【基础版】北师大版数学八上1.1探索勾股定理 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·晋中期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；数学常识
【解析】【解答】解：记载于《周髀算经》，
故答案为：A．
【分析】根据数学常识求解即可。
2．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
3．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
【答案】A
【知识点】勾股定理
4．（2020八上·深圳期中）在△ABC中，若∠B+∠C=90°，则（ ）
A．BC=AB+AC B．AC2=AB2+BC2 C．AB2=AC2+BC2 D．BC2=AB2+AC2
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ∠B+∠C=90°，
∴∠A=90°，
∴BC2=AB2+AC2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A=90°，AB为直角三角形的斜边，再根据勾股定理即可得出BC2=AB2+AC2.
5．（2022八上·罗湖期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．28
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
6．（2023八上·南城期中）如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形的面积是（ ）
A．360 B．164 C．400 D．60
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，正方形的面积等于直角三角形边长的平方，由勾股定理可得出A的面积是1000-640=360.
故答案为：A.
【分析】本题考查了勾股定理的运用.由图可知正方形A的边长是直角三角形的一条直角边，则A的面积是直角边的平方.同理可知1000是直角三角形的斜边的平方，640是直角三角形另一条直角边的平方.再由勾股定理可得出答案.
7．（2023八上·渠县月考）直角三角形的最长边的长为13，一条直角边长为5， 另一条直角边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：另一条直角边长为.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
8．（2023八上·清新期中）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（ ）
A．1 B．7 C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
由图知，，由勾股定理得 ，
∴正方形M的面积为 1.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，即可得正方形M的面积为1.
二、填空题
9．（2022八上·济南期中）如图，是的中线，若，则 ．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是的中线，若，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：12．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长即可。
10．（2024八上·南山期中）在中，，，，，垂足为H， ．
【答案】
【知识点】勾股定理
11．（2022八上·鄞州月考）如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，大树高为AC，小树高为BD，两树间距为BE，
两棵树的高度差为AC-BD，间距为BE=8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝= ＝10m．
故答案为：10.
【分析】小鸟分行的最短距离是一个两直角边分别为6m与8m的直角三角形斜边的长，根据勾股定理直接计算即可.
12．（2021八上·兴平期中）在ABC中，若∠B＝90°，AB＝7，AC＝25，则BC＝ ．
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝7，AC＝25，则BC＝
故答案为： 24.
【分析】直接利用勾股定理进行计算可得BC的值.
13．（2024九下·海安模拟）如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
三、解答题
14．（2021八上·清新期中）如图，在中，D是上的一点，若，，，，求线段CD的长．
【答案】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴在中，．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长即可。
15．（2020八上·淮安期末）如图，在 中， ， ， ， .求 的长.
【答案】解： ，
在 中，
在 中，
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据垂直的性质和勾股定理，先求出线段BD的长度，再求出线段CD的长度，最后求和即可.
16．（2021八上·三水期中）如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
17．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝
∴AD＝2AN＝．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得M是中点，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可.
（2）过点B作于点N，先根据三角形的面积求出BN，再根据勾股定理求出AN即可.
18．（2024八上·成都期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理
1 / 1【基础版】北师大版数学八上1.1探索勾股定理 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·晋中期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
4．（2020八上·深圳期中）在△ABC中，若∠B+∠C=90°，则（ ）
A．BC=AB+AC B．AC2=AB2+BC2 C．AB2=AC2+BC2 D．BC2=AB2+AC2
5．（2022八上·罗湖期中）在中，，，，则的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．28
6．（2023八上·南城期中）如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形的面积是（ ）
A．360 B．164 C．400 D．60
7．（2023八上·渠县月考）直角三角形的最长边的长为13，一条直角边长为5， 另一条直角边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．（2023八上·清新期中）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（ ）
A．1 B．7 C． D．5
二、填空题
9．（2022八上·济南期中）如图，是的中线，若，则 ．
10．（2024八上·南山期中）在中，，，，，垂足为H， ．
11．（2022八上·鄞州月考）如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
12．（2021八上·兴平期中）在ABC中，若∠B＝90°，AB＝7，AC＝25，则BC＝ ．
13．（2024九下·海安模拟）如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于 ．
三、解答题
14．（2021八上·清新期中）如图，在中，D是上的一点，若，，，，求线段CD的长．
15．（2020八上·淮安期末）如图，在 中， ， ， ， .求 的长.
16．（2021八上·三水期中）如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
17．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
18．（2024八上·成都期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
（1）求的长；
（2）求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；数学常识
【解析】【解答】解：记载于《周髀算经》，
故答案为：A．
【分析】根据数学常识求解即可。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ∠B+∠C=90°，
∴∠A=90°，
∴BC2=AB2+AC2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A=90°，AB为直角三角形的斜边，再根据勾股定理即可得出BC2=AB2+AC2.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，正方形的面积等于直角三角形边长的平方，由勾股定理可得出A的面积是1000-640=360.
故答案为：A.
【分析】本题考查了勾股定理的运用.由图可知正方形A的边长是直角三角形的一条直角边，则A的面积是直角边的平方.同理可知1000是直角三角形的斜边的平方，640是直角三角形另一条直角边的平方.再由勾股定理可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：另一条直角边长为.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
由图知，，由勾股定理得 ，
∴正方形M的面积为 1.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，即可得正方形M的面积为1.
9．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是的中线，若，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：12．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长即可。
10．【答案】
【知识点】勾股定理
11．【答案】10
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，大树高为AC，小树高为BD，两树间距为BE，
两棵树的高度差为AC-BD，间距为BE=8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝= ＝10m．
故答案为：10.
【分析】小鸟分行的最短距离是一个两直角边分别为6m与8m的直角三角形斜边的长，根据勾股定理直接计算即可.
12．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝7，AC＝25，则BC＝
故答案为： 24.
【分析】直接利用勾股定理进行计算可得BC的值.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
14．【答案】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴在中，．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长即可。
15．【答案】解： ，
在 中，
在 中，
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据垂直的性质和勾股定理，先求出线段BD的长度，再求出线段CD的长度，最后求和即可.
16．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
17．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝
∴AD＝2AN＝．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得M是中点，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可.
（2）过点B作于点N，先根据三角形的面积求出BN，再根据勾股定理求出AN即可.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理
1 / 1
