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商丘市部分学校2023-2024 学年 (下) 高二年级期末考试
数 学
考生注意:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上, 并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 与 共线,则实数 （ ）
A. -9 B. -3 C. 3 D. 1
2. 某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范, 生产成本逐年降低, 该公司对 2011 年至 2023 年的生产成本 (万元) 进行统计,根据统计数据作出如下散点图:
由此散点图, 判断下列四个经验回归方程类型中最适合作为 2011 年至 2023 年该公司的生产成本 与时间变量 的经验回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知 是等差数列 的前 项和,且 ,则 的公差 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知双曲线 的顶点为椭圆 的焦点, 的离心率与 的离心率之积为 1,则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 为第三象限角,且 ,则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是虚数单位,集合 ,则 中的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 无数个
7. 已知函数 在 处取得极小值 1,则 在区间 上的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 在三棱锥 中, ,则 与平面 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某篮球队员进行投篮练习,根据历史数据可知,该队员每次投篮的命中率均为 ,若该队员投篮 4 次,投进球的个数记为 ,且 ,则（ ）
A. B.
C. D. 至少进 1 个球的概率为 0.9919
10. 已知 的展开式的第 2 项与第 3 项系数的和为 ,则（ ）
A. B. 展开式的各项系数的和为
C. 展开式的各二项式系数的和为 32 D. 展开式的常数项为
11. 已知关于 的不等式 恒成立,则实数 的可能取值为（ ）
A. B. C. e D. 2e
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的图象关于点 中心对称,则 .
13. 某职业技术学校组织 6 名学生到 3 家工厂实习, 每家工厂至少去 1 人, 至多去 3 人, 且每名学生只能去 1 家工厂, 则不同的分配方法共有 种. (用数字作答)
14. 已知 的内角 的对边分别为 ,且 为锐角三角形, , ,则 面积的取值范围为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在数列 中,已知 .
(I) 证明 是等比数列,并求 的通项公式;
(II) 若 ,求数列 的前 项和 .
16. (15 分)
某公司生产甲、乙两种产品, 在该公司的仓库中有甲产品 7 万件、乙产品 3 万件, 按甲、乙产品的数量比例, 用分层随机抽样的方法从这 10 万件产品中抽取一个容量为 10 的样本, 对样本中的每件产品进行质量检测,测得样本中甲产品的优质品率为 ,乙产品的优质品率为 .
(I) 若从样本中再随机抽取 3 件进行深度测试, 求至少抽到 2 件乙产品的概率;
(II) 若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取 2 件, 将抽到的这 4 件产品中优质品的件数记为 ,求 的分布列和数学期望.
17. (15 分)
如图,在三棱柱 中,平面 平面 ,
分别为棱 的中点.
( I ) 求证: 平面 ;
(II) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知 是抛物线 的焦点,纵坐标为 的点 在 上,且 ,
是 上两点,直线 不与 轴垂直,且直线 关于 轴对称.
( I ) 求 的方程;
( II ) 求证: 直线 过定点;
(III) 求 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 .
( I ) 若 ,讨论 的单调性;
(II) 若函数 恰有 2 个零点,求 的取值范围.大联考
2023一2024学年（下）高二年级期末考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分.
9.ABD
10.AD
11.BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.-1
13.450
14(25同
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.解析（【)由题意知a.≠0.
等式301+4a1a,=a,两边同除以a,1a,得1=三+4，
(1分)
+2=3+2，……（2分)
do+l
+2=3≠0。，
a1=1,∴.
(3分)
根据等比数列的定义知，行+2是首项为3，公比为3的等比数列，…
(4分)
1+2=3°，…
(5分)
a
1
.=3-2
(6分)
()由(1)知，c=(2m-1)(位+2）=(2m-1)×3,
(7分)
∴.S。=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3",①…
(8分)
3S。=32+3×33+5×3+…+(2n-3)×3"+(2n-1)×3m+1,②
①-②，得-2S。=3+2×32+2×3+2×34+…+2×3-(2n-1)×3m+1
=3+181-3--(2n-1）×31=-6-(2n-2）×3
1-3
(12分)
.S。=3+(n-1)3m+1
(13分)
1
16,解析(1)由分层随机抽样方法知，轴取的容量为10的样本中，甲产品有10×石=7件，乙产品有10×
10
3件，
(2分)
.从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为C。,其中至少抽到2件乙产品的不同
抽取方法种数为CC+C,…(5分)
∴.至少抽到2件乙产品的概率为
C+C_1山
…(6分）
Cio
60
4
(Ⅱ)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有7×=4件优质品，有7-4=3件不是优质品，乙产品
中有3×号=2件优质品，有3-2=1件不是优质品，则X的所有可能取值为1,23,4.…(8分)
P(X=1)=
CCIC=2P(=2)=CCCIC2-3
CC
7
P(X=3)-CiCc +cicici8
C:2
C2C
=7,P(X=4)=
C=2T.
…(12分)
∴.X的分布列为
X
1
2
3
4
8
2
21
7
21
21
(13分)
(01×号+2×号+3×景+4×号-
(15分)
17.解析(I)如图，连接AG,EG,设AG∩AE=H,连接FH.
…(1分)
由三棱柱的结构特征及E,G分别是棱AB,A,B,的中点，可知四边形AEGA,为平行四边形，
则H为AG的中点，…
…(3分)
又F为AC的中点，，FH∥CG,…(4分)】
.FHC平面A,EF,CG￠平面A,EF,∴.CG∥平面A,EF
(6分)
(Ⅱ)，AA1=AB=A,B=AC=BC=2,
∴.AE⊥AB,CE⊥AB,AE=CE=√3.
2
