广东省珠海市斗门区第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

斗门区第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学卷
1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
3．中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．化简所得的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知，，是同一平面内的三个向量，则（ ）
A．若，，则
B．若是非零向量，，则是的充要条件
C．若，，，则可以作为基底
D．若，，两两的夹角相等，且，，，则
7．在中，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．若，，，则有两解
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则为等边三角形
10．把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为 D．图像的一条对称轴为直线
11．如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与异面 B．平面
C．平面平面
D．与平面所成的角的正弦值是
三、填空题
12．若复数为纯虚数，则实数 .
13．在中，，，点在边上，则的最小值为 .
14．已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为 ．
四、解答题
15．已知向量，，向量满足，且.
(1)求的坐标；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16．已知向量．
(1)求的值； (2)求图象的对称轴方程； (3)若，求的值域．
17．记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.
(1)求；(2)若点在边上，且，，求的周长.
18．如图，已知四棱锥的底面ABCD为梯形，，，，，，直线PA与底面ABCD所成角为.
(1)若E为PD上一点且，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.
(1)求曲线段的解析式；
(2)若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
(3)若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.
参考答案
一、单选题
1．C 2．D
3．D【详解】由可知角是锐角，则，
因，故,
由正弦定理，可得，.
4．D 【详解】对A，若，，则或，故A错误；
对B，若，，则或，故B错误；
对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；
对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；
5．B 【详解】
；
6．B【详解】对于A，取，则，，但的方向不能确定，∴不一定成立，故A错误；对于B，若是非零向量，，则，则B正确；对于C，∵，∴共线，∴不可以作为基底，故C错误；对于D，，因为两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，当夹角为时，；当夹角为时，．
7．D 【详解】由余弦定理：，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故面积.
即面积的最大值为.故选：D
8．C 【详解】设，如图所示，因为对任意的实数，都有恒成立，由恒成立，则，
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
二、多选题
9．AD 【详解】对于A选项，若则，则，即，故A选项正确；对于B，因为，，，由正弦定理得，
因为，所以，所以有一解，故B错误．对于C，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若，，分别为单位向量，的角平分线与垂直，
，，，，
三角形为等边三角形，故D正确．
10．AD【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
11．ABD【详解】由展开图还原正方体如下图所示，其中分别为中点，
对于A，平面，平面，，
与为异面直线，A正确；
对于B，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，B正确；
对于C，假设平面平面成立，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，，显然不成立，假设错误，平面与平面不垂直，C错误；
对于D，连接，
直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
平面，即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为，
，
，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.
三、填空题
12．【详解】由题意得，，解得.
13． 【详解】如图，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，设，，
则，，
所以，
因为，所以当时.
14．【详解】设上下底面互相平行的两对角线分别为，则由球O的表面积为可得球O的半径，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故，所以球O的球心正好在中点.故.所以正，故，所以正，故此正四棱台的侧棱长
四、解答题
15．【详解】（1）设，则，
又，且，所以，解得，所以
（2）因为，因为与的夹角为钝角，所以
则，解得且，
所以实数的取值范围为.
16．【详解】（1）因为，
所以
所以；
（2）由，得，所以对称轴方程为；
（3）当时，，所以，
所以，所以，所以的值域为．
17．【详解】（1）由，则，
又，故.
（2）由（1）可知，，又，则；
由题可知，，故，
所以，因为，所以，，
在中，，故的周长为.
18．【详解】（1）连接,设, 如下图所示，因为，，
所以 ，又因为，即 ，
所以 ，因为平面，平面，所以平面
（2）取的中点，连接，如下图所示，因为，，所以是等边三角形，所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，，
所以，所以 ，所以，因为分别是的中点，所以，所以，因为，是的中点，
所以，因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，因为，是的中点，
所以，因为平面，，所以平面，
所以是直线PA与底面ABCD所成角，所以，所以，，因为，所以，由已证可知，，，
所以为二面角的平面角，在中，，在中，
因为，在中，由余弦定理得，.所以二面角的余弦值
19．【详解】（1）由图形易知，，又，则，又，所以，又当时，有，即因为，所以，则，故，所以曲线段的解析式为，.
（2）因为B点离的距离为1.5千米，则设，所以，则，因为，所以，所以，故，
所以，即该学生走过的路BO的长为千米.
（3）依题意，，，在中，，，，则由正弦定理，可得，
故可得，
在中，，
故
，其中，为锐角，
因为，所以，显然当时，休息区域的面积取得最大值，此时.