人教版高中数学选择性必修第一册-综合检测卷（含解析）

人教版高中数学选择性必修第一册 综合检测卷（原卷版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1，3)，(4，3＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．(2019·北京，理)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
3.如图，在三棱锥O－ABC中，D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a－b＋c B．a＋b－c
C．a－b＋c D．－a＋b－c
4．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是(　　)
A．(2，6) B．(3，2)
C．(6，4) D．(4，6)
5．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
7.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
8．(2019·课标全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是(　　)
A．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程＋＝1表示
B．存在实数m，使得方程x＋my－2＝0能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．若正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，点B1到平面CEF的距离为1
11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
12．已知动点P到两定点M(－2，0)，N(2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C，则(　　)
A．C一定经过原点 B．C关于x轴、y轴对称
C．△MPN的面积的最大值为4 D．C在一个面积为64的矩形内
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝________．
14．已知点P是圆C：x2＋y2＝4上的动点，点A(4，2)，则线段AP中点M的轨迹方程是________________；点M的轨迹与圆C相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．已知点F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝，S△AF2B＝2，则双曲线C的虚轴长为________．
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．
(1)求直线AC的方程；
(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．
①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．
②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．
18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．
19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝2，M为BC的中点．
(1)求证：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.
(1)求证：BD⊥平面AA1C1；
(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．
22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且·＝0，||＝||.
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)直线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若·＝－4，且4≤||≤4，求直线l的斜率k的取值范围．
1．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是(　　)
A.＋＋＋＝0 B.－＋－＝0
C.·＋·＝0 D.·＝0
4．已知A是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左顶点，F是抛物线C：y2＝－8ax的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，2) B.
C. D．(2，＋∞)
5.如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，＝λ.若MN⊥AD，则实数λ为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的左、右焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点(异于点B)，则的最大值是(　　)
A．2 B．4
C. D．2
8．【多选题】若{a，b，c}为空间的一个基底，则(　　)
A．b＋c，b－c，a共面 B．b＋c，b－c，2b共面
C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面
9.【多选题】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
10．【多选题】已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是(　　)
A．∠CFD＝90° B．△CMD为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为± D．△AOB的面积为4
11．【多选题】a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以AC为旋转轴旋转，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与a所成角的最小值为
B．直线AB与a所成角的最大值为
C．当直线AB与a所成的角为时，AB与b所成的角为
D．当直线AB与a所成的角为时，AB与b所成的角为
12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(　　)
A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．
14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P的轨迹方程为________．
15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．
16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为.
(1)求此椭圆的离心率；
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．
17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是.
18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．
19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．
(1)求二面角O1－BC－D的大小；
(2)求点E到平面O1BC的距离．
20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若m＝1，＋3＝0，求k的值；
(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．
人教版高中数学选择性必修第一册综合检测卷（解析版）
[时间：120分钟　　　满分：150分]
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1，3)，(4，3＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案　A
解析　设直线的倾斜角为α，则tan α＝＝，∴α＝.故选A.
2．(2019·北京，理)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
答案　B
解析　椭圆的离心率e＝＝，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2.故选B.
3.如图，在三棱锥O－ABC中，D是棱AC的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a－b＋c B．a＋b－c
C．a－b＋c D．－a＋b－c
答案　A
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此＝－＝－＋＝a－b＋c.
4．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是(　　)
A．(2，6) B．(3，2)
C．(6，4) D．(4，6)
答案　B
解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝6，则＝3，＝＝＝2，所以所求点的坐标为(3，2)．故选B.
5．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案　B
解析　在正四面体ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点，＝＋，＝，所以·＝(＋)·＝·＋·.因为ABCD是正四面体，所以BE⊥AD，∠BAD＝，即·＝0，·＝||·||cos ＝a2，所以·＝a2.故选B.
6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案　D
解析　由题意设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，∵圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，∴＝2，解得a＝2.∴圆心为C(2，0)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选D.
7.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)．
＝(2，0，－2)，＝(－2，1，0)，＝(0，3，－2)．
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1得n＝(1，2，3)．
cos〈，n〉＝＝＝－，
可得PB与平面PCD所成角的正弦值为.故选B.
