向量加法运算及其几何意义
------------效果分析
《向量加法运算及其几何意义》这节课课堂气氛活跃充分调动了学生积极性，更新教育观念是走进学生心灵的一堂数学课，在数学教学中灵活运用不同的教育方法培养学生的自主创新能力，引导学生去发现问题，探索问题，解决问题，在课堂上，有意识的多让学生思考并一起交流思路，对能提出好的方法的学生给予及时的表扬，并全班一起分享，对思路不正确的地方给予指出，这一节课大家都能得到不同程度的提高，让学生亲自体验学习过程，通过观察、猜想、验证、推理等方式自由的探究问题，师生互动，将兴趣娱乐融为一体，让学生真正体验到了参与教学活动的乐趣。本节课，以教学内容为依据，突出核心知识，层层深入，展开联想，培养了学生求异创新的思维能力。
一、教材分析
《向量的加法运算及其几何意义》选自人教版《必修4》第2.2.1节，内容包括向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用。向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性，向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践。
二、学生学情
1、高中学生思维活跃，参与积极性高，已初步形成了对数学问题的合作探究能力。我在设计中注意充分发挥学生自主学习能力，引导学生合作探究知识的形成过程。
2、学生对实数的运算性质非常熟悉，类比实数的运算，向量也应能够运算，只有引入运算，才能充分发挥向量的工具作用。
三、教学目标
知识目标： 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算
能力目标： 体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识
情感目标： 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心
学习重点： 向量加法的两个法则及其应用
学习难点： 对向量加法定义的理解
为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下策略：
（1）、创设情境，引发学生认知冲突，激发学生求知欲，使学生对向量加法有一定的感性认识。
（2）、从学生已有知识出发，精心设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作探究中经历知识的形成；通过层层深入的例习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“悟”，再到“通”。
三、教法、学法分析
1、教法分析
本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。
2、学法指导
引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；
引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;
引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。
四、教学设计
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：
复习引入 探究 精讲点拨 跟踪练习 归纳提升 作业布置
环节一 复习引入
1、向量的定义、表示方法；
2、向量相等概念；
3、平行向量的概念。
【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点。
环节二 探究
多媒体演示实例，学生参与活动并进行探究：
某同学从座位（看作点A）起身，走到特定位置（看作点B）取三角板，送到讲台（看作点C），请问这两次位移之和可用那向量表示？
力的合成演示
【设计意图】从学生熟悉的物理知识问题入手，位移的合成体现了“首尾相接”的两个向量如何相加；力的合成体现了共起点的两个向量如何相加。学生在具体、直观的问题中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破难点奠定基础。
问题1：对于任意的向量a和b,如何定义向量的加法a+b？
让学生任意作出两个向量a和b,自主探究，学生在思考讨论后由学生回答，讨论探究成果
【设计意图】把探究新知的权利交给学生，为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来。而且在探究交流的过程中学生对向量的认识逐步由感性上升到理性，顺利得出向量求和法则，解决了重点学习内容。
向量求和的法则：（比对演示）
三角形法则
平行四边形法则
图形表示
语言表述
已知向量a和b，在平面内任取一点A，作=a, =b,则向量叫做向量a和b的和（或和向量）
已知两个不共线向量a和b，在平面内任取一点A，作=a, =b,则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量叫做向量a和b的和
符号表述
a+b=+=
首尾相接
a+b=+=
共起点
【设计意图】既帮助学生理解定义，又渗透了数形结合、分类讨论思想，且使学生进一步熟悉两个向量的和向量的几何作图技能。
问题2：两个向量的和仍为一个向量，那么和向量a+b的方向与a,b的方向有何关系？
【设计意图】在强调新知识的同时，引导学生及时与旧知识进行比对，使学生体会“向量和”与“数量和”的区别，对向量加法运算的认识更加深入。
问题3：两种方法做出的结果一样吗?
问题4：它们之间有联系吗?
