山西省长治市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析）

长治市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A. B. C. D.
3.某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（ ）
A.21 B.24 C.27 D.30
4.若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（ ）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
5.若非零向量，满足，，则（ ）
A.的最大值为 B.的最大值为1
C.的最小值为 D.的最小值为1
6.如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，E，F分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
7.从正四面体的6条棱中任选2条，这2条棱所在直线互相垂直的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A，B（A为东塔塔底，B为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C，并测得米.在点C测得东塔顶的仰角为，在点C测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（ ）
A.30米 B.33米 C.36米 D.44米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在正中，D为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.在上的投影向量为
10.若，则（ ）
A. B.的虚部为8
C. D.在复平面内对应的点位于第二象限
11.在正四棱柱中，，，则（ ）
A.正四棱柱的侧面积为24
B.与平面所成角的正切值为
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.三棱锥内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.若一组数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数m的最小______________.
13.已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是______________（用区间表示）.
14.在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则______________，四面体的外接球的表面积为_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；
（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.
16.（15分）
如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，D，E，G分别为，，的中点，.
（1）求点B到平面的距离；
（2）证明：平面平面.
17.（15分）
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立.
（1）若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；
（2）若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率.
18.（17分）
在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.
（1）若，求周长的最大值.
（2）设，.
（i）求外接圆的半径R；
（ii）求的面积.
19.（17分）
如图，在正四棱锥中，.
（1）证明：平面平面.
（2）若以P为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，求二面角的正切值.
（3）已知当时，取得最小值.请根据这条信息求正四棱锥体积的最大值.
高一数学试题参考答案
1.A .
2.A 由正弦定理得，则.
3.C 设男员工的样本量为n，由分层随机抽样的定义可得，解得.
4.B 设新圆台与原圆台的体积分别为，，则，所以新圆台的体积比原圆台的体积增加了倍.
5.C 因为，所以，则，即.又为非零向量，所以，所以的最小值为，无最大值.
6.A 如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，在中，，，所以，，则.
7.D 从正四面体的6条棱中任选2条的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，其中异面的3对棱互相垂直，所以这2条棱所在直线互相垂直的概率为.
8.B 设苏州双塔的高度为h米，依题意可得米，米.因为，所以由余弦定理得，解得.
9.BCD ，A错误.，则，B正确.，C正确.在上的投影向量为，D正确.
10.BC ，，A错误.，B正确.，C正确.在复平面内对应的点位于第四象限，D错误.
11.ABD 正四棱柱的侧面积为，A正确.设，易证平面，则与平面所成的角为，通过计算可得，，则，B正确.易证，则异面直线与所成的角为或其补角，通过计算可，，则，C错误.三棱锥的表面积，三棱锥的体积，所以三棱锥内切球的半径为，D正确.
12.6 剔除m，将剩余7个数按照从小到大的顺序排列为3，3，4，6，7，8，9，因为，且数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，所以.
13. 因为与的夹角为锐角，所以，解得.
14.； 连接交于点O，连接，因为，共面，且平面，所以.易知O为的中点，所以E为的中点，所以.四面体可以补形为一个长方体，所以四面体的外接球的半径，故四面体的外接球的表面积为.
15.解：（1）由频率分布直方图可得，解得.
（2）由题意，估计平均分分.
（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，
则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，
故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为.
16.（1）解：（方法一）在正三棱柱中，侧棱垂直底面，则，.
依题意得，，则，
所以的面积.
设点B到平面的距离为h，则由，
得，解得.
（方法二）取的中点M，连接，.
因为，所以.
因为底面，所以.
因为，所以平面.
过B作于H，则.
因为，所以平面.
因为，，，
所以点B到平面的距离.
（2）证明：因为D，E分别为，的中点，所以.
又，所以.
因为平面，平面，所以平面.
取的中点N，连接.因为，所以F为的中点.
又D为的中点，所以.
易证，所以.
因为平面，平面，所以平面.
又，所以平面平面.
17.解：（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，
故所求概率为.
（2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率.
若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或前3次乙有1次投篮未命中且甲投篮未命中，
所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率.
故所求概率为.
18.解：（1）由余弦定理得，即，
所以，
因为，所以，
则，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为6.
（2）（i）由正弦定理得，，
代入，得，
即.
因为，所以.
（ii）的面积.
因为，所以.
因为C是锐角，所以，则，所以.
因为，所以.
又因为A，B是锐角，所以，所以，所以，
则，所以.
故.
19.（1）证明：设与交于点O，连接，则底面.
因为平面，所以.
在正四棱锥中，底面为正方形，所以，
因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为以P为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，所以点P到直线的距离为.
取的中点E，连接，，因为，所以，，
所以，且为二面角的平面角.
因为，所以，
所以，则，即二面角的正切值为4.
（3）解：设，，则，
即，其中，
所以正四棱锥的体积，.
因为当时，取得最小值，所以当时，取得最大值，
所以正四棱锥体积的最大值为.