江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（PDF版含答案）

准考证号 姓名 .
绝密★启用前 （在此卷上答题无效）
萍乡市 2023—2024 学年度第二学期期末考试
高 一 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4
页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘
贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答
案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．复数 z i 2 i 的虚部为
A． 2 B． 2i C． 1 D． i
2． cos39 sin 69 sin141 cos111
A 3 3
1 1
． B． C． D．
2 2 2 2

3．已知 a,b,c为非零向量，则“ a c b c”是“ a b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
4．把函数 f (x) sin x π的图象按向量m ( ,2) 平移后，得到新图象的解析式为
2 3
y sin(1 x πA． ) 2 B． y sin(1 x π ) 2
2 6 2 6
1 π
C． y sin( x ) 2 D． y sin(1 x π ) 2
2 3 2 3

5．在 ABC中，D为 AB的中点， E 为CD的中点，设 AB a， AC b，则 AE
1 1 1
A． a b B． a b
2 4 2

C． a 1 1 1 b D． a b
2 4 2
6． ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c， A 30 ， a 8，b 8 3 ，则 ABC的面积为
A．32 3 B．16 3 C．32 3 或16 3 D．12 3
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7．如图所示是一个主体高为1.5 m 的螺旋形旋转滑梯．某游客从该滑
梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，
得到的曲线对应的方程为 y Asin( x )(A 0, 0) （ x, y 的
单位：m
13
），若该游客整个运动过程中相位的变化量为 π，则
4
的值为
5 π 11A． B． π
3 6
C． 2π
13
D． π
6
8．锐角 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 a2 b2 5c2 ，则 cosC的取值范围为
1 6 1A． ( , ) B． ( ,1)
2 3 2
4
C．[4 , 6 ) D．[ ,1)
5 3 5
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列命题为真命题的是

A．若向量 a,b,c满足 a//b，b//c，则 a//c
B． 240
4
化成弧度数为 π
3

C．若向量m,n满足 m 2 ， n 3，m n 3，则 m n 7
D．在 4:30时刻，时针与分针所夹的锐角为 ，则 tan 1
10．已知复数 z1 3 2i ， (1 i) z2 1 3i ，则
A． z2 1 2i B． z1 2z2 在复平面内对应的点位于第一象限
C． | z1 z2 | 2 | z2 | D． z1 z2 为纯虚数
11．在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 为 B1C1的中点，则下列说法正确的有
A．若点O为线段 BD 2 5的中点，则异面直线MO与 BB1所成角的余弦值为
5
B．若点 N 为线段 BC上的动点（含端点），则 MN DN 的最小值为 2 5
C．若点 P为线段CC 131的中点，则平面 AMP与正方形CDD1C1的交线长为
3
D．若点Q在正方形 ADD1A1 内（含边界），且MQ A1C ，则Q的轨迹长度为 2
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高 一 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共 2 页，须用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2π
12．若圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的高为__________．
3
13．如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800 年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在
文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息．小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上
共线的三点 A,B,C处测得古树顶点 P的仰角分别为 45 ,45 ,30 ，若 AB BC 28米，则该古树
的高度为__________米．
第 13 题图 第 14 题图
14．已知函数 f (x) Asin( x π π )( 0,0 ) 的图象如图所示，则 f ( ) __________；若图象
2 6
上 A,B两点的横坐标分别为 x1, x2 ，则 f (x2 x1) __________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分 13 分）
在平面四边形 ABCD中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5．
（1）求 cos ADB的值；
（2）若DC 2 2 ，求 BC．
16.（本小题满分 15 分）
2π
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC ， AB AC 2 ，3
AA1 6 ，D是 BC的中点．
（1）求证： A1B// 平面 ADC1 ；
（2）求二面角 B AD C1的余弦值．
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17．（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) 2sin( x )( 0,
π π π π
) 在区间[ , ]上单调递增， f ( ) 2 ，且 ．
2 3 6 6
从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上，再解答．
f ( π① ) 0 ；② a R， f (x) 在区间[a,a π] 上至少有 2个零点．
12
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）对任意的 x [0,
π]， f 2 (x) mf (x) 2≥0 恒成立，求实数m的取值范围．
3
【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．】
18．（本小题满分 17 分）
如图，某城市为升级沿河直线绿道 AB的沿途风景，计划在以 AB为直径的半圆形空地内部修建
一块矩形枫叶林CDEF（C,D在 AB上， E,F 在半圆上，O为圆心），已知 AB全长160 m ．
（1）求枫叶林CDEF面积的最大值；
（2）为方便游客休憩打卡，计划在 AB的另一侧修建观景木质栈道
A G B，已知 AG段每米的造价为 a元， BG段每米的造价
π
是 AG段的两倍， AGB ，求修建观景木质栈道 A G B
3
所需的费用最多为多少元（结果用 a表示）．
19．（本小题满分 17 分）
a1 b1
a n b

