中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2 直线和圆的位置关系 学案
（一）学习目标：
1.使学生掌握切线长的概念，切线长定理，三角形内切圆的概念
2.学生经历探究切线长定理的过程，培养学生观察、概括的逻辑思维能力
3.学生在探索切线长定理的过程中，学会运用数形结合的思想解决
（二）学习重难点：
学习重点：切线长的概念及切线长定理
学习难点：切线长定理的探究及运用
阅读课本，识记知识：
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
知识要点：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【例1】 如图，为的直径，是的切线，切点为C，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆的性质等知识，连接，利用切线的性质得，再利用半径相等得，进而得出答案．
【详解】解：连接，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
故选：A．
【例2】 如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A．圈 B．圈 C．圈 D．圈
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，根据直线与圆的位置关系，求出圆心转动过的路程即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，
∴圆在三角形的边上转动了3圈，
∵在每个顶点处，转动的角度是，
∴在三个顶点处转动，即在三个顶点共转1圈．
则这个圆共转了4圈．
故选A．
选择题
1．如图，是的弦，与相切于点A．连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由“与相切于点A”得出，根据等边对等角得出．求出及，进而即可解决问题．
【详解】解：与相切于点A，
，
，
，
．
∵，
，
．
故选：C．
2．如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线性质、四边形的内角和定理，根据切线性质得到，再根据四边形的内角和为即可求解．
【详解】解：∵P为外一点，，分别切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．如图，点A，B，C在上，且，，是切线，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质；
根据圆周角定理和切线的性质求出，，再根据四边形的内角和是计算即可．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，是切线，
∴，
∴，
故选：D．
4．如图，为外一点，分别切于，切于点，分别交于点，若，则的周长（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理可得，，然后利用三角形周长的定义和等线段代换得到的周长，熟练掌握切线长定理是解此题的关键．
【详解】解：分别切于，切于点，
，，
的周长
故选：B．
5．如图，、、分别与相切于点A，B，E，与、分别相交于C，D两点，若，则的度数为（ ）
A．50° B．62° C．66° D．70°
【答案】C
【分析】由、、分别切于A、B、E，交、于C、D两点，根据切线长定理即可得：，，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得，，继而求得答案．
【详解】解：∵、、分别切于A、B、E，交、于C、D两点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
即，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
6．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长是解题的关键．
根据直线与圆只有一个交点，则直线与圆相切，圆心到这条直线的距离为半径长求解作答即可．
【详解】解：由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切，
∴圆心O到这条直线的距离为，
故选：B．
7．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
【答案】C
【分析】如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，根据切线的性质及垂径定理可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案．
【详解】如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，
∵的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，
∴设，
∵与轴相切于，，
∴轴，，，
∵，，
∴，
在中，，即，
解得：，，
∴或，
∴半径是或6，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图形上点的坐标特征、切线的性质、垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
8．如图，在中，与相切于点A，连接交于点C，点D为上的点，连接．若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
【详解】解：∵与相切于点A，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系决定了其位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当时，直线和圆相交；当时，直线和圆相切；当时，直线和圆相离，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
【详解】解：∵的半径是6，点O到直线a的距离为5，，
∴直线a与的位置关系为相交．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且始终与轴相切，切点为，与轴交于点C，连接、、．则有个结论∶；； ， 其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，两点间的距离和勾股定理，连接，，延长交于点，连接，则，根据两点间的距离得；由轴得即可判断；由圆周角定理即可判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】连接，，
则有，
∴，，
∴，整理得：，故正确；
∵，
∴轴，
∴，
∴，故正确；
延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，故正确；
综上正确，共个，
故选：．
填空题
11．如图，切于点A，B，点C是上一点，且，则 .