8．(2019·课标全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　A
解析　如图，由题意知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，
将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.故选A.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是(　　)
A．在两坐标轴上截距相等的直线可以用方程＋＝1表示
B．存在实数m，使得方程x＋my－2＝0能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
答案　BD
解析　对于A，若直线过原点，则在两坐标轴上的截距都为零，故不能用方程＋＝1表示，所以A错误；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C错误；对于D，在直线y＝x＋1上，且(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以D正确．故选BD.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．若正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，点B1到平面CEF的距离为1
答案　AC
解析　对于A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，所以EF∥A1C1，且EF 平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立，A正确；对于B，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，设正方形ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2，0，0，)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，＝(－2，－2，－2)，＝(0，1，－2)，因为·＝0－2＋4＝2≠0，所以与不垂直，又CF 平面CEF，所以B1D与平面CEF不垂直，B错误；对于C，＋－＝(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2)，又＝(1，－2，2)，所以＝＋－成立，C正确；对于D，连接B1E，＝(－1，1，0)，＝(－1，2，－2)，设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)则即令x＝2，得n＝(2，2，1)，又＝(－1，－2，0)，所以点B1到平面CEF的距离d＝＝＝2，D错误．故选AC.
11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
答案　BC
解析　∵＋y2＝1，∴a＝，b＝1，∴c＝＝＝，则C的焦距为2，e＝＝＝.设P(x，y)(－≤x≤)，则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－＝＋≥>，可知圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为－＝.故选BC.
12．已知动点P到两定点M(－2，0)，N(2，0)的距离乘积为常数16，其轨迹为C，则(　　)
A．C一定经过原点 B．C关于x轴、y轴对称
C．△MPN的面积的最大值为4 D．C在一个面积为64的矩形内
答案　BCD
解析　设点P的坐标为(x，y)，由题意可得·＝16.对于A，将原点坐标(0，0)代入方程得2×2＝4≠16，故A错误；对于B，设点P关于x轴、y轴的对称点分别为P1(x，－y)，P2(－x，y)，因为·＝·＝16，·＝·＝16，所以点P1，P2都在曲线C上，所以曲线C关于x轴、y轴对称，故B正确；对于C，设|PM|＝a，|PN|＝b，∠MPN＝θ(0<θ<π)，则ab＝16，由余弦定理得cos θ＝＝≥＝，当且仅当a＝b＝4时等号成立，则θ∈，所以sin θ≤，则△MPN的面积S△MPN＝absin θ≤×16×＝4，故C正确；对于D，由16＝·≥·＝|x2－4|，可得－16≤x2－4≤16，得0≤x2≤20，解得－2≤x≤2，由C知，S△MPN＝|MN|·|y|＝×4×|y|≤4，得|y|≤2，因为4×4＝16<64，所以曲线C在一个面积为64的矩形内，故D正确．故选BCD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝________．
答案　a－b＋c
解析　＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋(－2＋)
＝－＋
＝a－b＋c.
14．已知点P是圆C：x2＋y2＝4上的动点，点A(4，2)，则线段AP中点M的轨迹方程是________________；点M的轨迹与圆C相交，则过交点的直线方程是________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案　(x－2)2＋(y－1)2＝1　2x＋y－4＝0
解析　设M(x，y)，P(x1，y1)，
则整理得
因为x12＋y12＝4，所以(2x－4)2＋(2y－2)2＝4.
整理得(x－2)2＋(y－1)2＝1.①
又圆C：x2＋y2＝4，②
由①－②得2x＋y－4＝0，即为所求直线方程．
15．已知点F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B＝，S△AF2B＝2，则双曲线C的虚轴长为________．
答案　2
解析　由题意知点B与点A关于原点对称，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以∠F1AF2＝，设|AF2|＝m，不妨设点A在点B右侧，则|AF1|＝2a＋m.在△AF1F2中，由余弦定理可得4c2＝m2＋(m＋2a)2－m(m＋2a)，化简得4c2－4a2＝m2＋2ma，即4b2＝m(m＋2a)．又S△AF2B＝m(m＋2a)·＝2，所以b2＝2，所以2b＝2.