设有 维向量 a 2 ， b 2 ，称 a,b a b a b a b 为向量 和 的内积．记 S 1 1 2 2 n n a b n

an bn
为全体由 1和1构成的 n维向量的集合．
1
1

（1）若 a 1 ，存在 b S4 ，使得
a,b 0 ，写出所有满足条件的b；

1

（2）令 B x, y x, y Sn ，若m B，证明：m n为偶数；
（3）若 f (4) 表示能从 S4 中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为 0，
猜测 f (4) 的值，并给出一个实例．
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高一数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（8×5=40分）：ADBAD；CDC．
【7 解析】由旋转滑梯高为1.5m 知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是 1.5m，当
x 0 时，初相为 ，且游客一直滑到底部，则最后的相位为1.5 ，故整个运动过程中，相位的
变化量为1.5 13 13 π ，解得 π ．
4 6
2
【8 解析】由题知， cosC a b
2 c2 4(a2 b2 ) 4 2ab 4
≥ ，当且仅当 a b时取等号；又因为三角
2ab 10ab 1 0ab 5
2 2
a2 b2 a b a2 b2 c2 5 2
形是锐角三角形，所以 b2 c2 a2 ，即 b2 a
2 b2 ，解得 2 b 3 ，即 6 b 6
a2 ，又 3 a2

