龙岩市名校2023-2024学年高一下学期期末测评数学试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；
B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；
C．空间三点确定一个平面；
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上 下底面积分别为和，高超过，该圆台上 下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．20cm B．cm C．cm D．30cm
7．已知向量，满足，，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．向量，的夹角是 D．
8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ）
A．数据，，的平均数为6
B．数据，，的方差为9
C．数据的方差为1
D．数据的平均数为5
10．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若是的共轭复数，则
C．若，则
D．若，则取最大值时，
11．已知等腰直角的斜边是斜边上的一点，且满足，若将沿着翻折到位置，得到三棱锥，则（ ）
A．
B．当时，三棱锥的体积为
C．当时，二面角的大小为
D．当时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．则（1） ；（2）的最小值为 ．
13．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 .
14．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
已知，，与的夹角为.
(1)求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分线交于点，且，，求的面积．
17.（本小题15分）
袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．
(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数；
(2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；
(3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．
18.（本小题17分）
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
19.（本小题17分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积.龙岩市名校2023-2024学年高一下学期期末测评数学试卷解析版
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是（ ）
A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；
B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；
C．空间三点确定一个平面；
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
【答案】B
【详解】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误；
对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确；
对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误；
对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误；
故选：B.
2．已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，所以．
故选：D．
3．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设铁球的半径为，有，解得，
则一个铁球的表面积为．
故选：B．
4．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”分别为、、、，
则所有可能结果为，，，，，，，
，，，，共个，
所以所求事件的概率.
故选：D
5．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上 下底面积分别为和，高超过，该圆台上 下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设球的半径为，上 下底面分别为圆（这里上底面是指大的那个底面），
依题意，，解得，
因为，
则，同理可得，，因为圆台的高超过，则该圆台的高为，该圆台的体积为.
故选：B.
6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．20cm B．cm C．cm D．30cm
【答案】D
【详解】依题意圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
7．已知向量，满足，，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．向量，的夹角是 D．
【答案】A
【详解】对于A,设，则，解得，
由于，故或，故A错误，
对于B，，B正确，
对于C，，，故C正确，
对于D，，D正确，
故选：A
8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．若，则
【答案】D
【详解】对于A：若，则可得，两边平方可得，
所以，所以，显然，
所以，所以，故A正确；
对于B：，故B正确
对于C：取的中点，连接，
则可得，
在，易得，所以，
所以，故C正确
对于D：若，，故D错误.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ）
A．数据，，的平均数为6
B．数据，，的方差为9
C．数据的方差为1
D．数据的平均数为5
【答案】BD
【详解】因为样本数据的平均数为2，方差为1，
所以数据，，的平均数为，故A错误；
数据，，的方差为，故B正确；
，，
数据的平均数为，
所以方差为，故C错误；
由，，
得，所以，
所以数据的平均数为，故D正确.
故选：BD.
10．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若是的共轭复数，则
C．若，则
D．若，则取最大值时，
【答案】CD
【详解】对于A：复数的实部为，虚部为，若为纯虚数，则，
故，错误；
对于B：因为，所以，则，错误；
对于C：，则，正确；
对于D：因为，所以，即，
令，则，
因为，所以，所以当时，取到最大值2，
此时，所以，正确.
故选：CD
11．已知等腰直角的斜边是斜边上的一点，且满足，若将沿着翻折到位置，得到三棱锥，则（ ）
A．
B．当时，三棱锥的体积为
C．当时，二面角的大小为
D．当时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【详解】等腰直角的斜边，则，
又是斜边上的一点，且满足，所以是的中点，；
对于A：因为是的中点，所以，
则在三棱锥中，，，
因为，平面，
故平面，平面，故，故A正确；
对于B，当时，，
由于平面，故，故B正确；
对于C，当时，,
则，而，
故，
由于平面，，，故为二面角的平面角，
故当时，二面角的大小为，故C错误；
对于D，当时，，
设的外接圆圆心为，半径为r，则，所以，
因为平面，所以三棱锥的外接球的球心位于过垂直于平面的直线上，
且在过的中点垂直于的平面上，
设球心为，由于平面，则，
故过作的垂线，垂足即为，即三棱锥的外接球的球心，
则四边形为矩形，故，
设棱锥的外接球的半径为，连接，
故，则，
故三棱锥的外接球的表面积为，故D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．则（1） ；（2）的最小值为 ．
【答案】
【详解】，
由正弦定理可得：，
设，
由余弦定理可得，
在中，，可得，
由正弦定理可得，
，，
设，由余弦定理得，
由托勒密定理得，
即，平方得，
设，
，当且仅当且，即时取等号，
的最小值为，即的最小值为.
