝2，a＝2，
所以S＝absin C＝×2×2×＝.
方案二：选条件②和③，
由正弦定理＝，得b＝c·＝2.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
∴S＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
若选条件①和②，由a＝b得sin A＝sin B＝×＝>1，不成立，这样的三角形不存在．
19．(12分)已知平面内三点A(－1，－3)，B(2，1)，C(－4，m)．
(1)若A，B，C三点共线，求m的值；
(2)当m＝－3时，线段BC上的点D满足＝2，求·的值．
解析　(1)由A，B，C三点共线得∥.
又＝(3，4)，＝(－6，m－1)，则3(m－1)＋24＝0，解得m＝－7.
(2)当m＝－3时，点C(－4，－3)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)，＝(－4－x，－3－y)．
又＝2，则解得
即D，所以＝.
又＝(－6，－4)，故·＝6－＝.
20．(12分)购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2019年某节假日期间在购物广场的消费金额，所得数据如下表，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
消费金额(单位：千元) 人数 频率
(0，1] 8 0.08
(1，2] 12 0.12
(2，3] x p
(3，4] y q
(4，5] 8 0.08
(5，6] 7 0.07
合计 100 1.00
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如下图)；
(2)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0，1]，(1，2]和(4，5]的三个群体中抽取7人进行问卷调查，则各群体应抽取几人？若从这7人中随机选取2人，则此2人来自同一群体的概率是多少？
解析　(1)根据题意，有
　解得
∴p＝＝0.40，q＝＝0.25.
补全频率分布直方图如图所示(补全部分为阴影部分)：
(2)根据题意，从消费金额在(0，1]内抽取的人数为×7＝2，记为A，B；
从消费金额在(1，2]内抽取的人数为×7＝3，记为1，2，3；
从消费金额在(4，5]内抽取的人数为×7＝2，记为a，b.
则从这7人中随机选取2人的所有的基本事件为：(A，B)，(A，1)，(A，2)，(A，3)，(A，a)，(A，b)，(B，1)，(B，2)，(B，3)，(B，a)，(B，b)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，共21个．
设“2人来自同一群体”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(1，2)，(1，3)，(2，3)，(a，b)，共5个，
用古典概型概率公式得P(M)＝.
所以此2人来自同一群体的概率是.
21．(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求：
(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)该最短路线的长及的值；
(3)平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．
解析　(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为＝＝2.
(2)如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置．
连接DC1交AA1于M，则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，
∴DC1＝＝＝＝2.
∵∠DMA＝∠A1MC1，∠MAD＝∠MA1C1，DA＝A1C1，
∴△DMA≌△C1MA1，∴AM＝A1M，故＝1.
故最短路线的长为2，此时＝1.
(3)如图，连接DB，易得DB是平面C1MB与平面ABC的交线．
在△DCB中，AD＝AB＝AC，∴∠DBC＝90°，即CB⊥DB.
又∵平面CBB1C1⊥平面ABC，平面CBB1C1∩平面ABC＝BC，DB 平面ABC，∴DB⊥平面CBB1C1，∴C1B⊥DB，∴∠C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)．
∵侧面CBB1C1是正方形，∴∠C1BC＝45°，
故平面C1MB与平面ABC所成的二面角为45°.
22．(12分)4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到下表．
组号 分组 频数 频率
1 [0，5) 5 0.05
2 [5，10) a 0.35
3 [10，15) 30 b
4 [15，20) 20 0.20
5 [20，25) 10 0.10
(1)求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率分布直方图；(用阴影涂色)
(2)根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数(精确到0.01)；
(3)现从第4，5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数＝7，方差s2＝2，第5组得分的平均数＝7，方差t2＝1，则这6人得分的平均数和方差σ2分别为多少(方差精确到0.01)
解析　(1)∵5＋a＋30＋20＋10＝100，
∴a＝35.
∵0.05＋0.35＋b＋0.20＋0.10＝1，
∴b＝0.30.
频率分布直方图如下：
(2)该组数据众数的估计值为7.50.
易知中位数应在[10，15)内，设中位数为x，则0.05＋0.35＋(x－10)×0.06＝0.5，解得x≈11.67，故中位数的估计值为11.67.
(3)因为第4组和第5组的频数之比为2∶1，所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人．
所以这6人得分的平均数
＝＝＝7，
方差σ2＝
＝≈1.67，
即这6人得分的平均数为7，方差为1.67.