【答案】/度
【分析】本题主要考查切线定理，圆周角定理；连接、，由题意易得，则有，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：如图所示，连接、，
、都为的切线，
，
，
，
；
故答案为：．
12．如图，，是的两条切线，切点为，，若，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质和矩形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：，是的两条切线，切点为，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径为3，
故答案为：3．
13．已知是的直径，点P是延长线上的一个动点，过P作的切线，切点为C，的平分线交于点D，则等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查切线的性质、角平分线的性质、外角的性质，连接，根据题意，可知，，可推出，即．
【详解】解：如图，连接，
∵，平分，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
14．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
【答案】1
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
15．如图，四边形内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点P，若，则 ．
【答案】115
【分析】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线的性质和圆内接四边形的性质即可得到答案．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
16．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，且交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线作法是解题的关键．
（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得，由的直角三角形的性质即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2），，
∴，
，
∴．
17．17．如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)半径的长为3
【分析】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质．
（1）连接，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论；
（2）设半径为，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求出半径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
设半径为，则，
在直角三角形中，
，即，
．
半径的长为3．
18.如图，四边形是圆的内接四边形，将绕点旋转至
(1)证明∶点，，三点共线；
(2)若，圆的半径为，求弦的长；
(3)如题图，若，试探究弦，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明，如下
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，则，再根据旋转的性质，则，根据等量代换，即可证明点，，三点共线；
（2）根据旋转的性质，则，根据圆内接四边形的性质，所对的圆周角为，则所对的圆周角为，根据勾股定理，即可求出；
（3）连接，作，的 垂直平分线并延长交于点，过点作交于点，根据圆内接四边形的性质，点是圆心；旋转的性质，则，，根据三角形的内角和的性质，平角的性质，点，，三点共线，求得是直径；根据，则，根据等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，求出；再根据勾股定理，则，在中，，，即可求出弦，，之间的数量关系．
【详解】（1）∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵绕点旋转得到，
∴，
∴，
∴点，，三点共线．
（2）∵绕点旋转得到，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴所对的圆周角为，
∴所对的圆周角为，即，
∵圆的半径为，
∴，
∴，
因为，
所以．
（3）
证明如下：
连接，作，的 垂直平分线并延长交于点，过点作交于点，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴点是圆心，
∵绕点旋转得到，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点，，三点共线，
∴是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
解得：
∴；
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，垂径定理，圆内接四边形的性质和定理，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2 直线和圆的位置关系 学案
（一）学习目标：
1.使学生掌握切线长的概念，切线长定理，三角形内切圆的概念
2.学生经历探究切线长定理的过程，培养学生观察、概括的逻辑思维能力
3.学生在探索切线长定理的过程中，学会运用数形结合的思想解决
（二）学习重难点：
学习重点：切线长的概念及切线长定理
学习难点：切线长定理的探究及运用
阅读课本，识记知识：
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
知识要点：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【例1】 如图，为的直径，是的切线，切点为C，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆的性质等知识，连接，利用切线的性质得，再利用半径相等得，进而得出答案．
【详解】解：连接，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
故选：A．
【例2】 如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A．圈 B．圈 C．圈 D．圈
【答案】A
【分析】本题考查切线的性质，根据直线与圆的位置关系，求出圆心转动过的路程即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，
∴圆在三角形的边上转动了3圈，
∵在每个顶点处，转动的角度是，
∴在三个顶点处转动，即在三个顶点共转1圈．
则这个圆共转了4圈．
故选A．
选择题
1．如图，是的弦，与相切于点A．连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C在上，且，，是切线，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为外一点，分别切于，切于点，分别交于点，若，则的周长（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．如图，、、分别与相切于点A，B，E，与、分别相交于C，D两点，若，则的度数为（ ）
A．50° B．62° C．66° D．70°
6．已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（ ）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
8．如图，在中，与相切于点A，连接交于点C，点D为上的点，连接．若，则为（ ）
A． B． C． D．
9．的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
10．如图，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且始终与轴相切，切点为，与轴交于点C，连接、、．则有个结论∶；； ， 其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
填空题
11．如图，切于点A，B，点C是上一点，且，则 .
12．如图，，是的两条切线，切点为，，若，，则的半径为 ．
13．已知是的直径，点P是延长线上的一个动点，过P作的切线，切点为C，的平分线交于点D，则等于 ．
14．如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
15．如图，四边形内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点P，若，则 ．
三、解答题
16．如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，且交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
17．如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求半径的长．
18.如图，四边形是圆的内接四边形，将绕点旋转至
(1)证明∶点，，三点共线；
(2)若，圆的半径为，求弦的长；
(3)如题图，若，试探究弦，，之间的数量关系，并证明．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
目标解读
基础梳理
典例探究
达标测试
自学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
