2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》学情分析
学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。为本课题的引入提供了较好的条件。本节课中向量加法的两个运算法则，大部分学生应该比较容易掌握。在向量的加法运算律的验证过程中，结合律的验证可能对一些基础差的同学来说，找不到突破口。用向量的加法来解决实际问题，对大部分同学来说可能稍微有点难度。
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》效果分析
学生对于测评的前两个作图题，能够熟练地运用向量加法的两个运算法则，掌握的比较好，作图过程规范合理，个别同学在共线情况的处理上出现错误，没有注意用“三角形法则”进行作图。
学生对于第3题，掌握很好，能够联系向量加法的运算律做题。
学生对于第4题，完全是字母的题，有些学生仍然依靠作图解决，在提示后才意识到运用“三角形法则”中的“首尾相连”，达到了教学目的。
学生对于第5题，对照例题2做得很好，基本没有问题。
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学设计
莒南县第四中学 陈京华
教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4
教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时
一、 教学目标
知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则 作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为 数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发 学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．
二、 重点与难点
重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．
难点：理解向量的加法法则及其几何意义．
三、 教法学法
教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．
四、 教学过程
新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节
一、复习回顾
1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？
用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？
二、合作探究
【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
学生活动：学生讨论，集体回答
点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。
2、向量加法的定义
如图，已知非零向量、，在平面内
取一点A，作，，则叫作与的和。
两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．
3、向量加法的运算法则
【问题2】上面整个计算过程中我们作了一个什么图形？你能不能结合图形给这种运算法则起个名字？
学生活动：学生讨论，集体回答
（1）三角形法则：定义中求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
位移的合成可以看成向量加法三角形法则的物理模型。
（2）平行四边形法则
【问题3】图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿GE方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？
学生活动：集体回答
【问题4】通过刚才这个过程你发现对向量进行加法运算还可以怎样进行？
学生活动：学生讨论，集体回答
点评：以同一点O为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
三、例题精解
例1、已知向量、，分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则
作出向量+
教学活动：师板演作图过程，生集体回答注意事项
小试牛刀
学生活动：学生自主解答，生代表展示讲解做题过程
点评：使学生熟练掌握向量加法的两个运算法则
四、模的关系探究
【问题4】想一想
（1）若两向量互为相反向量,则它们的和是什么?（2）零向量和任一向量的和是什么?
（3） ，|+|和 的大小关系如何？何时能取到等号呢？
学生活动：学生讨论，代表回答
设计意图：通过三角形三边关系，让学生找出向量的模与他们和的模之间的大小关系。
五、类比联想，探究性质
1、你能说出实数相加有哪些运算律吗？类比实数加法的运算律，向量是否也有运算律？
2、作图验证
（1）+的结果与+是否相同？
（2）(+) +的结果与+ (+)的结果呢？
学生活动：学生讨论，代表展示验证过程
设计意图：通过作图验证，加深学生对向量加法运算律的理解。
3、练一练
根据图示填空:
(1) =________(2) =________
(3) =______(4) =______
设计意图：在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到 n 个向量相加的形式．
六、实际应用
例2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
变式训练
船在静水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使船到对岸的路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际速度是多少？
设计意图：加强学生对向量加法运算的实际应用能力。
六、小结（这节课我学会了什么？）
本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：
课堂小结：
【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？
作业布置：
1、化简
2、一艘船从 A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向。
课件24张PPT。2.2.1向量加法运算及其几何意义莒南四中 陈京华学习目标:(1)通过实例，掌握向量加法的定义
及其几何意义;
(2)熟练运用加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”;
(3)掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.复习回顾：1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2. 什么叫零向量和单位向量？向 量：既有方向又有大小的量。方向相同或相反的向量是__________。方向相同并且长度相等的向量是_______。长度为零的向量叫______； 长度等于1个单位长度的向量叫_______。思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ 向量的加法：根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。首尾相接连端点 上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.F为F1与F2的合力它们之间有什么关系思考2 上述求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.对于下列两个向量a与b，如何用平行四边形法则求其和向量？起点相同连对角例1、已知向量 ,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则作出例题精解小试牛刀1、如图，已知 用向量的三角形法则做出（1）（2）（3）（4）2、如图，已知 用向量的平行四边形法则做出 （1）（2）1.若两向量互为相反向量,则它们的和为什么?何时取得等号?想一想o·AB1、不共线2、共线首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．多边形法则:二、向量加法的运算律:交换律:结合律:ADBCABCD根据图示填空:
(1) + =____________
(2) + =____________例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
解:(1)C(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).在Rt△ABC中,船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为68° 船在静水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使船到对岸的路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际速度是多少？变式训练课堂小结：１.化简课本84页 习题（做书上）
课本91页 2、3作业本2.2.1作业2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教材分析
本课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修〃人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要，基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。
向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。
同时向量也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》观评记录
1、本节课复习引入的设计能使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点。问题设在学生的“最近发展区”内，可引发学生的积极思维，使学生根据新的学习任务主动提取已有知识。而且从学生熟悉的实际问题引入，能让学生在具体、直观的问题中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破难点奠定基础。
2、在新课探究中教师把探求新知的权利交给了学生，为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动中来，进一步培养学生良好的学习习惯。
（1）通过多媒体动画演示，使静态的知识以鲜活的面容呈现在学生的面前，既帮助学生理解定义，又渗透了数形结合、分类讨论思想。同时在比较中掌握知识，为灵活应用公式打下基础。 对向量加法定义的理解是本节课的难点，通过层层深入的问题设置，将难点化解在三个符合学生实际而又令学生迫切想解决的问题中。 及时巩固新知识。使学生熟悉求两个向量的和向量的几何作图技能，并通过例题掌握求和作和的方法和技巧。
（2）引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移能力，同时再次渗透分类讨论的思想。 在强调新知识的同时，引导学生及时与旧知识进行对比，使学生体会“向量和”与“数量和”的区别，对向量加法运算的认识更加深入。渗透教学中“一般化”的思想方法，完善知识结构，并使学生体会应用三角形法则的便捷性。并使学生认识到数学与物理间的紧密联系，进一步培养学生的数学应用意识和探索创新能力。 使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决实际问题中的作用，增强应用意识。用向量方法证明平面几何问题，不仅开阔了学生的思路，而且再一次体现了向量是沟通几何与代数的桥梁。
3、练习反馈的两个习题巩固了学生所学知识，进一步完善认知结构，并且能使学生对自己的学习进行自我评价。让教师及时了解学生的学习情况，以便进一步调整自己的教学。
4、在本节课的结尾教师让学生自己从知识、方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。同时，学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋完整、合理。
5、教师在布置作业时分为两个层次，既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生的创新意识和探索精神，同时为下节课内容作好准备。
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》评测练习
3、练一练
根据图示填空:
(1) =________(2) =________
(3) =______(4) =______
4、化简
5、一艘船从 A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向。
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》教学反思
向量的加法运算是向量的基本运算.为了正确认识理解向量加法的运算,案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成.在此基础上,使学生认识到:物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算,进而总结出向量加法的三角形法则,平行四边形法则,这样设计自然,流畅,全面.向量加法的运算律的教学,是引导学生通过类比方法发现的,并让学生自主探索,构造图形验证,这样不仅体现了学生的主体地位,同时还能培养学生学科的探究能力.例题与练习、"拓展延伸"的设计,有层次,有力度,深入浅出,能较好地培养学生的创新能力。
一节课究竟应该给学生留下什么？这是我们一直在思考的问题。如果，我们一味地、一相情愿地“灌输”，学生能学好了吗？辩证唯物主义认为：任何事物的发展变化，都是内外因相互作用的结果，外因是条件，内因是根据，外因通过内因而起作用。学生对教师所施与的影响，并不只是消极被动地接受，而是以能动的姿态去思考和抉择，主动积极地做出反应；他们可能采取完全肯定和接受的态度，也可能采取批判和扬弃的态度，还可以采取完全否定和鄙弃的态度。因此，一节课重要的是激发学生学习的兴趣。爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”，如果在课堂中激起了学生的学习兴趣，那么教学就算成功了一半。这就需要我们在教学过程中多设计学生活动的时空，结合生活实际，挖掘课程资源，根据学生的具体情况，对教材进行加工，有创造地设计教学过程，这节课我以问题作为教学的出发点，让教学贴近学生。
本节课固然收获颇多，但我也看到了几个表情漠然的学生，这种不和谐让我感到心痛，新课程要求教学面向全体学生，但对于这些学生如何能使他们一起进步，值得我们思考，也是我面临的一个新课题。我想，随着学习方式的改变，有很多方法等待我们去探索。
总之，数学课堂教学应该是一个“以知识教学为基点，以能力培养为核心，以个情素养为肯綮”的三维结构。通过这节课教学我认识到理解和把握教材的重要性，同时我也真切体会到在教学过程中教师是组织者、合作者、引导者的含义。
2.2.1《向量的加法运算及其几何意义》课标分析
知识目标： 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算;
能力目标： 体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识;
情感目标： 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识,通过让学生 体验成功，培养学生学习数学的信心。
学习重点： 向量加法的两个法则及其应用。
学习难点： 对向量加法定义的理解。
