洛阳市2023-2024学年高一下学期期末质量检测
数学试卷
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ,则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 满足 ,则 （ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知角 的顶点在坐标原点,始边在 轴非负半轴上,点 为角 终边上一点,则 （ ）
A. B. C. D.
4. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. 已知非零向量 满足 ,且 ,则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 从 四个数中任取三个数作为三角形的边长,则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图,边长为 4 的正方形 的中心为 ,将其沿对角线 折成直二面角, 分别为 的中点,则 绕直线 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ,则（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 是 的对称轴
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象
10. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取 10 件, 检测其使用寿命 (单位: 年), 结果如下表:
甲厂产品 3 5 6 7 7 8 8 8 9 10
乙厂产品 4 6 6 7 8 8 8 8 8 8
记甲厂上述样本数据的众数为 ,平均数为 ,极差为 ,方差为 ,乙厂上述样本数据的众数为 ,平均数为 ,极差为 ,方差为 . 则（ ）
A. B. C. D.
11. 某青少年篮球训练营在一堂训练课结束后, 组织学员进行投篮测试, 规则为:
① 每人最多投篮 3 次, 先在三分线外投第一次, 投中得 3 分, 不中不得分;
② 从第二次开始均在三分线内罚球线附近投篮, 投中得 2 分, 不中不得分;
③ 测试者累计得分超过 3 分即通过测试, 并立即终止.
已知学员小明参加测试, 他一次投篮得 3 分和 2 分的概率分别为 0.2 和 0.6 , 各次投篮是否投中没有影响, 则（ ）
A. 小明测试得 3 分的概率为 0.032 B. 小明测试得 5 分的概率为 0.168
C. 小明测试一共投篮 3 次的概率为 0.336 D. 小明测试通过的概率为 0.456
12. 在棱长为 2 的正方体 中, 是棱 的中点, 是正方形 内一动点 (包含边界),下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 平面 ,则点 的轨迹的长度是
C. 点 在直线 上运动时, 的最小值是
D. 若点 是棱 的中点,平面 截正方体所得的截面的周长为
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。
13. 已知函数 是奇函数,且 ,则 .
14. 已知 ,则 .
15. 在 中, ,点 在边 上,则 的最小值为 .
16. 在四棱锥 中,底面 是矩形, ,侧棱长都是 ,点 在棱 上, ,则三棱锥 的外接球的表面积为 .
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分)
已知函数 .
(1) 求函数 的单调递增区间;
(2) 当 时,求函数 的值域.
18. (12 分)
2024 年“五一” 假期, 洛阳各大景区纷纷推出丰富多彩的文旅活动, 让游客在享受美好假期的同时, 感受洛阳深厚的历史文化底蕴. 这个小长假, 全市累计接待游客 683. 87 万人次, 旅游总收入 59.57 亿元. 漫步洛阳街头, 三步一娘娘, 五步一公主, “总要来洛阳穿穿汉服”, 成为无数人的心中所愿. 为了了解汉服体验者的满意程度, 随机选取了 40 名汉服体验者进行满意度打分 (满分 100 分), 按分数共分成五组: 第 1 组 ,第 2 组 , 85),第 3 组 ,第 4 组 ,第 5 组 ,得到的频率分布直方图如图所示, 我们称打分 90 分及以上的汉服体验者为“汉服达人”.
(1) 根据频率分布直方图, 同一组数据用该组区间的中点值作代表, 试估计这 40 名汉服体验者打分的平均数, 并估计样本的第 75 百分位数;
(2) 用分层抽样的方法从第 3 组和第 4 组的汉服体验者中随机选出 5 人, 再从这 5 人中随机选 2 人, 求至少一人是“汉服达人” 的概率.
19. (12 分)
在条件① ,② ,③ 中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答相应的问题.
已知 的内角 的对边分别为 ,且满足
(1) 求 ;
(2) 的内角平分线交 于点 ,若 的面积为 ,求 的周长.
20. (12 分)
如图,在直角梯形 中, , ,边 上一点 满足 ,现将 沿 折起到 的位置,使得 .
(1) 求证:平面 平面 ;
(2) 求二面角 的余弦值.
21. (12 分)
每年的 12 月 2 日是我国的“全国交通安全日”, 某市交通广播为了提高社会公众的交通安全意识, 2023 年 12 月 2 日推出了一档交通安全知识闯关栏目, 规则如下: 第一关, 闯关者从甲、乙、丙三道题目中随机抽取一道, 若答对抽到的题目, 则闯关成功, 若没答对抽到的题目, 则进入第二关; 第二关, 该闯关者从剩下的两道题目中随机抽取一道, 若答对抽到的题目, 则闯关成功, 若没答对抽到的题目, 则进入第三关; 第三关, 若该闯关者答对最后这一道题目, 则闯关成功, 若没有答对, 则闯关失败. 已知闯关者洛洛答对甲、乙、丙三题的概率依次是 ,且各关题目能否答对互不影响.
