2023—2024年度高一年级下学期期末考试
数学参考答案
1.D ===-1+2i,故该复数的虚部为2.
2.C 因为|a|=2,|b|=3,a·b=0,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=25,所以|2a-b|=5.
3.B 因为a2-b2=c2-2bccosA=c2+bc=5bc,所以c=4b,所以=4.
4.A 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,
基本事件总数为6,选中的花中没有红色的花的基本事件个数为3,
所以选中的花中没有红色的花的概率P==.
5.B f(x)=2sin2x+sin 2x-1=1-cos 2x+sin 2x-1=2sin 2x-cos 2x=2sin2x-,由2x-=kπ+(k∈Z),取k=-1,0,1,得x=-,x=,x=.
6.A
如图,过点A作AM⊥BC于点M,连接C1M,AC1.
在直三棱柱ABC -A1B1C1中,因为B1B⊥AM,BC∩BB1=B,
所以AM⊥平面BB1C1C,故AC1在平面BB1C1C上的射影为MC1,
所以∠AC1M为直线AC1与平面BB1C1C所成的角.
设AB=AC=AA1=a,
又∠BAC=60°,所以AM=a,AC1=a,故sin∠AC1M==.
7.A 1根算筹只能表示1;2根算筹可以表示2和6;3根算筹可以表示3和7;4根算筹可以表示4和8;5根算筹可以表示5和9.
∴5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,63,67,32,72,36,76,共12个,其中32,72,36,76,共4个数可以被4整除,∴所求的概率P==.
8.A 设点A到平面SBC距离为h,由h0+h2=2h1,知VP -SAB+VP -SCA=2VP -SBC,VP -SBC=VA -SBC,h1=h,则P点在过△ABC的重心与BC平行且在△ABC内的线段DE上,D,E分别为边AC,AB靠近C,B的三等分点,故点P到平面SAB的距离的最大值为×=.
9.BC 若向量,共线,只需两个向量方向相同或相反即可,则A,B,C,D不必在同一直线上,故A项错误;由向量线性运算性质知++=+=0,故B项正确;由平面向量中三角形重心的性质,可得C项正确;由于向量间无法比较大小,故D项错误.
10.ABC 在正方体ABCD -A1B1C1D1中,BD∥B1D1,又B1D1 平面CB1D1,BD 平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A项正确;
连接A1C1,C1D,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,B1D1⊥A1C1,DC1⊥CD1,AD⊥平面C1D1DC,AA1⊥平面A1B1C1D1,因为CD1 平面C1D1DC,B1D1 平面A1B1C1D1,
所以CD1⊥AD,AA1⊥B1D1,又DC1∩AD=D,DC1 平面AC1D,AD 平面AC1D,所以CD1⊥平面AC1D,因此CD1⊥AC1,同理,B1D1⊥AC1,
又CD1∩B1D1=D1,CD1 平面CB1D1,B1D1 平面CB1D1,所以AC1⊥平面CB1D1,故B项正确;
因为B1D1∥BD,所以∠CB1D1等于异面直线CB1与BD所成的角,又CB1=B1D1=CD1==2,即△CB1D1为等边三角形,所以异面直线CB1与BD所成的角为60°,故C项正确;
三棱锥D -CB1D1的体积==·B1C1=××2×2×2=,故D项不正确.
11.BCD 先后抛掷一枚骰子两次,得到基本事件总数有36种.对于选项A,满足a+b=6 的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种,故概率为;对于选项B,满足a>2b的有(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(5,2),(6,2),共6种,故概率为;对于选项C,满足loa>b,即a>2b 的有(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(5,2),(6,2),共6种,故概率为;对于选项D,方程ax2+bx+3=0有实数解,则Δ=b2-12a≥0,即b2≥12a,符合题意的有(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,6),共6种,故概率为.
12.1 因为b=(-,1),所以|b|=2,因为|a|=1,所以|a+b|≥|b|-|a|=1,当且仅当a与b反向时取等号,所以|a+b|的最小值为1.
13.38
如图,设H为上底面的中心,O为下底面的中心.
由题意可得DE=4,BC=6,所以DH=DE=4,
BO=BC=6,
故△ABC的中心O即为球心,所以OH===2.
又S△ABC=BC2=27,S△DEF=DE2=12,
所以该三棱台的体积为(S△ABC++S△DEF)·OH=38.
14.3
不妨设AF=1,则AD=3,如图,由题可知∠ADB=.
由AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
得AB=,所以AC=,所以B(,0),C,,A(0,0).
又=,所以sin∠BAD=,所以cos∠BAD=,
所以D(ADcos∠BAD,ADsin∠BAD),即D,.
所以=,,=(,0),=,,
因为=λ+μ,所以
解得所以==3.
15.解:(1)因为asin C=(b-acos C),
所以sin Asin C=(sin B-sin Acos C),
所以sin Asin C=cos Asin C,
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
所以tan A=.
