必修四 1.4.3正切函数图像及性质《学情分析》
1.知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 2心理特征：高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。我校学生基础一般，对知识存在前学后忘的现象，计算、作图是他们的薄弱环节，且学生的归纳、总结能力也有所欠缺，同时在学习时普遍存在畏难心理。但学生已经具有一定的分析问题,解决问题的能力,对函数思想和数形结合思想已经略有了解，在教师的指导下能力目标不难达到。
3．情感方面：
本课的学习对象为高一下学期的学生，他们经过近多半年的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。
问题之一：多数学生的学习方法是，直接记住函数性质，在解题中套用结论，对结论的来源不理解，知其然不知其所以然，应用中不能变通和迁移。而本节的学习方法对后续内容的学习具有指导意义。为了培养学法，充分关注学生的可持续发展，教师要转换角色，站在初学者的位置上，和学生共同探索新知，共同体验数形结合的研究方法，体验周期函数的研究思路； （1）本节要教给学生看图象、找规律、思考提问、交流协作、探索归纳的学习方法。 （2）通过本课的探索过程，培养学生观察、分析、交流、合作、类比、归纳的学习能力及数形结合（看图说话）的意识和能力。
1.4.3正切函数图像及性质 （效果分析）
1．本节课的评测练习，难度一般，针对本班学生学习水平以及接受能力也是考虑到学生刚刚学过新课对知识点还不是很熟悉的前提下而特设的。测试结果为：参加今天听课的有49名学生，其中全对的有26人；做错一题的有10人；做错二题的有13人。
2．存在一些问题分析
（1）、学生掌握基础知识不牢固，没有转化为自己的知识，对刚学过的基本理论不能熟记或者说理解不透。
（2）、计算正确率较低。表现为粗心大意，看错数字或运算符号等。基本的计算能力太差。
（3）、解决问题的能力较差，不能举一反三。
3、教师要加强学习，搞好集体备课加强实践，循序渐进，形成知识体系，才能提高教学质量。教学时注重联系学生的生活实际，注重情景教学，从生活中走进数学，然后再让数学应用于生活。课堂教学中，要保证教学时间，实施分组教学，采用多种方法进行教学尝试。
4、要对学生加强学法指导，在平时教学中和辅导中要给学生科学的学习方法。要加强学困生的辅导转化，是每个学生能学到基本的数学，解决最基本的数学问题，鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，发表自己的看法，教师要及时的肯定他们的点滴进步，对出现的错误要耐心的引导他们分析原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣与信心。
必修四 1.4.3 正切函数图像及性质 《教学设计》
? 建构主义学习理论认为：知识不是从外界搬到记忆中，而是以已有经验为基础，通过与外界的相互作用而获取，通过意义建构的方式而获得。
一．背景分析
三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。但也要让学生明白，系统内部各个子系统有联系也有区别，作为正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特殊地研究其渐近线。在此也向学生进一步说明华老的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。
本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质、体会研究函数方法的课，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备的课．
为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
二．教学目标(内容框架)
知识与技能目标：
1.在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。
2.通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在上的图像，得到正切曲线。
3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。
过程与方法目标：
??? 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
情感态度价值观目标
??? 在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．
?
教学过程及学生活动
设计说明
复
习
旧
知
提问1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？
?????? 角的正切
提问2：角是任意的吗 ?? 引出正切函数的定义域。
提问3：习惯，学生分析量与量之间的关系
正切函数的定义：
，定义域
让学生体会角的正切定义与正切函数之间的关系，为后续课堂做铺垫
正
?
切
?
函
?
数
?
的
?
性
?
质
提问4：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？
学生回答：正弦、余弦函数都有哪些方面的性质。
【教师一一板书学生回答的性质】
?
提问5：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？
1．定义域：
2．值域： R????
【利用课件演示正切线的变化，让学生直观感受】
3．奇偶性：奇函数??
【用反例说明不是偶函数】??
4．? 周期性：最小正周期是????
5．单调性：在整个定义域上既不是增函数也不是减函数．
【举反例：．这与单调性的定义矛盾】
6．对称性
? 利用已有的认知结构，探究未知的问题
类比，是研究问题最重要的方法之一
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
反例在数学中的作用
?
正
?
切
?
函
?
数
?
的
?
图
?
像
提问6：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？
由于正切函数的是最小正周期是的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。选择哪一个长度为的区间呢？可以选择区间；而正切函数又是奇函数，所以只需画出在的图像。
正切曲线
?
?
，且的图象，称“正切曲线”。
利用已知的性质，如何画函数的图像
?
?
?
?
体会函数的性质与图像之间的关系
?
?
观
察
图
像
，
丰
富
性
质
【值域】
当且时， ；当且时， ；
【单调性】
对每一个，在开区间内，函数单调递增．
【对称性】
对称性：，无对称轴。
对称性有几何画板先直观演示，然后给与严格的证明。
【渐近线】
正切函数的图像是被相互平行的直线所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。
? 形与数的结合，更能抓住问题的本质
形
与
数
对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反应，
?
