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23.2.1 中心对称 学案
（一）学习目标：
1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．
2. 复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．
（二）学习重难点：
学习重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题
学习难点：从一般旋转中导入中心对称
阅读课本，识记知识：
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：
１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；
２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；
３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．
【例1】阿皮家有一台显示数字的电子钟，当阿皮将电子钟倒置时，钟面显示的数字是，那么此时的正确时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将显示的结果旋转180°即可得到实际时间．
【详解】将旋转180°得到，
∴实际时间是16：21．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称的知识．作出相应的对称图形是解答本题的关键．
【例2】关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ．
【答案】 对称中心 对称中心 分别相等
【分析】根据中心对称的性质即可得．
【详解】解：关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过对称中心，被对称中心平分，对应线段与对应角都分别相等，
故答案为：对称中心，对称中心，分别相等．
【点睛】本题考查了中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题关键．
选择题
1．下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】根据中心对称图形定义
即寻找对称中心，旋转后与原图重合
得A符合题意，B、C、D均不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
2．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．角平分线上的点到角的两边的距离相等
C．两个全等的三角形，一定成中心对称
D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
【答案】C
【分析】由平行四边形的判定，角平分线的性质，中心对称的定义，等边三角形的性质，即可判断．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，故A不符合题意；
B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故B不符合题意；
C、两个全等的三角形，不一定成中心对称，故C符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，中心对称，掌握以上知识点是解题的关键．
3．小明想用图形1通过作图变换得到图形2，下列这些变化中不可行的是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．中心对称变换
【答案】B
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图形1通过轴对称变换可以得到图形2，故选项A不合题意；
图形1沿某一直线方向移动不能与图形2重合，故平移变换不可行，选项B符合题意；
图形1将图形绕着中心点旋转180度的整数倍后均能与图形1重合，旋转变换和中心对称变换可以．选项CD不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
4．能把一个平行四边形面积平分的直线有（ ）条
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
【答案】D
【分析】根据过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两个部分解答．
【详解】解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分，
所以，有无数条直线．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，熟记过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分是解题的关键．
5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
点A与点是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．
【详解】解：A．∵与关于点O成中心对称，
点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意；
B．∵对应点到对称中心的距离相等，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵与是对应线段，
∴，故C正确，不符合题意；
D．与不是对应角，
∴不成立，故D符合题意．
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是、，将平行四边形沿x轴向左平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意平行四边形的对称中心是坐标原点，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论．
【详解】解：∵平行四边形的对称中心是坐标原点，
∴顶点C的坐标是，
∵将平行四边形沿x轴向左平移3个单位长度，
∴对应点C1的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数．
7．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ）
A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点
【答案】D
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【详解】解：如图：
作法：1．过点作交于点，过点作交于点，
2．连接交于点，
故点即为所求
证明：，，
是对称点，是对称点，
故的交点为对称中心．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键．
8．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
中阴影部分两个三角形成中心对称，
故选：A．
【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称．
9．如图所示的是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，将绕着边的中点旋转180°，下面说法不正确的是（ ）
A．各边的中点都可通过网格确定
B．绕的中点旋转后得到的三角形的顶点不在网格的格点上
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形
D．绕着各边的中点旋转后得到的三角形的顶点都在网格的格点上
【答案】B
【分析】将绕着边的中点旋转180°后根据选项依次作答．
【详解】解：A．△ABC各边的中点都可通过网格确定，故该选项正确，不符合题意；
B.将△ABC绕着边的中点旋转180°后如图，
绕的中点旋转后得到的三角形的顶点在网格的格点上，故该选项不正确，符合题意；
C. 旋转前后的两个三角形可形成平行四边形
D. 根据中心对称的性质可得，绕着各边的中点旋转后得到的三角形的顶点都在网格的格点上
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质．
10．如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于，．若将绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，设与轴交于点，与轴交于点，利用中心对称的性质确定的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到，再根据确定点的坐标，由旋转的周期性确定绕原点O顺时针旋转第502次旋转结束时与位置重合，从而确定点与点重合， 即可得到点的对应点的坐标．
【详解】连接，设与轴交于点，与轴交于点，
∵原点为的对称中心，
∴点与点关于点对称，
∵点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵ ，点
∴，
即点，点
∵绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴，
，
即绕原点O顺时针旋转第502次旋转结束时与位置重合，此时点与点重合，
∴点A的对应点的坐标为．
故选A．
【点睛】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题，能准确确定点的坐标及在第502次旋转结束时所在的位置是解决本题的关键．
填空题
11．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据中心对称的性质，为的中点，即可求解．
【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为，
设，
依题意，，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．
12.如图，在中，，点E在上，是的对称中心，是正方形的对称中心，若，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题主要考查对称中心，三角形中位线的性质，连接，，，可知是的中位线，，当点E在线段上时，取最小值，当点E在线段的延长线上时，取最大值，由此可解．
