重庆八中 2023——2024 学年度（下）期末考试高二年级
数学试题
一、单项选择题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D C B A D
1.【详解】集合 S ={x | 4 x 1}，T = {x | 1 x 3}，则 S T ={x | 1 x 1}．故选：
B ．
x
2.【详解】根据题意，函数 y = 3e +1， y = 3ex ，当 x = 0 时， y = 3 ，所以函数
y = 3ex +1在点 (0,1+ 3) 处的切线斜率为 ．故选：C ．
3
3 1 3
3.【详解】由题意得 D(X ) = 4 = ，故 D(4X +1) =16D(X ) =12 ． 故选：C ．
4 4 4
4.【详解】任意一个圆O 是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有
1
无数个，故 A 正确；函数 f (x) = tan x ， f (x) = x3 是奇函数，其图象关于原
1
点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则 f (x) = tan x ， f (x) = x3 是该圆的
“太极函数”，故 B,C 正确；函数 y = f (x) 的图象是中心对称图形，则
y = f (x) 是“太极函数”，但函数 y = f (x) 是“太极函数”时，图象不一
定是中心对称图形，如图，故 D 错误．故选： D ．
2 2 2
5【. 详解】将圆C : x + y + 4x 2 = 0 化为 (x + 2) + y2 = 6，圆心C ( 2,0)，半径 r = 6 ，
2
因为 ( 1+ 2) +12 6，所以点 P ( 1,1)在圆C 内，记圆心C 到直线
l 的距离为 d ，则 AB = 2 6 d 2 ，
由图可知，当 d = CP ，即 CP ⊥ l 时， AB 取得最小值，因为
2
CP = ( 1+ 2) +12 = 2 ，
所以 AB 的最小值为 2 6 2 = 4 .故选：C ．
6.【详解】根据题意，设事件 A 为“所报的两个社团中仅有一个是
科技类”，事件 B 为“所报两个社团中有一个是体育类”，
C14 C
1
C1 15
则 P(A) = 5 = ， P(AB) = 4
C2 2 P(AB) 2= ，则 P(B | A) = = ．故选： B ．
C29 9 C
2
9 9 P(A) 5
3
7.【详解】b = log36 与 比大小，
2
3
先比较6 与32 的大小，再比较6
2 与33 的大小. 6
2 33 , b a .
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
3
c = log58与 比大小.
2
3
先比较8与52 的大小，再比较8
2 与53 的大小，8
2 53, c a .即c a b，选 A ．
x ex12 x
x2
1e x ex8.【详解】因为 x x ，所以 x x 0 ，则 a 可化为 11 2 1 2 2 x1e
x2 a (x1 x2 )，
x1 x2
x1
x e a e
x2 a ex a
整理得 x e 1 + ax x
x2
2 2 1e + ax1，因为 x1x2 0，所以 + + ，令 f (x) = + ，
x1 x1 x2 x2 x x
ex (x 1) a
则函数 f ( x)在 1,0)上递减，则 f (x) = 0 在 1,0)上恒成立，所以
x2
ex (x 1) a ) g (x) = ex (x 1) g (x) = ex (x 1)+ ex = xex在 1,0 上恒成立，令 ，则 0在
x
2
1,0)上恒成立，则 g (x) = e (x 1)在 1,0)上递减，所以 g (x) g ( 1) = ，故只
e
2
需满足： a .故选： D .