【设计意图】强调说明：对于两个不共线向量，这两个法则是统一的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半。其中
环节三 精讲点拨
例1、根据图中所给向量a、b、c，画出下列向a+b
【设计意图】既做了向量加法的练习，又为后面模的性质的引出做了铺垫。
环节四 跟踪练习
跟踪练习：课本课本84页练习1.（1）（2）、2
如图，已知向量a、b，用向量的加法法则作出a+b
(1) (2)
问题5：
【设计意图】学生自主探究，完善知识体系。
跟踪练习：课本课本84页练习1.（3）（4）、
如图，已知向量a、b，用向量的加法法则作出a+b。
(3) (4)
【设计意图】使学生对新知识巩固，增强学生的灵活应用的能力
问题6：|a+b|与|a|，|b|有何关系？
问题7：|a-b|与|a|，|b|有何关系？
【设计意图】引导学生从例题自主归纳、总结它们的关系。
跟踪练习：
【设计意图】使学生对新知识巩固，增强学生的灵活应用的能力
【设计意图】通过练习使学生发现并探究向量加法的运算律，起到承上启下作用
问题8：数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?
【设计意图】通过类比的方法，学习向量加法的运算律，学生容易接受并且可以
灵活运用。
例2.化简
【设计意图】使学生对新知识巩固，增强学生的灵活应用的能力
例3: 一只船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向
【设计意图】使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决实际问题中的作用，增强应用意识。
变式训练（一） 一只船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 ,求水流速度的大小及船实际速度的大小？
【设计意图】一题多变，使学生灵活使用向量，并加强向量在解决实际问题中的作用,并且与物理中的知识相接轨。
变式训练（二）
一只船从 A点出发能以 的速度垂直向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度，向东流,求船的航向及速度大小。
【设计意图】巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价，也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学
环节五 归纳提升
【设计意图】学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理。
环节六 作业布置
1、书面作业P91 、4
2、课外拓展：
（1）用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）O为三角形ABC内一点，若++=0，则O是三角形ABC的（ ）
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
五、板书设计
向量的加法运算及其几何意义
跟踪练习:
(学生板书)
例1:
一、向量的加法：
（1）三角形法则
（2）平行四边形法则
二、模的性质
三、运算律
跟踪练习:
(学生板书)
课件26张PPT。人教版 数学 必修42.2.1平面向量加法及其几何意义山东省莒南第一中学 尉世英如果没有运算，向量只是一个“路标”。
因为有了运算，向量的力量无限。 复习回顾 思考：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ 位移的合成可看作是向量的加法。知识引入 1、位移：EOOE2、力的合成：
橡皮筋在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.橡皮筋在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.F1+F2=FF为F1与F2的合力知识引入EOOE橡皮筋在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.同时橡皮筋在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.F1+F2=FF为F1与F2为邻边所形成
平行四边形的对角 线力的合成可看作向量的加法知识引入向量的加法：知识新授
（1）两个向量可以相加其结果还是一个向量.
（2）一般地，求两个向量和的运算，叫
做向量的加法.三 角 形 法 则:平行四边形法则:2.它们之间有联系吗?1.两种方法做出的结果一样吗?向量加法的法则如何作出向量a+ b.（首尾相接）（共起点）法1：位移法2：力的合成bbaa三 角 形 法 则:平行四边形法则:向量加法的法则实际上：对于两个不共线向量，这两个法则是统一的
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作
出图形的一半作法:（1）在平面内任取一点1、已知 、 ，求作（1）知识巩固（2）跟踪练习：课本84页练习1.（2）、2（2）深入探究三 角 形 法 则2、已知向量 、 ，求向量（2）（1）知识巩固跟踪练习：课本84页练习1.（3）（4）3、根据图中给出的向量 、、 ，
画出下列向量深入探究深入探究向量加法的运算律：例2.化简深入探究深入探究14, 2知识巩固例3:如图，一只船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向分析：船实际行驶的速度 是向量 与向量 的和向量答:船实际行驶速度的大小为4km/h,
方向是东偏北 解：如图，一只船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 ,求水流速度的大小及船实际速度的大小？例题 变式（一）例题 变式（二）课堂小结作业布置 本节课到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！作业：课本91页习题 2.2A组第4题
学案完成132页至133页录制时间：2015年4月录制单位：山东省莒南第一中学平面向量加法及其几何意义-----评课记录
“平面向量”进人高中课程已经有好几年了,在执行新课标、实施新课改的过程中,这一节课的教学是对教师一次严峻的挑战,也是一次显示对教学新观念的认识程度和展示教学机智、才华的良机.这节课的内容看起来比较简单,但实质上并非如此,其中含有极为丰富的教学资源,能否深入挖掘,下面我们备课组从下面几个方面谈谈看法:
设计思想方面
1.体现数学教学是数学活动的教学 新课一开始，尉老师采用了类比的方法从对物理中位移,力的合成等的回顾设计,拉动了学生参与数学活动的教学。在课例的讲析过程中，学生不仅有演板计算、作图的行为参与、还有认知、情感和思维的参与。这是尉老师对高一学生思维发展的准确定位，同时也清醒认识高一学生认知基础的体现，从而知识衔接连贯和课堂学习有效进行。 2.经过“向量几何意义 ”的生成过程 从运用学生已有的知识物理中位移,力的合成等物理模型出发运用类比教学方法，讲解作图向量的几何意义，课程的创生和开发的过程。尉老师通过学生动手实践、观察探究，积累数学活动经验、经历数学再发现的过程，从而激发学生的学习兴趣、体验协作学习交流的教学设计是值得我们学习的。
二．教材处理方面 1. 重视“向量加法”概念生成的层面 从复习向量的一些概念出发，与物理模型进行对比性教学，从易到难便于学生认知和情感参与的升华，在运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则中重点强调的首尾相连,共起点等渗透到数形结合的数学思想中。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。 我认为尉老师在总结作图方法时让学生进行自我评价，即适合了高一学生的思维过程特点，也准确估计了学生的兴趣起点。 2. 明确的教学重点和难点 （1）重点难点的确定 课题的教学内容和教学性质决定了把“运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则的应用”作为教学重点，如何落实这个重点呢？尉老师建立了新知识与原有知识之间的联系，两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。 （2）突出重点、突破难点 首先在突出教学重点方面通过类比物理中位移,力的合成的教学方法来落实，其次，在例题训练中又对概念进行了多角度、深层次的理解，重点强调的首尾相连,共起点总结向量加法的三角形法则,平行四边形法则的要领，在教学设计上有层次的推进。尉老师的课例讲评不仅重视课堂教学的反馈，同时还重视例题完成情况的过程评价体现。
教学方法方面
本节采用以下教学方法：1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。
四.数学思想的体现 1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。
2、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。
3、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而平行四边形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。
总之，听完课后，必须评课，还要评得深入，评得彻底，这是我们数学教研组组的作风。听课者是带着问题去思考，去查阅资料。听课者比上课者并不轻松。只有听课者不轻松了，才能品出课的味道，才能评出课的水平。我深深地感受到这种听课、评课活动的开展，非常有助于教师自身的专业化成长，为教师的成长建立了一个很好的交流、学习的平台。通过听课和评课，不仅培育我们求真求实、精益求精的评课精神，而且也鼓励教师对教育事业的执着追求，同时要唤醒教师深藏于心的研究意识，体验到教师职业的专业要求和技术含量，品尝到从事教师工作基于不断创新而涌动出来的职业幸福。
莒南一中
数学教研组
2015年4月
向量加法运算及其几何意义测评练习
1．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
2．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A. B.
C. D.
3．向量a、b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
4．对任意向量a、b，在下式中：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a| ＋|b|；④|a＋b|≤|a|＋|b|，恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为( )
A．0 B.
C．3 D．2
6．若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为__________，最小值为__________．
7．当非零向量a，b满足__________时，a＋b平分a与b的夹角．
8．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则
(1)a＋b＋c表示向________走了________km；
(2)b＋c＋d表示向________走了________km；
(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
9．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
10.如右图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝.
求证：＋＝＋.
备选习题
1.在Rt△ABC中，若∠A＝90°，||＝2，||＝3，则＋的模等于( )
A. B．2
C．3 D．5
2．已知下列各式：
①＋＋；
②(＋)＋＋；
③＋＋＋；
④＋＋＋.
其中结果为0的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4.已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|等于________．
5．如图，在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.
测评练习答案详解
1．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
解析：由向量的平行四边形法则知，ABCD一定是平行四边形．
答案：D
2．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝，故选C.