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=,
所以()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc, ①
又因为b+c=2,将其与①联立,解得bc=3,
所以所以b=c=,于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形.
所以△ABC的面积为×()2=.
16.解:(1)证明:由于底面ABCD是直角梯形且CD⊥BC,所以由AB∥CD得BC⊥AB,因为PA⊥底面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥BC,而PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.又因为BC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB.
(2) 由(1)知BC⊥平面PAB,PB 平面PAB,所以BC⊥PB,又因为BC⊥AB,所以∠PBA是二面角A -BC -P的平面角.由AB=AD=2CD得∠BAD=,所以在梯形ABCD中,由BC=可得AB=2,所以在直角△PAB中,tan∠PBA===,所以∠PBA=,即二面角A -BC -P的大小为.
17.解:(1)由题意得f(x)=sin 2x-cos 2x=sin2x-,
又-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤+kπ(k∈Z),令k=0,得-≤x≤,所以f(x)在0,上的单调递增区间是0,.
(2)因为f(C)=sin2C-=0,所以2C-=kπ(k∈Z),
得C=+,又C是锐角,所以C=.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得4+ab=a2+b2≥2ab,
所以ab≤4(2+),当且仅当a=b时,等号成立.所以S△ABC=absin C=ab≤2+,
故△ABC的面积的最大值为2+.
18.解:(1)甲袋子中2个红球分别用A,B表示,白球用C表示,乙袋子中红球用D表示,2个白球分别用E,F表示.从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种,从中选出的2个球的颜色相同的有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,故选出的2个球的颜色相同的概率P=.
(2)从6个球中任选2个球的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种,从中选出2个球来自同一袋子的结果有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种,所以选出的2个球来自同一袋子的概率P==.
19.解:(1)f(x)=2sinx+=2sin xcos+2cos xsin=sin x+cos x,
所以=(1,).
(2)(i)由于函数h(x)的“源向量”为=(0,1),
所以h(x)=cos x,又h(A)=,所以cos A=,A∈(0,π),所以sin A=.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即64=b2+c2-bc=(b+c)2-bc,
由基本不等式得bc=(b+c)2-64≤(b+c)2,
所以(b+c)2≤64,即(b+c)2≤320,
所以b+c≤=8,当且仅当b=c=4时,等号成立.
所以a+b+c≤8+8,所以△ABC周长的最大值为8+8.
(ii)|+|-·=-·=-bc,又64=b2+c2-bc,所以b2+c2+bc=64+bc,
所以|+|-·=-bc=2-bc.
因为64=b2+c2-bc≥bc,所以bc≤80,当且仅当b=c=4时,等号成立,
又当点A无限接近点C时,b无限接近0,即bc无限接近0,
故0令t=,则bc=t2-16,4所以|+|-·=2-bc=2t-(t2-16)=-t2+2t+16∈[-32,8),即|+|-·的取值范围为[-32,8).2023一2024年度高一年级下学期期未考试
数学试题
(120分钟150分)
考试范围：必修第一册20%，必修第二册80%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.复数+的虚部为
A.-i
B.-1
C.2i
D.2
2.已知向量a,b满足a=2,|b=3,a·b=0,则|2a一b=
A.√13
B.√5
C.5
D.4
3在△ABC中，内角A,BC所对的边分别为a,bc,且a2-=5k,A-则曾合
sin B
封
A.2
B.4
C.6
D.8
4.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的
花中没有红色的花的概率为
A号
B号
c昌
n品
5.函数f(x)=2sinx十√3sin2x-1,则下列直线不是f(x)图象的一条对称轴的为
线
A.x=
6
B.-2
C.=5
6
D.x-5
6.已知在直三棱柱ABC-A1BC1中，AB=AC=AA1,∠BAC=60°，则直线AC:与平
面BCC1B,所成角的正弦值为
A要
B③
4
D.3
·1·
7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进
制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的
小木棍.下图是利用算筹表示数1一9的一种方法，例如：3可表示为“≡”，26可表示
为“=⊥”.现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则从用1~9这9个数字
表示的所有两位数中抽取一个数，该数能被4整除的概率是
一=1
123456789
B.2
c号
D.i2
8.已知正四面体S-ABC的棱长为1，动点P在△ABC内（含边界），设点P到平面
SAB的距离为h,点P到平面SBC的距离为h1,点P到平面SCA的距离为h2.若
h。+h2=2h1,则ho的最大值是
436
9
c
D23
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列命题正确的是
A.若向量AB,C方共线，则A,B,C,D必在同一条直线上
B.若A,B,C为平面内任意三点，则AB+BC十CA=0
C.若点G为△ABC的重心，则GA十G范十GC=0
D.若向量AB,C心满足AB|>1CD1,且AB,C充方向相同，则A>C市
10.如图，正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2，则
A.BD∥平面CB1D1
D
B.AC⊥平面CB1D1
C.异面直线CB1与BD所成的角为60°
D.三棱锥D-CB,D,的体积为号
海·2·