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0答案　[－1，1)
解析　设A(m，n)，则B(－m，－n)，则k＝，因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M为AF1的中点，所以OM∥BF1，
同理ON∥AF1，
所以四边形OMF1N是矩形，即AF1⊥BF1，
而＝(1－m，－n)，＝(1＋m，n)，
所以(1－m)(1＋m)－n2＝0，
即m2＋n2＝1，
又＋＝1，
于是有＋＝m2＋n2，
从而＝＝k2 ≤3，
即＋≥4，
将b2＝a2－1代入上式，
整理得4a4－8a2＋1≤0，
解得≤a2≤，
又a>c＝1，
所以4－2≤<1，
即－1≤e<1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知三角形的顶点A(2，3)，B(0，－1)，C(－2，1)．
(1)求直线AC的方程；
(2)从①，②这两个问题中选择一个作答．
①求点B关于直线AC的对称点D的坐标．
②若直线l过点B且与直线AC交于点E，|BE|＝3，求直线l的方程．
思路分析　(1)由A(2，3)，C(－2，1)，可求出直线AC的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
(2)选①由对称点的性质即可求出；
选②设出E点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出t的值，根据B，E两点的坐标即可求出直线的方程．
解析　(1)因为直线AC的斜率为kAC＝，
所以直线AC的方程为y－3＝(x－2)，即直线AC的方程为x－2y＋4＝0.
(2)选择问题①：设D的坐标为(m，n)，
则解得所以点D的坐标是.
选择问题②：设E的坐标为，因为|BE|＝3，所以＝3，
解得t＝0或t＝－.所以E的坐标为(0，2)或.
所以直线l的方程为x＝0或3x＋4y＋4＝0.
18．(12分)已知圆C经过三点O(0，0)，A(1，3)，B(4，0)．
(1)求圆C的方程；
(2)求过点P(3，6)且被圆C截得弦长为4的直线的方程．
解析　(1)由题意，设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由(1)知圆心坐标为C(2，1)，半径为，弦长为4时，圆心C到直线的距离为1.
①若直线斜率不存在，则直线方程为x＝3，经检验符合题意；
②若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y－6＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋6＝0，则＝1，解得k＝，
所以直线方程为y－6＝(x－3)，即12x－5y－6＝0.
综上可知，直线方程为x＝3或12x－5y－6＝0.
19．(12分)(2019·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解析　(1)若△POF2为等边三角形，则P的坐标为，代入方程＋＝1，可得＋＝1，解得e2＝4±2，所以e＝－1(＋1已舍去)．
(2)由题意可得||＋||＝2a，因为PF1⊥PF2，所以||2＋||2＝4c2，所以(||＋||)2－2||·||＝4c2，所以2||·||＝4a2－4c2＝4b2，所以||·||＝2b2，所以S△PF1F2＝||·||＝b2＝16，解得b＝4.因为(||＋||)2≥4||·||，即(2a)2≥4||·||，即a2≥||·||，所以a2≥32，所以a≥4，即a的取值范围为[4，＋∞)．
20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且△PCD是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是矩形，BC＝2，M为BC的中点．
(1)求证：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
解析　以点D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)，
＝(，1，－)，＝(－，2，0)．
(1)证明：∵·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则即
取y＝1，得n＝(，1，)．
取p＝(0，0，1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∵cos〈n，p〉＝＝＝，
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(，1，)为平面AMP的一个法向量，
∴d＝＝＝，
即点D到平面AMP的距离为.
21．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠AA1C1＝60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D.
(1)求证：BD⊥平面AA1C1；
(2)设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．
解析　(1)证明：由已知得侧面AA1C1C是菱形，D是AC1的中点．∵BA＝BC1，∴BD⊥AC1.∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且BD 平面ABC1，平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C.