故答案为：;.
13．已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 .
【答案】
【详解】设海警船的航行方向是北偏东，
由题知，，，
在中，由正弦定理得到，得到，
又，所以，得到，
故答案为：.
14．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】/
【详解】设中点为，外接圆圆心为，球心为，因为，所以，
又是边长为2的正三角形，所以，结合题设有，
所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圆圆心为，
又因为，所以为二面角的平面角，结合已知该角为锐角，
由题意可知，，过，分别作平面，平面的垂线，相交于一点，
由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心，如图所示，
所以，，得到，
又易知，，所以，
所以外接球半径，
所以外接球表面积，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
已知，，与的夹角为.
(1)求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
则，
故.
（2）令，则，
所以，即，解得或，
当与共线时，则，
则时，与不共线，则，
又向量与的夹角为钝角，
则实数的取值范围为.
16.（本小题15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分线交于点，且，，求的面积．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由正弦定理及，得，
所以，
整理，得．
因为，所以，即．
因为，所以．
（2）因为为的平分线，所以，
即，
化简，得，
由，得，
所以
．
17.（本小题15分）
袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．
(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数；
(2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；
(3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．
【答案】(1)4个
(2)
(3)4，5，6，7，8个
【详解】（1）设袋中有红球m个．
设“采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球”，则．
设“摸球两次，至少得到一次白球”．“摸球两次，两次均为红球”．
则，解得，即袋中红球有4个．
（2）设事“摸球三次共取出两个白球”，
则三次摸球可能情况为：“白白红”，“白红白”，“红白白”，
则．
所以摸球三次共取出两个白球的概率为．
（3）设“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”．
由题意知：．
若，则不可能连续两次摸到红球，不合题意．
若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，，
事件F五次摸球依次为“白白白红红”，，，不合题意．
若，则最多第四次就停止摸球，不符合题意．
若，则事件E三次摸球依次为“白红红”，，
事件F五次摸球依次为“白红白红红”或“红白白红红”，
，，符合题意．
若，则事件E：三次摸球依次为“白红红”，，
事件F：五次摸球依次为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”，
，
由得，，
即，解得或．即，5，6，7，
综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个．
18.（本小题17分）
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
【答案】(1)小吃类家，生鲜类家
(2)①中位数为342.9，平均数为352.5；②
【详解】（1），，
所以应抽取小吃类家，生鲜类家；
（2）①根据题意可得，解得，
设中位数为，因为，，
所以，解得，
平均数为：
，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.
②,
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为.
19.（本小题17分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别是，，，
(2)
【详解】（1）因为底面，平面
所以，
因为为长方形，所以，
因为，平面
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，点E是PC的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
由平面PCD，平面PBC，
可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是，，，；
（2）找中点，连接，过做，连接；
因为E，F是PC，DC中点，
所以平面，面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，所以就是面与面所成二面角的平面角；
设，
又因为，
所以，所以，
所以，又，得
所以，解得，
因为，，所以，，；
所以，；
设的外接圆半径为，外接圆圆心为，
则，，
过点作，，垂足分别为，连接，
则，，
又，所以，所以，
设球心为，设，
若球心和点位于平面异侧，
则，
，
四棱锥的外接球的半径为，
，
若球心和点位于平面同侧，则
，
解得（舍去）.
