丰城九中2023-2024学年下学期高一期末考试卷
数学
考试范围：必修二
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列命题一定正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点
3. 已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，其表面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B．28 C． D．14
5．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（ ）
A． B．或 C． D．或
6．若是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．在复平面内，点是原点，若对应的向量为，将绕点按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为
B．虚数满足
C．复数满足，则的最大值为3
D．已知均为实数，是关于的方程的一个解，则
10．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．三棱锥的体积为定值C．在上存在点，使得面 D．的最小值为2
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的值域为
C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是
D．若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．化简 .
13．如图，已知两座山的海拔高度米，米，在BC同一水平面上选一点，测得点的仰角为点的仰角为，以及，则M，N间的距离为 米.（结果保留整数，参考数据）
14. 已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把曲线上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图像．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求函数的值域．
16．（15分）已知分别是三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求.
17．（15分）在等腰梯形中，，，，．
(1)若与垂直，求的值；
(2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
18．（17分）如图，的内角的对边分别为，已知，为线段上一点，且．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求．
19．（17分）如图，四面体中，，，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，，点在上；
①点为中点，求与所成角的余弦值；
②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.
答案第1页，共2页高一数学参考答案
1．D 2．D 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．B
9．BD 10．ABC
11．BC 因为，
所以，
所以的图象不关于点对称，A说法错误；
当时，，由可得，
当时，，由可得，
综上，B说法正确；
当时，由解得，
当时，由解得，
所以方程在上的前7个实根分别为，
所以，C说法正确；
由解得或，
又因为，
所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示，
所以有4个不同的实根，有2个不同的实根，
所以，解得，
设，则，
所以，所以的取值范围是，D说法错误
12． 13． 249 14．
14因为，所以，
所以，，即，，
所以．
当时，．
因为在区间上恰有两个最值，且，
所以，解得．
15．【详解】（1）的图象向左平移个单位长度得的图像，
再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到的图像；
（2）设，由，得，
则，即在区间上的值域为．
16．【详解】（1），
由正弦定理得，，
由得，，即，
所以，又，得；
（2）由（1）知，，
所以，由余弦定理得，
，即，得，
所以，
得，
当时，，此时，
所以为直角三角形，；
当时，，此时，
所以为直角三角形，，则.
综上，或.
17．【详解】（1）过作于 ，
等腰梯形中易知 ，
又，故可得 ，
如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，
故 因为与垂直，所以， 解得；
（2）设，，则，，
则，则，
对，其对称轴，
故其最小值为，所以的最小值为.
18．【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，所以，所以，即，
又，所以，则.
（2）因为，
所以，
所以即
，
解得，当且仅当即、时等号成立.
故，当且仅当即、时等号成立.
所以面积的最大值为．
（3）设，，则，，
在中由正弦定理，即，
在中由正弦定理，即，
所以，
即，
即，
又，则，
即，解得，
即.
19．【详解】（1）∵，为的中点，∴，
在和中，
∴，∴，又为的中点，
∴，又平面，，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面；
（2） ①取的中点，的中点，连接，则，，
∴（或其补角）为与所成的角，
由且，∴是等边三角形，则，
由且，为的中点，
∴在等腰直角中， ，
在中，，所以，即，
又，∴，
在中，由余弦定理得 ，
即，∴，
在中，，由余弦定理得，
在中，，
即，∴，故 ，
在中，，，，
故，
∴与所成角的余弦值为．
②连接，由（1）知，平面，平面，
∴，则，
当时最小，即的面积最小．
∵平面，平面，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面，
过点作于（或交延长线），
∵平面平面，平面，
∴平面，∴（或其补角）为与平面所成的角，
由知，∴ ，
在直角中，，所以，
在直角中，，∴，
在等腰中，，，∴ ，
∴，
∴与平面所成的角的正弦值为．
答案第1页，共2页