例
题
解
析
例题1求函数 y=tan3x 的定义域和周期
并判断其奇偶性。
例2.比较与的大小
例3 教材44页例题6的定义域.周期.单调区间.
奇偶性.对称中心。
?
?
三、评价设计
本节课从以下几个方面进行评价：
1.评价内容：课堂表现评价、学习效果评价（课堂学习效果评价+作业）、小组合作评价
2.评价方式：自评、同学互评、教师评价相结合；定量评价与定性评价和反思相结合
学生自我评价：是指学生学习过程中对自己的表现给予肯定，也是一种自信心的表露。
同学互评：是指同学间的互相评价。
教师评价：这里是指教师根据学生的综合表现，进行全面的评价，提高学生的自信心和积极性。
课件21张PPT。正切函数的性质和图象 临港一中 高秀娟 1.4.3学习目标：
1、掌握利用正切线画正切函数图象的方法
2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用
3、体会数学思想：数形结合类比思想讨论时，时，时，时，增函数减函数增函数减函数对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：奇函数偶函数温故而知新正切函数定义要使得上式有意义，必须 a≠0；
即角α的终边不能落在 y 轴上。正切的定义2、周期性tan(x+π)=tanx，x∈R，x≠π/2+kπ，k∈Z正切函数是周期函数，周期T= π1、正切函数定义域3、奇偶性tan(-x)=-tanx，x∈R，x≠π/2+kπ ，k∈Z正切函数是奇函数，原点（0，0）是其对称中心一、正切函数的性质例题：求函数 y=tan3x 的定义域和周期
并判断其奇偶性。思考：你能否得出一般性的结论？画出下列各角的正切线： 4、单调性温故而知新（0，π/2）时，角改变时，正切怎样变化？其他区间呢？5、值域正切函数的值域是实数集R.练习：二、正切函数的图象探究，如何通过正切线作出正切函数的图 象？？
1、根据正切函数的定义域和周期，
取 x∈ (-π/2,π/2) ,先画函数y=tanx 在
(-π/2,π/2)一个周期上的图象 。O11-1Oyx-π/2π/22、 把y=tanx，x∈ (-π/2,π/2)图象向左或者
向右平移，每次平移π个单位长度就得到y=tanx
x∈R,且x≠π/2+kπ,k∈Z 的图象。 正切函数的图象叫正切曲线，其特征是：1、被相互平行的直线 x=π/2+kπ,k∈Z
所隔开的无穷多支曲线组成的。正切曲线的简图的画法：“三点两线法”请看在(-π/2,π/2)三点两线在图中的位置。1.正切函数 的性质：定义域：值域：周期性：正切函数是周期函数，
周期是 奇偶性：奇函数单调性：对称性：对称中心是正切函数的性质和图象例6.求函数 的定义域.周期.单调区间.
奇偶性.对称中心。解：原函数要有意义，自变量x应满足即所以，原函数的定义域是所以原函数的周期是2.由解得所以原函数的单调递增区间是应用提升应用提升小结回顾 1.正切线平移------画正切曲线2.正切函数的基本性质和图像课后作业1．书本P45练习，做书上.
2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做练习本上
再 见必修四1.4.3 正切函数图像及性质 《教材分析》
1、教材的地位和作用
本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。
2、教学目标
（一）知识和技能目标：
1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”
2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用．
（二）过程与方法目标：
1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；
2、培养学生类比、归纳的数学思想；
3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。
3.重点、难点与疑点
（一）、教学重点：正切函数的图象和性质。
1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质；
2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=(/2 +k(，k(Z在确定图象形状时所起的关键作用。
（二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用，
（三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数；
必修四1.4.3正切函数图像及性质录课（ 观评记录）
授课教师：高秀娟
学 生：高一年级
课 型：新授课 正切函数图像及性质
时 间：2015-4-22年下午第一节课后
地 点：高一备课室
徐建文主任：优点：1.总体上本节课讲的自然，没有做秀的成份在里面。
2.让学生真正成为学习的主体。整个教学过程，教师尽量引导他们找到解决问题的途径，获得学习体验
3.讲课环节上层层相扣，多媒体运用非常好，基本上算是一节成功的课.
缺点：1. 从老师自身来说，普通话不够清晰。
2. 从教学模式上来看，需让学生更好的自己探究总结，而不能停留在“师问生答”或“集体回答”上。
刘树江主任：优点：1. 本节公开课从学生吸收知识方面，已基本达到目的.