(2)设点F是A1C1的中点，连接DF，EF，∵点D是AC1的中点，∴DF∥平面AA1B1B.又∵DE∥平面AA1B1B，∴平面DEF∥平面AA1B1B.又∵平面DEF∩平面A1B1C1＝EF，平面AA1B1B∩平面A1B1C1＝A1B1，∴EF∥A1B1.∴点E是B1C1的中点．
如图，以D为原点，以DA1，DA，DB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得AC1＝2，AD＝1，BD＝A1D＝DC＝，BC＝，
∴D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(，0，0)，B(0，0，)，C1(0，－1，0)．
设平面EBD的法向量是m＝(x，y，z)，由m⊥，得
z＝0 z＝0.
又＝(＋)＝(＋＋)＝.
由m⊥，得(x，y，z)·＝0 x－y＝0.
令x＝1，得y＝，∴m＝.
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，DA1⊥AC1，∴DA1⊥平面ABC1.
∴是平面ABC1的一个法向量，＝(，0，0)．
∴cos〈m，〉＝＝，∴平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值是.
22．(12分)已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且·＝0，||＝||.
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)直线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若·＝－4，且4≤||≤4，求直线l的斜率k的取值范围．
解析　(1)由题意知P为线段MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，P，
由·＝0，得·＝0，
∴(－x)·1＋·＝0，∴y2＝4x(x＞0)，∴点N的轨迹方程为y2＝4x(x>0)．
(2)设l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当l与x轴垂直时，则由·＝－4，
得y1＝2，y2＝－2，|AB|＝4<4，不合题意．
故l与x轴不垂直．
可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
则由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4.
由点A，B在抛物线y2＝4x(x>0)上有y12＝4x1，y22＝4x2，故y1y2＝－8.
又∵联立消x，得ky2－4y＋4b＝0.
∴＝－8，b＝－2k.
∴Δ＝16(1＋2k2)，|AB|2＝(y1－y2)2＝.
∵4≤|AB|≤4，
∴96≤≤480.
解得直线l的斜率取值范围为∪.
1．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
2．已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
答案　D
解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
即
所以
令x＝1，则n＝，又＝(－7，－7，7)，
故所求距离为＝＝11.
3.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2.下列结论中正确的是(　　)
A.＋＋＋＝0 B.－＋－＝0
C.·＋·＝0 D.·＝0
答案　B
解析　本题考查空间向量的加减运算和数量积．由题意易知A错误；因为－＋－＝＋＝0，所以B正确；因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·≠0，所以C错误；连接AC，在△SAC中，SA＝SC＝2，AC＝，所以∠ASC≠90°，所以cos∠ASC≠0，又·＝2×2×cos∠ASC，所以·≠0，所以D错误．故选B.
4．已知A是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左顶点，F是抛物线C：y2＝－8ax的焦点．若在双曲线的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，2) B.
C. D．(2，＋∞)
答案　B
解析　由题意得，A(－a，0)，F(－2a，0)，不妨设P，由⊥，得·＝0 ·＝0 x02＋3ax0＋2a2＝0.因为在双曲线E的渐近线上存在点P，所以Δ≥0，即9a2－4×2a2×≥0，9a2≥8c2 e2≤ －≤e≤，又因为E为双曲线，所以15.如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，＝λ.若MN⊥AD，则实数λ为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　连接AC交BD于点O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA＝AB＝2，则A(，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，)，M，B(0，，0)，∴＝(0，－2，0)，设N(0，b，0)，则＝(0，b－，0)．∵BD＝λ，∴－2＝λ(b－)，∴b＝，∴N，，＝(－，－，0)，∵AD⊥MN，∴·＝1－＝0，解得λ＝4.故选C.
6．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的左、右焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
答案　B
解析　设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2.∵F1是MA的中点，D是MN的中点，∴F1D是△MAN的中位线，∴|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)．∵点D在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知，|DF1|＋|DF2|＝4，∴|AN|＋|BN|＝8.故选B.
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点(异于点B)，则的最大值是(　　)
A．2 B．4
C. D．2
答案　A
解析　设点P(x0，y0)，则x02＋y02＝2，所以＝＝＝＝，令λ＝，则λ≠0，x0＋(2λ－1)y0＋3λ－2＝0，由题意，知直线x＋(2λ－1)y＋3λ－2＝0与圆x2＋y2＝2有公共点，所以≤，得λ2－4λ≤0，得0<λ≤4，所以的最大值为2.