答案：C
3．向量a、b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
解析：向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错．
答案：B
4．对任意向量a、b，在下式中：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a|＋|b|；④|a＋b|≤|a|＋|b|，恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：因为向量加法满足交换律，结合律，所以①，②恒成立，|a＋b|＝|a|＋|b|仅有a与b同向时成立，所以③不恒成立．由向量模的几何定义知④恒成立．故选C.
答案：C
5．正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为( )
A．0 B.
C．3 D．2
解析：|a＋b＋c|＝|2c|＝2|c|＝2.应选D.
答案：D
6．若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为__________，最小值为__________．
解析：当a与b同向时，|a＋b|有最大值|a|＋|b|＝5.
当a与b反向时，|a＋b|有最小值|b|－|a|＝1.
答案：5，1
7．当非零向量a，b满足__________时，a＋b平分a与b的夹角．
解析：当以a，b为邻边的平行四边形为菱形时，a＋b平分a与b的夹角，所以应填|a|＝|b|.
答案：|a|＝|b|
8．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则
(1)a＋b＋c表示向________走了________km；
(2)b＋c＋d表示向________走了________km；
(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：(1)如图所示，a＋b＋c
表示向南走了2 km.
(2)如图(2)所示，b＋c＋d表示向西走了2 km.
(3)如图(1)所示，|a＋b|＝＝2，a＋b的方向是东南．
答案：(1)南 2 km (2)西 2 km (3)2 东南
9．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋
(2)＋
(3)＋
解析：
(1)如图，由正六边形的性质知，OABC为平行四边形，
∴＋＝
(2)由图知，＝＝＝
∴＋＝＋＝
(3)∵＝，＝
∴＋
＝＋＝＋＝0
10.
如右图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝
求证：＋＝＋
证明：由图可知＝＋
＝＋
∴＋＝＋＋＋
∵＝
又与模相等，方向相反，
故＋＝＋＝0
∴＋＝＋
备选习题答案详解
1.在Rt△ABC中，若∠A＝90°，||＝2，||＝3，则＋的模等于( )
A. B．2
C．3 D．5
解析：由题意知|＋|＝＝＝，应选A.
答案：A
2．已知下列各式：
①＋＋；
②(＋)＋＋；
③＋＋＋；
④＋＋＋.
其中结果为0的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①＋＋＝＋＝0.
②(＋)＋＋＝＋＋＝＋＝≠0.
③＋＋＋＝＋≠0.
④＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
其中结果为0的有两个．
答案：B
3．①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不正确，当a＋b＝0时，不成立．②正确，③不正确．当A、B、C共线时，不成立．④不正确．因为|a＋b|≤|a|＋|b|.应选B.
答案：B
4．已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|等于________．
解析：|＋＋＋|＝|2|＝2.
答案：2
5．如图，在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.
解：如下图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有
＝＋＝a＋b.
∴＝2＝2a＋2b.
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.
而＝＝＝a＋b，
由三角形法则得：
＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
-------------------课后构思与反思
设计构想，本节备课时不但想怎么教，我更多是想怎么学。所以一开始就抛出问题，一方面了解学生情况，另一方面告知本节的知识目标，三是紧接着引出问题体现生活中的数学，最后更是用来检验学习结果。过程，整个过程都围绕问题这个数学的心脏步步展开，问题都是有浅入深，甚至有学生自己跳进问题又解决问题，不断品尝成功喜悦，满怀兴趣不知不觉地学习数学。
形式上，黑板与多媒体结合有效防止视觉疲劳，必要的板书和示范是必不可少的。动手与思考结合形成主动学习主动接受，老师给予与书本探究结合有利于课后复习和作业.