e
二、选择题:
题号 9 10 11
答案 ABC ACD ACD
9.【详解】对于 A ，二次函数开口向上，所以 a 0 ，此时 g(x) = xa 在 (0,+ )为增函
数，符合；
对于 B ，二次函数开口向下，所以 a 0 ，此时存在 g(x) = xa 与图中符合；
对于C ，二次函数开口向上，所以 aa 0，此时 g(x) = x 在 (0,+ )为增函数，符合；
对于 D ，二次函数开口向上，所以 aa 0，此时 g(x) = x 在 (0,+ )为增函数，不符合．
故选： ABC ．
10.【详解】：由线性回归方程 y = 0.4x + 66中的回归系数 0.4 0，
可知产品的销量与单价成负相关，故 A 正确；
由 y = 0.4x + 66 ， 得 a = 40 + 65 0.4 = 66 ， 则 销 售 额
z = x( 0.4x + 66) = 0.4(x 82.5)2 + 2722.5，
为了获得最大的销售额，单价应定为 82.5 元，故 B 错误；
40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90
由 表 中 数 据 得 x = = 65 ，
6
50 + 44 + 43+ m + 35 + 28 200 + m
y = = ，
6 6
200 + m 200 + m
可得样本点的中心的坐标为 (65, ) ，则该回归直线过点 (65, ) ，代入
6 6
y = 0.4x + 66，得m = 40
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
故C 正确；
将 x = 40，50，60，70，80，90 分别代入线性回归方程 y = 0.4x + 66，
得到的预测值分别为 50，46，42，38，34，30，
由 44 46， 28 30 ，故 (50,44)和 (90,28)在线性回归直线的左下方，满足条件的样
2 1
本点只有 2 个，故所求概率为 P = = ，故 D 正确．故选： ACD ．
6 3
a a +1
11.【详解】当n =1时，由 a 1 21 =1及 S a = 31 = ，解得 2 ，故 A 正确
4
a a +1
因为数列 a nn 的前 项和为 S n n+1n ，且a =1, S = ，即4Sn = a1 n nan+1 +1，当n 2时，
4
可得 4Sn 1 = an 1an +1，
两式相减得 4an = an (an+1 an 1 )，因为 an 0，故an+1 an 1 = 4 ，所以 a1,a3 , ,a2n 1,
a a +1
及 a2 ,a4 , ,a2n , 均为公差为 4 的等差数列：当n =1时，由 a1 =1及 S
1 2
1 = ，解
4
得 a2 = 3，所以 a2n 1 =1+ 4(n 1) = 2(2n 1) 1， a2n = 3+ 4(n 1) = 2(2n) 1，
所以数列 an 的通项公式为 an = 2n 1.故 B 错误
(2n 1)(2n +1) +1
由 B 知 an = 2n 1，可得 S = = n
2
n ，故C 正确；
4
* n
2
因为对于任意 n N , 2
n Sn 成立，所以 n 恒成立， 2
n2 (n +1)2 n2 n2 + 2n +1
设b ，则n = bn+1 bn = = ，
2n 2n+1 2n 2n+1
n =1,2时，bn+1 bn 0,bn bn+1， n 3,n N
* 时，bn+1 bn 0,bn bn+1
9 9
所以b1 b2 b3 b4 b5 ，故 (bn ) = b = ，所以 ， max 3 8 8
9
即实数 的取值范围为 ,+ ，故选： ACD ．
8
三、填空题：
题号 12 13 14
答案 8 1 144;84
12. 【详解】由函数 g(x) = x3 f (x) ，可得 g (x) = 3x2 f (x) + x3 f (x) ，
令 x =1，可得 g (1) = 3 f (1) + f (1) = 8 ．故答案为：8．
13.【详解】因为 a + b = 3，所以 (a +1) + b = 4 ，
1 1 1 1 1
所以 + = ( + )[(a +1) + b]
a +1 b 4 a +1 b
1 b a +1 1 b a +1
= [2 + + ] [2 + 2 ] =1，
4 a +1 b 4 a +1 b
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
b a +1
当且仅当 = ，即 a =1,b = 2
a +1 b
1 1
所以 + 的最小值为1．故答案为：1．
a +1 b
14.【详解】根据题意，要求四个区域 A,B,C,E 中有且只有一组相邻区域同色，
而同色的相邻区域共有 4 种，不妨假设为 A, B 同色，
①若 A, B 同时染黄色，则另外两个区域共有 A24 种染色方法，因此这种情况共有
A24 =12种染色方法；
②若 A, B 同时染的不是黄色，则它们的染色有 4 种，另外两个区域一个必须染黄色，
所以这两个区域共有3 2 = 6，因此这种情况共有 4 6 = 24 种染色方法．
综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为 4 (12 + 24) =144种；
根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，
分 3 种情况讨论：
①、若一共使用了四种颜色，则共有 A44 = 24 种染色方法；
②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一
共有C3 C14 3 2 A
2