2. 从结构上来说，整体结构比较完整。
3.本节课教师教学设计合理，教学内容难度符合该班学情。
不足方面:
1. 老师包办的太多，啰里啰嗦，学生有点被动学习。
2. 在上课技巧方面，在最后总结部分应需再次强调知识重点。
魏本忠老师：优点：1. 采用了数学中的类比法、观察法等帮助学生去记相关概念。
2. 从教学模式上来说，教师的自主教学很好，但学生的自主学习方面体现的不够强，需继续加强。
3. 这节课采用了从启发式到发现法到探究式的教学方法，达到了预设的效果。依据由图形进一步启发学生研究函数奇、偶性,让学生从图形中发现结论。
缺点： 简化教学过程，让学生自己动脑动手形成知识过程
总 结： 总体上本节课算是完成教学任务示范课。首先高秀娟老师从一开始上课就提出以“类比”的思想方法提出问题，很自然导入新课。在整节课中也是围绕这个思想展开教学的。类比学习让学习变得简单。本节课教学目标明确，各个环节层层相扣。再次，教师运用多媒体教学，直观，形象。课件不但得到充分利用而且学生的主体作用得到了充分的发挥，师生合作比较好。另外，从教学设计方面，学案设计合理，可操作性强，师生互动，学生观察，思考，表达能力得到了训练，反馈及时，训练方式灵活多样，展现了学生的思维过程。
另外它需多方面需要提高，比如从教学模式上来看，需让学生更好的自己探究总结，教法较单一，不能总停留在“师问生答”或“集体回答”上。另有，对学生的评价方法也应多样化一些，尽量多调动学生的积极性。
1.4.3 正切函数图像及性质 （评测练习）
一、选择题
1、函数的定义域是
A． B．
C． D．
2、函数的值域是
A． B． C． D．
3、函数的单调区间是
A． B．
C． D．
4、函数的周期是
A． B． C． D．
5、要得到函数的图象，只须把的图象
A．左移个单位 B．右移个单位 C．左移个单位 D．右移个单位
二、填空题
1、函数图象的对称中心是 ．
2、函数的单调区间是 ．
3、观察正切曲线，满足条件的的取值范围是 ．
4、由小到大排列为
三、解答题
比较大小：
（1）与； （2）与。
求函数的定义域．
必修四 1.4.3 正切函数图像及性质（课后反思）
1. 背景思考
???数学知识是静态的，而数学思维则是动态的.数学思维与数学知识犹如人体的血肉关系。
在本节课中，我时刻通过设置“问题矛盾”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.
总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养.
2. 有效组织教学
三角函数是函数系统中的一个小分支，正切函数是三角函数这个小分支中的一个节点.正切函数的图像和性质“肉体”，类比和数形结合是“神经系统”，如何利用已知研究未知则是“灵魂”.
首先，类比研究正（余）弦函数的思路提出问题，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在思想方法上，数形结合应是对其性质研究的主要途径.
其次，在已有性质的基础上，如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢？学生自然能想到借助图像，那么如何能得到图像呢？引导学生，从而得到画出图像的方法.
?我觉得，教师从系统论的高度把握高中数学教学，目的是使课堂教学更加有效，甚至高效.
3. 站在学生的角度设计问题
教师如果上课只是告诉学生数学结论或机械的方法，不但违背中学数学课堂教学所承载的使命，而且还不能培养学生的思维.
下面以“课堂提问”为例，谈谈本节课如何站在学生的角度组织教学，如何有效搭建知识的生成过程。
? 在本节课一开始，我提出问题：我们如何研究正切函数的性质，从哪些方面进行研究.这一提问能让学生明白我们这节课的主题，学生就会一直围绕这一问题进行思考，思维一直处在自我否定、自我完善的过程.
?? 在研究函数的具体性质时，提出的问题就相对微观，譬如奇偶性、周期性可以从已知的诱导公式得到，值域可以从正切线看出等等，但这些都是在建构已知到未知的知识体系.
比如在如何画出正切函数的图像这一问题上，我一直在引导学生可以从已有的性质入手，由周期性只需画出一个周期内的图像，再由奇偶性只需画出半个周期内的图像
当课堂出现教学冲突，学生对问题的认识出现分歧时，提问能让冲突更加显现，更能揭示问题的本质.
比如，得到正切函数的图像之后，学生会觉得这节课应该到此结束了，这是我提出，我们先前得到的性质还可以再完美些吗？学生这是会恍然大悟，很自然想到可以从单调性、对称性、渐近线等方面“丰满”其性质.
? 数学课堂教学就是通过一系列有一定梯度、有一定内在联系的问题链，由浅入深地引导学生思考，撞击学生的思维，直至揭示问题的本质的过程.
必修四 1.4.3 正切函数图像及性质 (课标分析)
函数是中学数学的重要内容，中学数学对函数的研究大致分成了三个阶段。三角函数是最具代表性的一种基本初等函数。
1.4节是第二章《函数》学习的延伸，也是第一章《三角函数》的核心内容,本节课是在前面已经学习过正、余弦函数的图象、及性质的基础上对又一个具体函数的学习，其知识和方法与前面正弦函数余弦函数类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数图像及性质也是学会已知三角函数求值的关键， 将为后续内容的学习打下基础，有承上启下的作用。