(1) 求洛洛第一关抽中甲题, 且第一关闯关成功的概率;
(2) 求洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功的概率.
22. (12 分)
已知函数 .
(1) 求函数 的最大值;
(2) 设不等式 的解集为 ,若对任意 ,存在 ,使得 ,求实数 的值.洛阳市 2023———2024 学年高一质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题
1. B 2. C 3. D 4. B 5. C 6. A 7. C 8. D
二、选择题
9. AB 10. BD 11. ABD 12. ABD
三、填空题
13. 2
14. 5 15. - 9 16. 20π
5 2 16
四、解答题
17. 解:f(x) = cos(x + π ) + cos(x - π ) + 3 sinx - 1
3 3
= cosxcos π - sinxsin π + cosxcos π + sinxsin π + 3 sinx - 1
3 3 3 3
= cosx + 3 sinx - 1 = 2sin(x + π ) - 1, ……3 分
6
(1)∵ 2kπ - π ≤ x + π ≤ 2kx + π ,k ∈ Z, ……4 分
2 6 2
∴ 2kπ - 2π ≤ x ≤ 2kπ + π ,k ∈ Z,
3 3
所以函数 f(x) 单调递增区间为[2kπ - 2π,2kπ + π ](k ∈ Z) . ……6 分
3 3
(2) 当 x ∈ [0,π] 时,x + π ∈ [ π ,7π], ……7 分
6 6 6
所以当 x + π = 7π,即 x = π 时,函数 f(x) 取得最小值 - 2, ……8 分
6 6
x + π = π , x = π
当 即 时,函数 f(x) 取得最大值 1, ……9 分
6 2 3
所以 f(x) 的值域为[ - 2,1] . 10 分
18. 解:(1) 第一组的频率为 0. 05,第二组的频率为 0. 35,第三组的频率为 0. 30,
第四组的频率为 0. 20,第五组的频率为 0. 10, 1 分
故平均数 x = 77. 5 × 0. 05 + 82. 5 × 0. 35 + 87. 5 × 0. 3 + 92. 5 × 0. 2 + 97. 5 × 0. 1
高一数学答案 第 1 页 (共 5 页) (2024. 7)
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= 87. 25, ……4 分
75 百分位数在第四组,不妨设为 x,
则(x - 90) × 0. 04 = 0. 75 - 0. 05 - 0. 35 - 0. 30, ……5 分
5
解得 x = 90 + = 91. 25,
4
即第 75 百分位数约为 91. 25. ……6 分
(2) 根据题意,第 3 组有 40 × 0. 3 = 12 人,第 4 组有 40 × 0. 2 = 8 人, ……7 分
所以第 3 组选 3 人,分别记为 A,B,C,
第 4 组选 2 人,分别记为 a,b, ……8 分
∴ 样本空间 Ω = {AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共 10 种, ……9 分
设事件 M = “至少一人是‘汉服达人’”,
则 M = {Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共 7 种, ……10 分
因为选中样本空间中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.
……11 分
∴ P(M) = 7
10
7
即至少一人是“汉服达人” 的概率为 . ……12 分
10
19. 解:(1) 若选 ①,
∵ bsin(A + C) + csinC - asinA = 2 3 bsinAsinC,
3
2 3 ∴ bsinB + csinC - asinA = bsinAsinC, ……2 分
3
2 2 2 2 3 由正弦定理得 b +c -a = bcsinA, ……3 分
3
由余弦定理得 b2 +c2 -a2 = 2bccosA, ……4 分
∴ 2 3
bcsinA= 2bccosA,解得 tanA= 3 . ……5 分
3
∵ 0
3
∴ 若选②,
cosA sinA
由正弦定理得 = , ……1 分
cosC 2sinB-sinC
即 sinAcosC= 2sinBcosA-cosAsinC,
高一数学答案 第 2 页 (共 5 页) (2024. 7)
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sinAcosC+cosAsinC= 2sinBcosA, ……3 分
∴ sinB= 2sinBcosA.
∵ B∈(0,π),sinB>0, ∴ cosA= 1 . ……5 分
2
∵ 03
若选③,
由正弦定理得,sinAcosC+ 3 sinAsinC-sinB-sinC= 0, ……1 分
即 sinAcosC+ 3 sinAsinC-sin(A+C) -sinC= 0, ……2 分
∵ C∈(0,π),sinC>0,整理得 3 sinA-cosA= 1, ……3 分
即 sin(A- π )= 1 , ……4 分
6 2
∵ A∈(0,π),A- π ∈( - π ,5π),
6 6 6
∴ A- π = π ,即 A= π . ……6 分
6 6 3
(2)∵ A= π ,
3
1 3 ∴ S= bcsinA= bc= 2 3 ,即 bc= 8. ……8 分
2 4
1
又 S= b·AM·sin π + 1 c·AM·sin π = 2 3 , ……9 分
2 6 2 6
∴ b+c= 12. ……10 分
∴ a2 = b2 +c2 -2bccosA= (b+c) 2 -3bc= 120.