教学方法采用支架式，像三角形法则和平行四边形法则我都是搭建一个手脚架让学生去发现，而在向量运算律的探究上，教师可以放手让学生自己去推理验证，大部分学生能运用三角形法则解决它,可能在“提问—猜想—验证”的过程中花了大量的时间，但得到的效果和回报，应该是显然的，除了教会学生认识事物的一般方法，锻炼了学生自主探究的能力外，更即时的效果是巩固了三角形法则的运用，同时为后面“多边形法则”、“平行四边形法则”，进行了有效铺垫，更重要的是，让学生对向量“数形结合”这一特点有了进一步的感知，可以说是一举多得。
培养目标明确，除了学习生活物理中的数学外，还参透培养演绎思维，划归转化思想。对练习扩展到n个向量的情形发挥优秀生的潜力，让大家学有余兴。例题的变式有利于真正的理解向量的本质，对本节课的学习起到很好的巩固！数学大师波利亚也说过“题目变形求解能很好地培养数学思维和解题能力”。
对向量本质的理解：向量类似于“数”， 它可以进行运算，并且满足某些运算律，具有“代数”的特征；另一方面又看到向量有“形”，它可以用有向线段表示，向量的运算可以采用画图的方法，具有“几何”的形态。由于向量的这些特点，它能为几何证明提供新的途径。
对于“向量”这部分内容的教学，我认为是“难教”的，因为“两新”，一新：对教师而言，教材内容首次引入初中教材，教师的教学思路和观念要更新；二新：对学生而言，向量的运算虽然能类比实数的运算引入，但它的实质和数的运算又是截然不同的，必然会对学生原有的认知结构产生很大的冲突，使得学生在理解、掌握上产生困惑。因此我在教学时，要站在学生的角度上去学习和理解这部分的知识，充分考虑可能的障碍，以获得良好的教学效率和效果。
学生的动手能力不强，不愿意实际动手于向量的画图，总是觉得看看就算了，部分简单的题目是可以看清楚的，但是有些题目就需要动手去感应向量的方向和大小两个要素。对解决问题的一些方法和规律，没有主动认真的去了解，听课的时候，似乎听懂的，而落实到实际考试中，就错误出现了。采取措施：从学习方面看，要针对学生，针对每一节课的内容，去适当安排教学计划和内容。在引导学生学习方面，尝试引导学生开展研究性学习。
本节课固然收获颇多，但也存在一定的思考：“老师的启发往往是把双刃剑，在帮助学生突破思维障碍的同时也伤及了学生思维的触角”。我想，随着学习方式的改变，有很多方法等待我们去探索。
总之，数学的课堂教学应该是一个“以知识教学为基点，以能力培养为核心，以个情素养为肯絮”的三维结构。通过这节课教学我认识到理解和把握教材的重要性，同时我也真切的体会到在教学过程中教师是组织者，合作者，引导者的含义。
向量加法运算及其几何意义
------------效果分析
《向量加法运算及其几何意义》这节课课堂气氛活跃充分调动了学生积极性，更新教育观念是走进学生心灵的一堂数学课，在数学教学中灵活运用不同的教育方法培养学生的自主创新能力，引导学生去发现问题，探索问题，解决问题，在课堂上，有意识的多让学生思考并一起交流思路，对能提出好的方法的学生给予及时的表扬，并全班一起分享，对思路不正确的地方给予指出，这一节课大家都能得到不同程度的提高，让学生亲自体验学习过程，通过观察、猜想、验证、推理等方式自由的探究问题，师生互动，将兴趣娱乐融为一体，让学生真正体验到了参与教学活动的乐趣。本节课，以教学内容为依据，突出核心知识，层层深入，展开联想，培养了学生求异创新的思维能力。
一、教材分析
《向量的加法运算及其几何意义》选自人教版《必修4》第2.2.1节，内容包括向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用。向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性，向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践。
二、学生学情
1、高中学生思维活跃，参与积极性高，已初步形成了对数学问题的合作探究能力。我在设计中注意充分发挥学生自主学习能力，引导学生合作探究知识的形成过程。
2、学生对实数的运算性质非常熟悉，类比实数的运算，向量也应能够运算，只有引入运算，才能充分发挥向量的工具作用。
三、教学目标
知识目标： 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算
能力目标： 体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识
情感目标： 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心
学习重点： 向量加法的两个法则及其应用
学习难点： 对向量加法定义的理解
为了突出重点、突破难点，在教学中采取以下策略：
（1）、创设情境，引发学生认知冲突，激发学生求知欲，使学生对向量加法有一定的感性认识。
（2）、从学生已有知识出发，精心设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作探究中经历知识的形成；通过层层深入的例习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“悟”，再到“通”。
三、教法、学法分析
1、教法分析
本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。
2、学法指导
引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；
引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;
引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。