2 = 48 种染色方法；
③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所
以共有C24 2 =12 种染色方法．综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数
为 84 种．
故答案为：144;84．
四、解答题：
15．【详解】
（1）设等比数列{an}的公比为 q ， a1q
2 a1q 4 = 0 ， q
2 q 2 = 0，
(q +1)(q 2) = 0， q = 2或 q = 1， an 0， q = 2， an = 2
n ．--------------6 分
（ 2 ） b = 2n + log 2n = 2nn 2 + n ，
S = 21n +1+ 2
2 + 2+ + 2n + n = (2+ 22 + + 2n ) + (1+ 2+ + n)，
2(1 2n ) n(n +1)
S = 2n+1
n(n +1)
S = + ， n 2 +n ．-------------13 分
1 2 2 2
16．【详解】
（1）令 F (x) = af (x) + g (x) = x2 + ax + a 1= (x +1)(x + a 1) = 0 ，解得 x = 1或1 a ，
①当 a 2时， 1 1 a，不等式的解集为 x 1 x 1 a ，②当 a = 2时， 1=1 a，
不等式的解集为 ，③当 a 2时， 1 1 a，不等式的解集为 x 1 a x 1 ．综
上所述： a 2时，不等式的解集为 x 1 x 1 a ； a = 2时，不等式的解集为 ；
a 2时，不等式的解集为 x 1 a x 1 -------5 分
（2）由bf (x1 ) + f (x2 ) = g (x1 ) + b + 8 ，
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
b 2
代入整理得 x = x 2 bx + 6，令G (x) = x2 bx + 6 = (x )2
b
+ 6 ，
2 1 1
2 4
b
①当 1，即b 2时，对任意 x1 [1,2]，G(x ) [7 b，10 2b] [4,5]1 ．
2
b 2,
所以 7 b 4, 此时不等式组无解．
10 2b 5,
b 3 b2
②当1 ，即 2 b 3时，对任意 x1 [1,2]，G(x1) [6 ,10 2b] [4,5]．
2 2 4
2 b 3,
b2 5
所以 6 4, 解得 b 2 2 ．
4 2
10 2b 5,
3 b b2
③当 2 ，即3 b 4 时，对任意 x1 [1,2]，G(x1) [6 ,7 b] [4,5]．
2 2 4
3 b 4,
b2
所以 6 4, 此时不等式组无解．
4
7 b 5,
b
④当 2，即b 4时，对任意 x1 [1,2]，G(x1) [10 2b ， 7 b] [4,5]．
2
b 4,
所以 7 b 5, 此时不等式组无解．
10 2b 4,
5
综上，实数 b 的取值范围是 [ , 2 2]．------------------15 分
2
17．【详解】（1） f (x) 的定义域为 R ， f (x) = (1+ x)ex ，又 ex 0， 当 x 1时，
f (x) 0 ，则 f (x) 单调递减；当 x 1时， f (x) 0 ，则 f (x) 单调递增，即 f (x) 的
单调减区间为 ( , 1) ，单调增区间为 ( 1,+ ) ；又 f (0) = 0 ， x 0 时 f (x) 0 ，
1 1
f ( 1) = ，故 k 0,+ )；-----------6 分
e e
（2）设 g(x) = f (x) + f (1 x) ，
x 1
g (x) = f (x) f (1 x) = (1+ x)ex (2 x)e1 x ，g (x) = (2 + x)e (x 3)e1 x x 2 ，
2
1 1
g (x) 0， g (x)单调递增， g (x) g = 0， g(x) 在 x , 2 上单调递增，
2 2
1
g(x)min = g( ) = e ， a e ，即实数 a 的取值范围为 ( ， e]．----------15 分
2
18．【详解】（1）记事件 S 为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
C21 1
P (S ) = 4 = ------4 分
2 A44 8
（2）记事件 A ：甲同学挑战成功，则事件 A 包含以下几种情况：
①事件 B = “共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则
1 C
1 1 3
P(B) = 3 = ，
2 A33 12
②事件C = “共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则
1 1 1
P(C) = = ，
2 A33 12
1 1 1
③事件 D = “共答对六道”，即答对余下的四道问题， P(D) = = ，
2 A33 12
5
所以 P(A) = P(B) + P(C) + P(D) = ；-----------10 分
12
（3）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为 P1 ， P2 ．
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为 (1 p)2 ，则两人中至少有一人回答
正确的概率为1 (1 p)2 ，所以 P1 = [1 (1 p)
2 ]n = pn (2 p)n ，
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为 pn ，则一个小组闯关不成功的概