∴ a= 2 30 , ……11 分
∴ △ABC 的周长为 12+2 30 . ……12 分
20. (1)证明:取 BE 中点 O,连接 A1O,则 BE⊥A1O, ……1 分
平面图形中,连接 EC,则四边形 AECB 为平行四边形, ……2 分
Rt△EDC 中,EC= 2,∠CED= 60° ,
∴ 四边形 AECB 为菱形,且∠A= 60°. ……3 分
连接 CO,A1O=CO= 3 ,又 A1C= 6 ,
∴ A1O⊥CO, ……4 分
又 BE∩CO=O, ∴ A1O⊥平面 BCDE, ……5 分
∵ A1O 平面 A1BE,
高一数学答案 第 3 页 (共 5 页) (2024. 7)
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∴ 平面 A1BE⊥平面 BCDE. ……6 分
(2)解: 由(1) A1O⊥平面 BCDE,BC 平面 BCDE,所以 A1O⊥
BC, ……7 分
作 OM⊥BC 于 M,连接 A1M,
因为 A1O∩OM = O,且 A1O,OM 平面 A1OM,所以 BC⊥平面
A1OM, ……8 分
又因为 A1M 平面 A1OM,所以 A1M⊥BC, ……9 分
所以∠A1MO 为二面角 A1—BC—D 的平面角. ……10 分
3 15
在直角△A1MO 中,A1O= 3 ,OM= ,可得 A1M= , ……11 分2 2
3
∴ cos∠A MO= 21 =
5 ,
15 5
2
5
故二面角 A1—BC—D 的余弦值为 . ……12 分5
21. 解:(1)设事件 D= “洛洛第一关抽中甲题,且第一关闯关成功” . ……1 分
1
由题意得洛洛第一关抽到每道题目的概率均为 , ……2 分
3
1 2 2
所以 P(D)= × = . ……4 分
3 3 9
(2)设事件 E= “洛洛第一关闯关成功”,
则 P(E)= 1 × 2 + 1 × 1 + 1 × 1 = 1 . ……6 分
3 3 3 2 3 3 2
设事件 F= “洛洛第二关闯关成功”,
洛洛答题情况如下:
甲题错乙题对,甲题错丙题对,乙题错甲题对,乙题错丙题对,
丙题错甲题对,丙题错乙题对.
P(F)= 1 × 1 ×( 1 × 1 1
所以 + × 1 + 1 × 2 + 1 × 1 + 2 × 2 + 2 × 1 )= 7 .
3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 27
……11 分
设事件 M= “洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功”,事件 E 与事件 F 互斥,
P(M)= P(E) +P(F)= 41.
54
41
故洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功的概率为 . ……12 分
54
22. :(1) f(x)= log x ·log x解 2 2 = (log2x-2)·(log4 2 2
x-1)
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= (log2x) 2 -3log2x+2, …… 2 分
∵ 1≤x≤4.
∴ 0≤log2x≤2, ……3 分
∴ 当 log2x= 0,即 x= 1 时, f(1)= 2,当 log2x= 2,即 x= 4 时, f(4)= 0, ……4 分
∴ 当 x= 1 时, f(x)的最大值为 2. ……5 分
(2)由 f(x)≤0,得 1≤log2x≤2, ……6 分
即 2≤x≤4, ∴ A= [2,4] . ……7 分
设 t= 2x+2-x,则当 x∈[0,1],2x∈[1,2],t∈[2, 5 ],
2
g(x)= 4x+4-x-a·2x-a·2-x+1 = (2x+2-x) 2 -a(2x+2-x) -1 = t2 -at-1,
设 h( t)= t2 -at-1,
由题意,A= [2,4]是当 t∈[2, 5 ]时,函数 h( t)的值域的子集. ……8 分
2
① a
当 ≤2,即 a≤4 时,函数 h( t)在[2, 5 ]上单调递增,则
2 2
ìh(2)= 3-2a≤2,
íh( 5 )= 21 -
5 a≥4,
2 4 2
1
解得 a= . ……9 分
2
② a ≥ 5当 , 5即 a≥5 时,函数 h( t)在[2, ]上单调递减,则
2 2 2
ìh(2)= 3-2a≥4,
íh( 5 )= 21- 5 a≤2,
2 4 2
不等式组无解. ……10 分
③ a 5
当 2< < ,即 42 2 2 2 2
增,
则函数 h( t) 5的最大值是 h(2)与 h( )的较大者.
2
令 h(2)= 3-2a≥4,得 a≤- 1 ,
2
h( 5令 )= 21- 5 a≥4, a≤ 1得 ,
2 4 2 2
均不合题意. ……11 分
, a 1
综上所述 实数 的值为 . ……12 分
2
高一数学答案 第 5 页 (共 5 页) (2024. 7)
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