四、教学设计
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：
复习引入 探究 精讲点拨 跟踪练习 归纳提升 作业布置
环节一 复习引入
1、向量的定义、表示方法；
2、向量相等概念；
3、平行向量的概念。
【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点。
环节二 探究
多媒体演示实例，学生参与活动并进行探究：
某同学从座位（看作点A）起身，走到特定位置（看作点B）取三角板，送到讲台（看作点C），请问这两次位移之和可用那向量表示？
力的合成演示
【设计意图】从学生熟悉的物理知识问题入手，位移的合成体现了“首尾相接”的两个向量如何相加；力的合成体现了共起点的两个向量如何相加。学生在具体、直观的问题中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破难点奠定基础。
问题1：对于任意的向量a和b,如何定义向量的加法a+b？
让学生任意作出两个向量a和b,自主探究，学生在思考讨论后由学生回答，讨论探究成果
【设计意图】把探究新知的权利交给学生，为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来。而且在探究交流的过程中学生对向量的认识逐步由感性上升到理性，顺利得出向量求和法则，解决了重点学习内容。
向量求和的法则：（比对演示）
三角形法则
平行四边形法则
图形表示
语言表述
已知向量a和b，在平面内任取一点A，作=a, =b,则向量叫做向量a和b的和（或和向量）
已知两个不共线向量a和b，在平面内任取一点A，作=a, =b,则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量叫做向量a和b的和
符号表述
a+b=+=
首尾相接
a+b=+=
共起点
【设计意图】既帮助学生理解定义，又渗透了数形结合、分类讨论思想，且使学生进一步熟悉两个向量的和向量的几何作图技能。
问题2：两个向量的和仍为一个向量，那么和向量a+b的方向与a,b的方向有何关系？
【设计意图】在强调新知识的同时，引导学生及时与旧知识进行比对，使学生体会“向量和”与“数量和”的区别，对向量加法运算的认识更加深入。
问题3：两种方法做出的结果一样吗?
问题4：它们之间有联系吗?
【设计意图】强调说明：对于两个不共线向量，这两个法则是统一的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半。其中
环节三 精讲点拨
例1、根据图中所给向量a、b、c，画出下列向a+b
【设计意图】既做了向量加法的练习，又为后面模的性质的引出做了铺垫。
环节四 跟踪练习
跟踪练习：课本课本84页练习1.（1）（2）、2
如图，已知向量a、b，用向量的加法法则作出a+b
(1) (2)
问题5：
【设计意图】学生自主探究，完善知识体系。
跟踪练习：课本课本84页练习1.（3）（4）、
如图，已知向量a、b，用向量的加法法则作出a+b。
(3) (4)
【设计意图】使学生对新知识巩固，增强学生的灵活应用的能力
问题6：|a+b|与|a|，|b|有何关系？
问题7：|a-b|与|a|，|b|有何关系？
【设计意图】引导学生从例题自主归纳、总结它们的关系。
跟踪练习：
【设计意图】使学生对新知识巩固，增强学生的灵活应用的能力
【设计意图】通过练习使学生发现并探究向量加法的运算律，起到承上启下作用
问题8：数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?
【设计意图】通过类比的方法，学习向量加法的运算律，学生容易接受并且可以
灵活运用。
例2.化简
【设计意图】使学生对新知识巩固，增强学生的灵活应用的能力
例3: 一只船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向
【设计意图】使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决实际问题中的作用，增强应用意识。
变式训练（一） 一只船从 A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 ,求水流速度的大小及船实际速度的大小？
【设计意图】一题多变，使学生灵活使用向量，并加强向量在解决实际问题中的作用,并且与物理中的知识相接轨。
变式训练（二）
一只船从 A点出发能以 的速度垂直向对岸的方向行驶，同时河水以２km/h的速度，向东流,求船的航向及速度大小。
【设计意图】巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价，也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学
环节五 归纳提升
【设计意图】学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理。
环节六 作业布置
1、书面作业P91 、4
2、课外拓展：
（1）用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）O为三角形ABC内一点，若++=0，则O是三角形ABC的（ ）
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
五、板书设计
向量的加法运算及其几何意义
跟踪练习:
(学生板书)
例1:
一、向量的加法：
（1）三角形法则
（2）平行四边形法则
二、模的性质
三、运算律
跟踪练习:
(学生板书)