8．【多选题】若{a，b，c}为空间的一个基底，则(　　)
A．b＋c，b－c，a共面 B．b＋c，b－c，2b共面
C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面
答案　BCD
解析　易知b＋c，b－c，a不共面；因为2b＝(b＋c)＋(b－c)，所以b＋c，b－c，2b共面；因为a＋b＋c＝(b＋c)＋a，所以b＋c，a，a＋b＋c共面；因为a＋c＝(a－2c)＋3c，所以a＋c，a－2c，c共面．故选BCD.
9.【多选题】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
答案　ACD
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AC，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝AD＝AA1＝，所以AD＝AA1＝1，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，C1(0，，1)，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，B(1，，0)，则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)，＝(0，，1)，＝(1，，0)，＝(－1，0，0)．当＝2时，P为A1C的中点，根据长方体结构特征，可知P为体对角线的中点，因此P也为B1D的中点，所以B1，P，D三点共线，故A正确；当⊥时，AP⊥A1C，由题意可得A1C＝＝，AC＝＝2，因为S△A1AC＝AA1·AC＝A1C·AP，所以AP＝，所以A1P＝，即点P为靠近点A1的五等分点，所以P，则＝，＝，所以·＝－＋－＝－≠0，所以与不垂直，故B错误；当＝3时，＝＝，设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，可得n＝(－，1，－)，又＝－＝，所以·n＝0，因此⊥n，所以∥平面BDC1，故C正确；当＝5时，＝＝，所以＝－＝，所以·＝0，·＝0，因此A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，所以A1C⊥平面D1AP，故D正确．故选ACD.
10．【多选题】已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是(　　)
A．∠CFD＝90° B．△CMD为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为± D．△AOB的面积为4
答案　AC
解析　如图，过点M向准线l作垂线，垂足为N，F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝|AC|，所以∠AFC＝∠ACF，又因为∠OFC＝∠ACF，所以∠OFC＝∠AFC，所以FC平分∠OFA，同理可知FD平分∠OFB，所以∠CFD＝90°，故A正确；假设△CMD为等腰直角三角形，则∠CFD＝∠CMD＝90°，则C，D，F，M四点共圆且圆的半径为|CD|＝|MN|，又因为|AF|＝3|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MN|＝4|BF|，所以|MN|＝2|BF|，所以|CD|＝2|MN|＝4|BF|，所以|CD|＝|AB|，显然不成立，故B错误；设直线AB的方程为x＝my＋1，联立所以y2－4my－4＝0，所以又因为|AF|＝3|BF|，所以y1＝－3y2，所以所以m2＝，所以＝±，所以直线AB的斜率为±，故C正确；取m＝，则所以|y1－y2|＝＝，所以S△AOB＝·|OF|·|y1－y2|＝×1×＝，故D错误．故选AC.
11．【多选题】a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以AC为旋转轴旋转，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与a所成角的最小值为
B．直线AB与a所成角的最大值为
C．当直线AB与a所成的角为时，AB与b所成的角为
D．当直线AB与a所成的角为时，AB与b所成的角为
答案　AD
解析　由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC＝1，AB＝，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，BC长为半径的圆，设CB旋转到直线a上时为CE，旋转到直线b上时为CD，以C为坐标原点，以CD所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则D(1，0，0)，A(0，0，1)，设B点在运动过程中的坐标为(cos θ，sin θ，0)，其中θ为射线CD绕端点C旋转到CB形成的角，θ∈[0，2π)，∴AB在运动过程中对应的向量＝(cos θ，sin θ，－1)，||＝，设AB与a所成的角为α，α∈，则cos α＝|sin θ|∈，∴α∈，故A正确，B错误；设AB与b所成的角为β，β∈，则cos β＝|cos θ|，当AB与a所成的角为，即α＝时，|sin θ|＝cos α＝cos ＝，
∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴cos β＝|cos θ|＝，∵β∈，∴β＝，此时AB与b所成的角为，故D正确，C错误．故选AD.
