防城港市2023--2024学年度下学期高一期末考试数学参考答案
1．A【详解】，所以共轭复数为.故选：A.
2．C【详解】试题分析：由题意，得，且．故选：C
3．B【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，故选：B
4．D【详解】因为单位向量，满足，所以，化简得：，即或(舍去)，所以在上的投影向量为，故选：D
5．D【详解】，即，故，
，
因为，所以，故，因为，所以，故为等腰直角三角形.故选：D
6．D【详解】设事件“选物理”，“选化学”，则有，，由该班同学选物理和选化学相互独立，即，则，故，,则.故选：D.
7．C【详解】如图，连接，，∵E，F分别为棱BC，的中点，则，又∵，且，则为平行四边形，∴，可得，故则过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为．设正方体的棱长为2，则，可得正方体的体积，三棱台的体积，故分成的上、下两部分几何体的体积比为．故选：C．
8．A【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图，
则，，，，，
因此，，同理，
于是得，又
由“奔驰定理”有即，所以，故选：A
9．BD【详解】对于A，若，，则与可能平行，相交或异面，故A错误；对于B，若，，则，故B正确；对于C，根据面面平行的判定定理，只有当与是平面内的两条相交直线时，方可确定，故C错误；对于D，，，或，又，，故D正确.故选：BD.
10．ABD【详解】如图建系，取，
，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，综上，，
选项A：取，满足，此时，因此点P不一定是的中点，故A错误；
选项B：当点P为B点或的中点时，均满足，此时点P不唯一，故B错误；
选项C：当点P为点时，且，解得，由上分析可知时为点，故C正确；
选项D：若，当时，有，故，，此时，当时，有，故，，此时点P不唯一，故D错误；故选：ABD.
11．ACD【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则，所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得，所以该圆锥的高为，故A正确；对于B选项，该圆锥的底面半径为，
故该圆锥的体积为，故B错误；对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为，底面圆周长为，则，故C正确；对于D选项，取的中点，连接，因为，为的中点，则，由垂径定理可得，
所以二面角的平面角为，因为平面，平面，则，因为，，则为等腰直角三角形，则，所以，所以，，因为，故，即二面角的大小为，故D正确.
12．120【详解】因为岁年龄段回收了180份问卷，而样本在岁年龄段的问卷中抽取了60份，所以抽样比为．因为分层抽取的样本的容量为300，故回收的问卷总数为（份），可得（份），所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为（份）．故答案为：120.
13．【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故答案为：.
14．【详解】记的中点分别为，则，由重心性质可知，，所以，所以，即，由平面向量基本定理可知，即，所以，，因为，所以.故答案为：
15．【详解】（1）由题意，…………………………………………………………………………1
因为，则，……………………………………………………………………2
得，………………………………………………………………………………………………………………3
则，……………………………………………………………………………………………………4
所以；……………………………………………………………………………………6
由已知，……………………………………………………………………………………7
又，，所以，…………………………………………………………………8
得，………………………………………………………………………………………………………………9
则，………………………………………………………………………………………………………10
，故．……………………………………………13（公式1分）
【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，…………………………2
所以.……………………………………………………………………………………………………………4
（2）成绩落在内的频率为，………………………………………………………5
落在内的频率为，……………………………………………………………6
显然第75百分位数，由，…………………………………………………7
解得，.……………………………………………………………………………………………………………8
所以第75百分位数为84.………………………………………………………………………………………………9
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，…………………………………………10
成绩在的市民人数为，…………………………………………………………………………11
所以；………………………………………………………………………………………12
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
.………………………………………………15（公式2分）
17．【详解】（1）由正弦定理可得，所以，…1
即，可得，………………………2
整理可得，…………………………………………………………………………………………3
因为在中，，……………………………………………………………………………………………4
所以，……………………………………………………………………………………………………………5
又，所以；………………………………………………………………………………………………6
（2）因为，AD平分，所以，……………………7
由得，…………8
即，整理可得，①………………………………………9
（法二：……………………………7
…………………………………………8
，①……………………………………………………………………………………9
因为为角平分线，所以，在中由正弦定理可得，……………10
在中由正弦定理可得，………………………………………………………………11
又，所以，所以，② …………12
由①②可得，………………………………………………………………………………………………13
在中，由余弦定理可得，…………………………………………14
解得.……………………………………………………………………………………………15
18.【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得，………………………………1
由侧面底面，侧面底面平面，…………………………………2
得平面，……………………………………………………………………………………………………3
又平面，则，…………………………………………………………………………………4
又侧面是正三角形，是的中点，则，………………5
又平面，………………………………………6
所以平面.…………………………………………………………7
（2）如图，在平面内，过点作，垂足为，显然，…8
由侧面底面，交线为，得底面，……………………9
底面，则，过作，垂足为，连接，显然，
平面，则平面，……………………………………………………………………10
而平面，因此，……………………………………………………………………………11
则即为二面角的平面角，其大小为，………………………………………………………12
在中，，则，……………………………………………………………13
由，得四边形为平行四边形，则，…………………………………………14
由，得（或其补角）为异面直线与所成角，……………………………………………15
由（1）知平面，则为直角三角形，，………………………………16
所以异面直线与所成角的正切值为.………………………………………………………………………17
【详解】（1），……………………………………………………………………………2
；……………………………………………………………………………………4
因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，从初始状态开始，若第一次中奖，
此时第次抽奖中奖的概率为，…………………………………………………………………………………5
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，…………6
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，…7
综上所述，对任意的，，………………………………………………………………9
又，所以；……………………………………………………………………10
由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次，所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，…………………………………………………………………………………………………………………11
另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，从初始状态开始，抽一次中奖的概率为，………………………………………………………………………………………………………………12
从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为，……………………………………………13
从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为，…………………………………………14
用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖，则三次中奖的所有情况如下：，， ………………………………15
故仅三次中奖的概率为，…………………………16
所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为.……………………………………………17防城港市2023--2024学年度下学期高一期末考试试卷
数 学
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是
A． B．2 C． D．4
3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
4．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）
A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05
如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，已知是的垂心，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。
9．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，且，则
10．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足的点P必为的中点
B．满足的点P有且只有一个
C．满足的点P有且只有一个
D．满足的点P有且只有一个
11．已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高为1 B．圆锥的体积为
C．圆锥侧面展开图的圆心角为 D．二面角的大小为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为 ．
13．设是复数且，则的最小值为 .
14．已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角 的大小为 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
16．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，……，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
17.（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角的大小；
(2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求．
18．（17分）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
19．（17分）在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为.
(1)求，；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