率为1 pn ，
所 以 P =1 (1 pn )2 = pn2 (2 p
n ) ， 所 以
P P = pn (2 p)n pn (2 pn1 2 ) = p
n[(2 p)n + pn 2]，
构造 f (n) = (2 p)n + pn 2，则 f (n +1) f (n) = (2 p)n+1 + pn+1 (2 p)n pn
= (2 p)n (1 p) + pn (p 1) = (1 p)[(2 p)n pn ] ， 因 为 0 p 1 ， 则 1 p 0 ，
2 p 1，可得 (2 p)n 1， pn 1，所以 f (n +1) f (n) 0 ，即 f (n +1) f (n) ，所
以 f (n) 单调递增，
f (2) = (2 p)2又因为 + p2 2 = 2p2 4p + 2 = 2( p 1)2 0 ，且 n 10 ，所以 f (n) 0 ，
从而 P1 P2 0 ，即 P1 P2 ，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参
赛．---------------17分
3 x2 y2 1 9
19.【详解】（1）由题意，点 H (1, )在椭圆 + =1上得，可得 + =1 ①，
2 a2 b2 a
2 4b2
1 c 1
又由 e = ，所以 = ②，
2 a 2
由①②联立且 c2 = a2 b2 ，可得 c2 =1， a2 = 4 ，b2 = 3 ，
x2 y2
故椭圆C 的标准方程为 + =1．----------4分
4 3
（ 2 ） (i) 易 知 l : y = x + 7 ， MN = 7 2 ， 设 l : y = x + c ， 联 立 l 与 C 有
7x2
2 2
8cx + 4c2 12 = 0 ， = 64c 28(4c 12) = 0 ，解得 c = 7 （舍负），l 到 l 的
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
7 7
距离 h即为三角形 RMN 在MN 边上高的最小值，h = ，此时三角形 RMN 面积
2
7(7 7 )
的最小值 49 7 7S = = --------10 分 △RMN
2 2
x + x
4 = 1 2 x + x = 4 + 4
(ii)设 AP = PB， A(x1, y1 )
1+
， ( 1 2B x2 , y2 )，则 ，即 ，又
y + y y + y = 3+ 3 3 = 1 2 1 2
1+
x 2 21 y
+
1 =1
x 2 2x 2 y 2 2 4 3 1 2 1 y
2
由 2 2 ， 得 + =1 ， 整 理 得
2 2 2 2
x2 y 4 3+ 2 = 2
4 3
(x1 + y1 ) ( x2 + y2 ) =1 ， 再 代 入 得 x 1 + y1 7 (1+ ) (x 1 + y1 ) =1 ， 即
y1 = 4 + 3 x1
x1 + y1 = 4 + 3 ， 所 以 x2 = 4 + 4 x1 ， 同 理 令 CP = PD ，
y2 = 3+ 3 (4 + 3 x1 ) = x1 1
y3 = 4 + 3 x3
C (x3 , y3 ) ， D (x4 , y4 ) ， 则 x = 4 + 4 x ， 则 A(x1, 4 + 3 x4 3 1 ) ，
y4 = x3 1
1 1 1 1
B (4 + 4 x1 ) , (x1 1) ，C (x3 ,4 + 3 x3 )， D (4 + 4 x3 ) , (x3 1) ，
则直线 AD 的方程为
(4 + 3 x1 x3 +1) x + (4 + 4 x3 x1 ) y
= x1x3 + x1 + (16 +16 4x3 +12 +12 3 x3 4x1 4 x1 + x1x3 ) 同理直线 BC 的
方程为
(4 +3 x3 x1 +1)x + (4+ 4 x1 x3 ) y
= x3x1 + x3 + (16+16 4x1 +12 +12 3 x1 4x3 4 x3 + x3x1 ) 两式相减，
整理得 x + y 1= 0 ，即点Q在定直线 x + y 1= 0 上.------------17 分
{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}重庆八中 2023——2024 学年度（下）期末考试高二年级
数 学 试 题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合 S ={x | 4 x 1}，T = {x | 1 x 3}，则 S T =
A.{0,1,2} B.{x | 1 x 1} C.{x | 4 x 3} D.{x | 1 x 4}
x
2.函数 y = 3e +1的图象在点 (0,1+ 3) 处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
6 4 3 2
1
3.设随机变量 X ~ B(4, ) ，则 D(4X +1) =
4
A. 3 B. 4 C.12 D.13
4.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化、对称
统一的形式美、和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称
为圆O的一个“太极函数”，则下列说法错误的是
A.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B.函数 f (x) = tan x 可以是某个圆的“太极函数”
1
C.函数 f (x) = x3 可以是某个圆的“太极函数”