【详解】解：如图，连接，，，
是的对称中心，是正方形的对称中心，
点O是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
点E在上，
当点E在线段上时，取最小值，最小值为，
当点E在线段的延长线上时，取最大值，最小值为，
，四边形是正方形，
，
，即，
，
即．
故答案为：．
13．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点中心对称，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，根据等腰三角形的性质可得，根据与关于点中心对称，可得，再根据勾股定理可得的长．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，
∴，
∵与关于点中心对称，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长．
【详解】解：与关于点A成中心对称，
，
，
，
，
故答案为：10．
15.如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成（不重叠，无缝隙），它既是轴对称图形，又是中心对称图形．若图中阴影面积的和为36，则图中线段的长为 ．
【答案】
【分析】把图形局部放大如图所示：作于N，于M，连接交于P交于Q，延长交于H，设，则．由，，推出，，，设，由，可得，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题．
【详解】解：把图形局部放大如图所示，作于N，于M，连接交于P交于Q，延长交于H，设，则．
由题意得：是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍弃），
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
16．如图， 的顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；
(2)与关于原点O中心对称， 请直接写出点，，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)的坐标为，的坐标为，的坐标为
【分析】本题考查作图-旋转变换．
（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，写出的坐标即可．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，的坐标为，的坐标为，的坐标为．
17．阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图．
尝试应用：将图分成面积相等的两部分不写作法，保留作图痕迹；
【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分．本题侧重考查中心对称图形，掌握其概念是解题关键．
【详解】解：连接平行四边形的中心和圆的圆心形成的直线，即为所求，如图所示：
18．在下面的平面直角坐标系中：
(1)描出点、，并画出；
(2)画出关于原点对称的图形；
(3)在轴上有一点，使的值最小，请直接写出点的坐标.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形、作图—中心对称图形、轴对称的性质、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先描出点、，再顺次连接即可得出；
（2）根据关于原点对称的点的性质得出对应点的位置，再顺次连接即可得出答案
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求，由轴对称的性质可得：，，，此时的值最小，待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求，
，
由轴对称的性质可得：，，
，此时的值最小，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为，
在中，当时，，
．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
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23.2.1 中心对称 学案
（一）学习目标：
1.了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．
2. 复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．
（二）学习重难点：
学习重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题
学习难点：从一般旋转中导入中心对称
阅读课本，识记知识：
把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：
１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；
２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；
３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．
【例1】阿皮家有一台显示数字的电子钟，当阿皮将电子钟倒置时，钟面显示的数字是，那么此时的正确时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将显示的结果旋转180°即可得到实际时间．
【详解】将旋转180°得到，
∴实际时间是16：21．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称的知识．作出相应的对称图形是解答本题的关键．【例2】关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ．
【答案】 对称中心 对称中心 分别相等
【分析】根据中心对称的性质即可得．
【详解】解：关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过对称中心，被对称中心平分，对应线段与对应角都分别相等，
故答案为：对称中心，对称中心，分别相等．
【点睛】本题考查了中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题关键．
选择题
1．下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．角平分线上的点到角的两边的距离相等
C．两个全等的三角形，一定成中心对称
D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴
3．小明想用图形1通过作图变换得到图形2，下列这些变化中不可行的是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．中心对称变换
4．能把一个平行四边形面积平分的直线有（ ）条
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
5．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
点A与点是对称点 B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是、，将平行四边形沿x轴向左平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ）
A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点
8．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示的是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，将绕着边的中点旋转180°，下面说法不正确的是（ ）
A．各边的中点都可通过网格确定
B．绕的中点旋转后得到的三角形的顶点不在网格的格点上
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形
D．绕着各边的中点旋转后得到的三角形的顶点都在网格的格点上
10．如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于，．若将绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
填空题
11．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为 ．
12.如图，在中，，点E在上，是的对称中心，是正方形的对称中心，若，则的取值范围 ．
13．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点中心对称，连接，则的长是 ．
14．如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为 ．
15.如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成（不重叠，无缝隙），它既是轴对称图形，又是中心对称图形．若图中阴影面积的和为36，则图中线段的长为 ．
三、解答题
16．如图， 的顶点坐标分别为，，．
(1)画出绕点A逆时针旋转后得到的；
(2)与关于原点O中心对称， 请直接写出点，，的坐标．
17．阅读材料：对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图．
尝试应用：将图分成面积相等的两部分不写作法，保留作图痕迹；
18．在下面的平面直角坐标系中：
(1)描出点、，并画出；
(2)画出关于原点对称的图形；
(3)在轴上有一点，使的值最小，请直接写出点的坐标.
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
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