重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试
数学试题
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.设随机变量，则（ ）
A.3 B.4 C.12 D.13
4.如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化 对称统一的形式美 和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ）
A.对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B.函数可以是某个圆的“太极函数”
C.函数可以是某个圆的“太极函数”
D.是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”
5.过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C.4 D.2
6.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8.若对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.
9.函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
10.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价（元） 40 50 60 70 80 90
销量（件） 50 44 43 35 28
由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A.产品的销量与单价成负相关
B.为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元
C.
D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为
11.已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.数列的通项公式为
C.
D.实数的取值范围为
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的导函数分别为，且，则__________.
13.已知均为实数且，则的最小值为__________.
14.如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）设数列是各项均为正实数的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16.（15分）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，对，使得成立，求的取值范围.
17.（15分）已知函数.
（1）若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
18.（17分）学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.
（1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.
（2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.
（3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
19.（17分）已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求三角形面积的最小值.
（3）如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
重庆八中2023——2024学年度（下）期末考试高二年级
数学试题
一 单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D C B A D
1.【详解】集合，则.故选：B.
2.【详解】根据题意，函数，当时，，所以函数在点处的切线斜率为.故选：C.
3.【详解】由题意得，故.故选：C.
4.【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确；函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则是该圆的“太极函数”，故B，C正确；函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”，但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故D错误.故选：D.
5.【详解】将圆化为，圆心，半径，因为，所以点在圆内，记圆心到直线
的距离为，则，
由图可知，当，即时，取得最小值，因为，
所以的最小值为.故选：C.
6.【详解】根据题意，设事件为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”，
事件为“所报两个社团中有一个是体育类”，
则，
则.故选：B.
7.【详解】与比大小，
先比较6与的大小，再比较与的大小..
与比大小.
先比较8与的大小，再比较与的大小，.即，选A.
8.【详解】因为，所以，则可化为，整理得，因为，所以，令，则函数在上递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，则在上递减，所以，故只需满足：.故选：D.
二 多选题：
题号 9 10 11
答案 ABC ACD ACD
9.【详解】对于A，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；
对于B，二次函数开口向下，所以，此时存在与图中符合；
对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合.故选：ABC.
10.【详解】：由线性回归方程中的回归系数，
可知产品的销量与单价成负相关，故正确；
由，得，则销售额，
为了获得最大的销售额，单价应定为82.5元，故B错误；
由表中数据得，
，
可得样本点的中心的坐标为，则该回归直线过点，代入，得
故C正确；
将分别代入线性回归方程，
得到的预测值分别为，
由，故和在线性回归直线的左下方，满足条件的样本点只有2个，故所求概率为，故D正确.故选：ACD.
11.【详解】当时，由及，解得，故A正确
因为数列的前项和为，且，即，当时，可得，
两式相减得，因为，故，所以及均为公差为4的等差数列：当时，由及，解得，所以，
所以数列的通项公式为.故B错误
由B知，可得，故C正确；
因为对于任意成立，所以恒成立，
设，则，
时，时，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为，故选：ACD.
三 填空题：
题号 12 13 14
答案 8 1 ；
12.【详解】由函数，可得，
令，可得.故答案为：8.
13.【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即
所以的最小值为1.故答案为：1.
14.【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色，
①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法；
②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色，所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法.
综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种；
根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，
分3种情况讨论：
① 若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法；
② 若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法；
③ 若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法.综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种.
故答案为：；.
四 解答题：
15.【详解】
（1）设等比数列的公比为，
或.
（2）
，
.
16.【详解】
（1）令，解得或，
①当时，，不等式的解集为，②当时，，不等式的解集为，③当时，，不等式的解集为.综上所述：时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为
（2）由，
代入整理得，令，
①当，即时，对任意.
所以此时不等式组无解.
②当，即时，对任意.
所以解得
③当，即时，对任意.
所以.此时不等式组无解.
④当，即时，对任意.
所以此时不等式组无解.
综上，实数的取值范围是.
17.【详解】（1）的定义域为，又当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，即的单调减区间为，单调增区间为；又时，，故；
（2）设，
，
单调递增，在上单调递增，
，即实数的取值范围为.
18.【详解】（1）记事件为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，
（2）记事件：甲同学挑战成功，则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则，
②事件“共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则，
③事件“共答对六道”，即答对余下的四道问题，，
所以；
（3）设选择方式一 二的班级团队挑战成功的概率分别为.
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的概率为，所以，
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为，
所以，所以
，
构造，则
，因为，则，
，可得，所以，即，所以单调递增，
又因为，且，所以，
从而，即，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛.
19.【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②，
由①②联立且，可得，
故椭圆的标准方程为.
（2）（i）易知，设，联立与有，解得（舍负），到的
距离即为三角形在边上高的最小值，，此时三角形面积的最小值
（ii）设，则，即，又由，得，
整理得，再代入得，即，所以，同理令，，则，则，，则直线的方程为
方程为
两式相减，
整理得，即点在定直线上.