D. y = f (x) 是“太极函数”的充要条件为“ y = f (x) 的图象是中心对称图形”
2 2
5.过点P ( 1,1)的直线 l与圆C : x + y + 4x 2 = 0 交于 A, B两点，则 AB 的最小值为
A. 2 3 B. 6 C. 4 D. 2
6.已知甲同学从学校的 4 个科技类社团， 3个艺术类社团， 2 个体育类社团中选择报
名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育
类社团的概率
3 2 3 1
A. B. C. D.
5 5 4 2
3
a = ,3b7.已知 = 6,c = log5 8，则
2
A. c a b B. a c b C. a b c D. b c a
x ex1 x ex2
8.若对任意的 x1， x2 [ 1,0)， x1 x2，
2 1 a恒成立，则 a 的最小值为
x1 x2
1 1 2 2
A. B. C. D.
e2 e e2 e
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分.有选错的得 0 分.
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{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
2 a
9.函数 f (x) = ax + 4x +1与 g(x) = x 在同一直角坐标系中的图象可能为
A. B.
C. D.
10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的
价格进行试销，得到如下数据：
单价 x （元） 40 50 60 70 80 90
销量 y （件） 50 44 43 m 35 28
由表中数据，求得线性回归方程为 y = 0.4x + 66，则下列说法正确的是
A.产品的销量与单价成负相关
B.为了获得最大的销售额（销售额 =单价 销量），单价应定为 70元或80 元
C. m = 40
1
D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为
3
a a +1
11.已知各项均不为 0 的数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a1 =1, Sn =
n n+1 ，对于任意
4
n *N , 2n Sn 成立，则下列说法正确的是
A. a2 = 3
B.数列 an 的通项公式为 an = 4n 1
S = n2C. n
9
D.实数 的取值范围为 ,+
8
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知 g(x) = x3 f (x) ，f (x) ，g(x) 的导函数分别为 f (x) ，g (x) ，且 f (1) = f (1) = 2，
则 g (1) = .
1 1
13.已知 a ， b 均为实数且 a 0，b 0 ， a + b = 3，则 + 的最小值为 .
a +1 b
14.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为
黄色）对图中四个区域 A,B,C,E 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使
用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有＿＿＿种；若
不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有＿＿＿种.
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{#{QQABCYAEogigAJJAAAgCQQWYCAEQkBGACagOhBAMMAAAQBNABAA=}#}
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）设数列{an}是各项均为正实数的等比数列，且 a3 a a = 22 = 4， 1 .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn = an + log a n2 n ，求数列{bn}的前 项和 Sn .
2
16.（15 分）已知函数 f (x) = x +1， g (x) = x 1 .
（1）若 a R ，求不等式 af (x) + g (x) 0 的解集；
（2）若 b R ，对 x1 1,2 ， x2 4,5 ，使得 bf (x1 ) + f (x2 ) = g (x1 ) + b + 8 成立，
求 b 的取值范围.
17.（15 分）已知函数 f (x) = xex .
（1）若关于 x 的方程 f (x) = k 有且只有一个实数根，求实数 k 的取值范围；
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（2）若关于 x 的不等式 f (x) + f (1 x) a 对 x [ , 2]恒成立，求实数 a 的取值范围.
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18.（17 分）学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出 2 道判断题 A1, A2 （判断
对错）和 4 道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理 B1, B2 , B3 , B4 和与其相关的
数学家 b1,b2 ,b3 ,b4 ，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关
的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有 4 道或 4 道以上答对，则
该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于 20人，且参赛人数为偶数，参赛
方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的 2n 个人平均分成 n组，每组 2 人，电脑随机分配给同组两个人
一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关
成功.若这 n 个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的 2n 个人平均分成 2 组，每组 n 人，电脑随机分配给同组 n 个人
一道相同试题，各人同时独立答题，若这 n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这
两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.
（1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并
且配对正确两道连线题的概率.
（2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 A1并且配对正确 B1与b1，其余题目只能
随机作答，求甲同学挑战成功的概率.
（3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数
p(0 p 1)，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
x2 y2 3 1
19.（17 分）已知椭圆C : + =1(a b 0)经过点 H 1, ，离心率 e = .
a2 b2 2 2
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设过点 P (4,3)倾斜角为135 的直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于点M , N ，点 R 为椭
圆C 上任意一点，求三角形 RMN 面积的最小值.
（3）如图，过点 P (4,3)作两条直线 AB,CD 分别与椭圆C 相交于点 A,B,C,D ，设直
线 AD 和 BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.
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