12．【多选题】古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(　　)
A．轨迹C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
答案　BC
解析　设P(x，y)，则＝，化简得(x＋4)2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝，设D(m，0)，E(n，0)，则＝2，化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使＝，所以B正确；当A，B，P三点不共线时，由＝＝，可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；假设在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M(x，y)，则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，得x＝2，不合题意，故不存在点M，所以D错误．故选BC.
13．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x－my－1＝0平行，则实数m的值为________，动直线l被圆C：x2＋y2＋2x－24＝0截得弦长的最小值为________．
答案　－1　2
解析　由题得m×(－m)－(－1)×1＝0，所以m＝±1.当m＝1时，两直线重合，舍去，故m＝－1.
因为圆C的方程x2＋y2＋2x－24＝0可化为(x＋1)2＋y2＝25，所以圆心为C(－1，0)，半径为5.由于直线l：mx－y－1＝0过定点P(0，－1)，所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×＝2.
14．已知M(－2，0)，N(2，0)，点P(x，y)为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P的轨迹方程为________．
答案　y2＝－8x
解析　由题意，知＝(4，0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．由||·||＋·＝0，得4＋4(x－2)＝0，化简整理，得y2＝－8x.
15．已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线C：y2＝4x上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为________，P到直线l距离的最小值为________．
答案　1　
解析　设抛物线C：y2＝4x上的点P到直线4x－3y＋6＝0的距离为d1，到准线的距离为d2，到y轴的距离为d3，由抛物线方程可得焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1，则d3＝d2－1，|PF|＝d2，因此d1＋d3＝d1＋d2－1＝d1＋|PF|－1，因为d1＋|PF|的最小值是焦点F到直线4x－3y＋6＝0的距离，即＝2，所以d1＋d3＝d1＋|PF|－1的最小值为2－1＝1；设平行于直线l且与抛物线C：y2＝4x相切的直线方程为4x－3y＋m＝0，由得y2－3y＋m＝0，因为直线4x－3y＋m＝0与抛物线C：y2＝4x相切，所以Δ＝(－3)2－4m＝0，解得m＝，因此该切线方程为4x－3y＋＝0，所以两平行线间的距离为＝，即P到直线l距离的最小值为.
16．已知直线l：y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点为.
(1)求此椭圆的离心率；
(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．
解析　(1)由得(b2＋a2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
∴Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0 a2＋b2>1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝.
∵线段AB的中点为，∴＝，得a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝.
(2)设椭圆的右焦点为F(c，0)，则点F关于直线l：y＝－x＋1的对称点为P(1，1－c)．
∵点P在圆x2＋y2＝5上，
∴1＋(1－c)2＝5，即c2－2c－3＝0.
∵c>0，∴c＝3，
又a2＝2c2且a2＝b2＋c2，∴a＝3，b＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
17.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是.
解析　(1)证明：在直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，AD 平面ADE，所以AB⊥AD.
又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AB 平面ABFE，AF 平面ABFE，所以AD⊥平面ABFE.
因为AD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)由(1)知AD⊥平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(0，0，0)，F(2，2，0)，C(2，0，2)，P(1，－h，1)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，＝(1，－h，1)．
设平面AFC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则取x1＝1，则y1＝z1＝－1，
所以m＝(1，－1，－1)．
设平面AFP的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则取x2＝1，则y2＝－1，z2＝－1－h，
所以n＝(1，－1，－1－h)．
因为二面角C－AF－P的余弦值为，
所以|cos〈m·n〉|＝＝＝，　
解得h＝1或h＝－(舍)，
所以正四棱锥P－ABCD的高h＝1.
18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．
解析　方法一：(1)证明：因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥AA1.
在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°.
由正弦定理得＝，得sin∠ACB＝.又∠ACB为锐角，则∠ACB＝30°，
所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
又AC，AA1 平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，
所以AB⊥平面ACC1A1.
又A1C 平面ACC1A1，
所以AB⊥A1C.