2 3 a 2a2 c2 2 5 b

a2a2 b
2
b2
5
cosC 2 (b a ) ，设 b x， f (x) 2 (x 1 )，x ( 6 6， ) ，因为 f x 在 ( 6，1) 上单调递减，在 (1 6， )
5 a b a 5 x 3 2 3 2
上单调递增，且 f ( 6 ) f ( 6 ) 6 ，所以 cosC的取值范围为[
4 6
， )．
2 3 3 5 3
二、多项选择题（3×6=18分）：BD；ABC；ACD．
【说明：第 9 题全部选对得 6 分，选对 1 个得 3 分，有选错的得 0 分；第 10、11 题全部选对得 6 分，
选对 1个得 2 分，选对 2 个得 4 分，有选错的得 0 分.】
3
三、填空题（3×5=15分）：12. 2 2 ； 13. 28 ； 14. 3 ， ．2
【说明：第 14 题全部做对得 5 分，做对 1 空得 3 分.】
四、解答题（共 77分）
15．（1 BD AB） 在 ABD中，由正弦定理得 ，······················································2 分
sin A sin ADB
2
代入数值并解得 sin ADB ，····················································································· 3 分
5
又因为 BD AB，所以 A ADB，即 ADB为锐角，·························································5 分
cos ADB 23所以 ；·································································································· 7 分
5
2 2 2
（2）在 BCD中，由余弦定理得 BC BD DC 2BD DC cos 90 ADB ，······················· 10 分
52 (2 2)2 2 5 2 2 sin ADB 25，
所以 BC=5．··············································································································13 分
16．（1）证明：连接 A1C 交 AC1于点O，则O是 AC1中点，连接OD，·································· 2 分
因为D是 BC的中点，所以 OD / /A1B，········································································· 3 分
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又 BA1 平面 ADC1 ，OD 平面 ADC1 ，·········································································4 分
故 A1B / / 平面 ADC1 ；·································································································· 6 分
（2）由题知， AD BC，····························································································7 分
因为CC1 平面 ABC， AD 平面 ABC，所以CC1 AD，
BC CC1 C，所以 AD 平面C1CD ，·········································································· 9 分
C1D 平面C1CD ，故 AD C1D，即 C1DB 是二面角 B AD C1的平面角，····················· 11 分
ABC BAC 2π在 中， ， AB AC 2，则CD= 3 ，
3
在 Rt C1CD中，CC1 6 ，则C D= CD2 CC 2 3 ，···················································1 1 13 分
则 cos C DC
CD 3
31 ，则 cos C1DB ，························································· 14 分C1D 3 3
即二面角 B AD C 31的余弦值为 ．········································································ 15 分
3
π π π π
17 （1）【选条件①】由题知， f x 的最大值为 2，在 , 上单调递增， f ( ) 2 ， f ( ) 0 ， 3 6 6 12
T π π
则 ( )，解得T π， 2 ，所以 f x 2sin 2x ，······································3 分
4 6 12
f π π π π又 6
2，所以 sin 1，又 ，所以 ，············································· 5 分
3 2 6
所以 f (x) 2sin(2x
π
) ；··························································································6 分
6
【选条件②】因为 a R， f x 在区间 a,a π 上至少有 2 个零点，所以T≤π ，················· 1 分
又因为 f x π在 ,
π T π π π
上单调递增，所以 ≥ ( ) ，即T≥π，····························· 2 分 3 6 2 6 3 2
所以T π， 2 ，所以 f x 2sin 2x ，·····························································3 分
f π 2 sin π 1 π π又 ，所以 ，又 ，所以 ，·············································· 5 分
6 3 2 6
π
所以 f (x) 2sin(2x ) ；··························································································6 分
6
2 x 0,
π 2x π π（ ）因为 ，所以 ,
5π
，则 f (x) [1,2]，············································8 分 3 6 6 6
令 t f (x) ，则 t 2 mt 2 0在 t [1,2]
2
内恒成立，即m t 在 t [1,2]内恒成立，················9 分
t
2
令 g(t) t ， t [1,2]，由基本不等式可知， g(t) 在 t 2 处取得最小值，························ 10 分t
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任取1 t t 2 ，有 t1 t2 0，1 t1t2 2 ， g t1 g t2 t
2 2
1 t2 t1 t
2
1 2 2 t t 1 0 ，1 2 t1t2
即 g t1 g t2 ，故 g(t) 在 t [1, 2]上单调递减；同理可得 g(t) 在 t [ 2,2]上单调递增，······ 12 分
4
则 g(t)min g( 2) 2 2 2 ，故只需m 2 2 ，····················································14 分2
所以实数 m的取值范围为 ( ,2 2]．············································································15 分
π
18．（1）设 EOD ，则 0, ，且OD 80cos ， ED 80sin ，···························· 2 分
2
所以 S矩形CDEF 2 OD ED 2 80cos 80sin 6400sin 2 ，············································4 分
π π
当 2 ，即 时，矩形枫树林CDEF面积取得最大值，为
2 4 6400 m
2；·························· 6 分
（2）因为 AGB π ，所以 GAB (0, 2π)，记 GAB ，············································· 7 分
3 3
160 BG AG 320 3 320 3 2π
由正弦定理有 ，则 BG sin π 2π ， AG sin( ) ，·· 9 分sin sin sin( ) 3 3 3
3 3
则 AG 2BG 320 3 sin(2π 640 3 ) sin
3 3 3
320 3 (sin 2π cos cos 2π sin 2sin ) 320 3 ( 3 cos 5 sin )，
3 3 3 3 2 2
320 21 5
sin( )，其中 sin
3
， cos ，且 0
π
，·············· 14 分
3 2 7 2 7 2
π当 时， AG 2BG 320 21取得最大值 ，····························································16 分
2 3
所以修建观景木质栈道 A G B 320 21 所需的费用最多为 a元．······································ 17 分
3
19．（1）由定义，只需满足b1 b2 b3 b4 0，································································1 分
1 1 1 1 1 1
1 1
故所有满足条件的b有 6 个，为： ， ，
1 1 1 1， ， ， ；······················4 分
1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1
x1 y1

（2）由题知，存在 x yx 2 ， xi 1,1 与 y 2 ， yi 1,1 ， i 1,2, ,n，使 x, y m，·········6 分

y xn n
当 xi yi时， xi yi 1；当 xi yi时， xi yi 1，···································································· 7 分
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n
若有 k 个 xi yi，则有 n k个 xi yi，则m x, y xi yi k n k 2k n，···················· 9 分
i 1
所以m n 2k n n 2k为偶数；·············································································· 10 分
（3）猜测符合要求的 4 维向量最多有 4 个，即 f 4 4，举例如下：····································11 分
1 1 1 1

不妨取 a
1
， a
1 ， a
1 ， a
1
，···························································· 12 分1 1 2 1 3 1 4 1

1 1 1 1
a 则有 1,a2 0， a1,a3 0 ， a1,a4 0， a2 ,a3 0， a2 ,a4 0， a3 ,a4 0，························· 13 分
1 1 1

若存在 a5 使 a 1,a5 0 ，则 a 1 或 1 或 1 ，···························································14 分5 1 1 1

1 1 1
1 1 1

当 1a 时， a4 ,a5 4

；当 1a 时， a ,a 15 5 2 5 4；当 a

5
时， a3 ,a5 4 ，···········16 分
1 1 1

1 1 1
故找不到第 5 个 4 维向量与已知的 4 个向量满足互相之间的内积均为 0，即 f 4 4．··············17 分
命题：徐 敏（莲花中学） 贺莎莎（莲花中学） 吴正兴（萍乡三中）
审核：胡 斌（市教研室）
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