(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD.
因为AB⊥A1C，且AB，AD 平面ABD，AB∩AD＝A，
所以A1C⊥平面ABD，
所以BD⊥A1C，
所以∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角．
在Rt△AA1C中，
AD＝＝＝，
在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，
所以二面角A－A1C－B的正切值为.
方法二：(1)证明：因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°.
由正弦定理得＝，得sin∠ACB＝.又∠ACB为锐角，则∠ACB＝30°，
所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC.
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，A1(0，0，)，
所以＝(1，0，0)，＝(0，，－)．
因为·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，
所以AB⊥A1C.
(2)取m＝＝(1，0，0)为平面AA1C1C的法向量．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以x＝y，y＝z.
令y＝1，则n＝(，1，1)，
所以cos〈m，n〉＝
＝
＝，
所以sin〈m，n〉＝＝，
所以tan〈m，n〉＝.
所以二面角A－A1C－B的正切值为.
19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．
(1)求二面角O1－BC－D的大小；
(2)求点E到平面O1BC的距离．
解析　(1)连接OO1，则OO1⊥平面ABCD，
又OA，OB 平面ABCD，
∴OO1⊥OA，OO1⊥OB.
又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为4，
∠DAB＝60°的菱形，
∴OA＝2，OB＝2.
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3)．
∴＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3)．
设平面O1BC的法向量为n1＝(x，y，z)，
则n1⊥，n1⊥.
∴
令z＝2，则x＝－，y＝3，∴n1＝(－，3，2)．
而平面AC的一个法向量为n2＝(0，0，3)，
∴cos〈n1，n2?＝＝＝.
设二面角O1－BC－D的平面角为α.
∴cos α＝，∴α＝60°.
故二面角O1－BC－D的大小为60°.
(2)设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴＝.
则d＝＝＝.
∴点E到平面O1BC的距离为.
20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值及使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
解析　(1)将圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，其圆心C(－1，2)，半径r＝.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为y＝kx，
∴圆心到切线的距离为＝，
即k2－4k－2＝0，解得k＝2±.
∴切线方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，
设切线的方程为x＋y－a＝0，
∴圆心到切线的距离为＝，
即|a－1|＝2，解得a＝3或－1.
∴切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上所述，所求切线方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)∵PM为圆C的切线，∴△PMC为直角三角形．
又|PM|＝|PO|，∴|PM|2＝|PO|2＝|PC|2－r2，
∴x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
化简得2x1－4y1＋3＝0，即点P的轨迹是直线l：2x－4y＋3＝0，∴|PM|的最小值即|PO|的最小值，也就是点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，
由点到直线的距离公式，可知|PM|min＝＝.
当|PM|取最小值时，OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0，
由得
∴点P的坐标为.
21．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求△OMN的面积．
解析　(1)由题意知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
所以圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
又原点O到直线l的距离d＝＝，
所以△OMN的面积S＝|MN|·d＝×2×＝.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为2＋.过点P(m，0)作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，其中m>0，k>0，D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若m＝1，＋3＝0，求k的值；
(3)若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．
解析　(1)由题意得，2b＝2，a＋c＝2＋，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当m＝1时，直线l的方程为y＝k(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
因为点P在椭圆C内，所以Δ>0.
所以x1＋x2＝，所以D.
所以kOD＝＝－，
直线MN的方程为y＝－x.
由消去y得x2＝，
所以M.
因为＋3＝0，所以＋3×＝0，
因为k>0，所以k＝.
(3)由题意知直线l的方程为y＝k(x－m)，
由消去y得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
所以Δ＝(－8k2m)2－4(1＋4k2)(4k2m2－4)>0，即4k2－k2m2＋1>0，(*)
且x1＋x2＝，所以D.
因为M，N关于原点对称，
所以由(2)易知，N.
由四边形OANB为平行四边形，得＋＝＝2，
可得＝2×，解得m2＝1＋.
因为将m2＝1＋代入(*)式恒成立，所以存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，
所以当k>0时，m2>1，因为m>0，所以m>1，所以m的取值范围为(1，＋∞)．