【培优版】北师大版数学八上1.1探究勾股定理 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·乌鲁木齐期中） 如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，AD=15，
∴DF=AD=BC=15，AE=EF，
∵四边形ABCD是矩形，AB=9，
∴∠C=90°，AB=CD=9，
∴在Rt△CDF中，CF=，
∴BF=15-12=3，
设EF=x，则AE=EF=x，BE=9-x，
在Rt△CDF中，BE2+BF2=EF2，
（9-x）2+32=x2，解得：x=5.
故答案为：B.
【分析】由折叠的性质可得DF=AD=BC，AE=EF，由矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD，在Rt△CDF中，用勾股定理求出CF的值，由线段的构成求出BF的值，设EF=x，在Rt△CDF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
2．（2022八下·诸暨期中）如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置．CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M．若AB＝3，BC＝ ，CH＝MH．则线段MH的长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图，过点H作HQ⊥GF，
∴∠HQM=90°，
∵矩形AEFG和矩形ABCD全等，
∴AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，
∴∠QHM+∠AHD=∠QHM+∠QMH，
∴∠AHD=∠QHM，
∴△ADH≌MQH（AAS），
∴AH=MH，
∵AB=3，
∴设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，
∵BC=，
∴AD=，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，
∴3+x2=（3-x）2，
整理，解得：x=1，
∴MH=3-1=2.
故答案为：D.
【分析】如图，过点H作HQ⊥GF，则∠HQM=90°，再由矩形AEFG和矩形ABCD全等及矩形性质可得AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，从而得到∠AHD=∠QHM，进而证出△ADH≌MQH，即得AH=MH，设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，再由勾股定理可列关于x方程，即3+x2=（3-x）2，解得x值即可求得MH的长度.
3．（2018八上·杭州期中）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB2﹣AC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，
∴AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE，
∵BC＝8，BE＝2，
∴AB2﹣AC2＝8×2＝16。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质得出AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，根据勾股定理得出AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，进而根据等式的性质及平方差公式分解因式的运用得出AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE进而代入BC，BE的值即可算出答案。
4．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
，
设的长为x，则，
在中，
即
解得
故答案为：B
【分析】设的长为x，则，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
5．（2024八下·吉安月考）如图，在中，，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．若，则的周长为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．30
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的值，再由线段垂直平分线的性质得到BD=CD，则由三角形周长公式求解即可．
6．（2021·阜南模拟）已知a、b为两正数，且 ，则代数式 最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，
所以：
，
∴当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，
在Rt△BDC中 ．
故答案为：B
【分析】如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，根据勾股定理求出BC的长即可.
7．（2020九上·牡丹期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．14 B． C． D．15
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】 解：由折叠的性质得：A E=AE，A D=AB=12，∠A =∠A=90°，
设AE=A E=x，则DE=16-x，
在Rt△A DE中，A D2+A E2=DE2，
∴122+x2=（16-x）2，
解得x=，
∴AE=A E=，
由翻折的性质得，∠BFE=∠DFE，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE，
∵DC=A D，
∴Rt△DFC≌Rt△DEA （HL），
∴FC=A E=，
过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=12，FH=BC-BH-FC=9，
∴在Rt△EFH中，EF=
故答案为：D.
【分析】 设AE=A E=x，得出DE=16-x，在Rt△A DE中，利用勾股定理列出方程求出x，求出AE的长，再证出FC=A E，过点E作EH⊥BC于H，得出EH和FH的长，然后利用勾股定理，即可求出EF的长.
8．（2019八上·大庆期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE= =5，
∵ ，
∴ ，
∴BH= ，则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF= = ．
故答案为：B．
【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH= ，即可得BF= ，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF= ．
二、填空题
9．（2024八上·坪山期末）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
【分析】连接，由等腰三角形的性质可得：，结合，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形等面积 ，可得，在中，由勾股定理得，即可得解．
10．（2023八上·龙岗期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接
因为
所以
由折叠可得：
又因为
所以
因此
又因为
所以
由等面积法可得：，解得：
又由折叠可得：
所以
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值．
11．（2023八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），
∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，
∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，
∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，由角平分线的定义及三角形内角和可求∠IBC+∠ICB=45°，利用三角形外角的性质及对顶角相等可得∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，由IF⊥CE可得∠DIF=45°，故①正确；证明△FCI≌△MCI（ASA），可得CF=CM，再证△MBI≌△EBI（ASA），可得BE=BI，从而得出BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；由勾股定理求BC=5，由角平分线的性质可得EA=EH，利用三角形的面积可推出AE：BE=AC：BC=4：5，据此求出BE、BM、CF的长，从而求出AF的长，即可判断③.
12．（2023八上·浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝ ，AF＝ .
【答案】5；
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BF，如下图，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴
∵D为AB中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
解得：
故答案为：.
【分析】连接BF，根据对称的性质得到DE为线段BF的垂直平分线，即结合中点的性质得到再根据三角形的内角和定理证明然后根据角的运算得到进而得到，据此即可求出CE的长度，在中和中根据勾股定理即可求出AF的长度.
13．（2023八上·绥德月考）在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图示可知S1+S2=1，S3+S4=3，所以1-3=-2.
故答案为：-2.
【分析】分别求出S1+S2和S3+S4，再求出的值.
三、解答题
14．（2021八上·金牛月考）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．
【答案】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE=FE，AD=FC．
∵AD=5，BC=10．
∴BF=5
在Rt△ABF中，AF＝ ，
∴AE= AF=6.5．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】延长AE交BC于F，易得AD∥BC，由平行线的性质得∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，根据中点的概念可得DE=CE，证明△AED≌△FEC，得到AE=FE，AD=FC，则BF=BC-CF=BC-AD=5，利用勾股定理可得AF，进而可得AE.
15．（2024八下·茅箭月考） 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系： ．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
16．（2024八下·云梦月考）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且，求的长．
【答案】解：四边形是矩形，
，，，
将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
设，则，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据矩形的性质和翻折性质可得∠A=∠E=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=7，根据ASA证得△PDO≌△FEO，由全等三角形对应边相等可得OF=OP，PD=EF，进而求得DF=PE=PA，设AP=x，可得BF=3+x，CF=10-x，在Rt△BCF中，根据勾股定理建立方程，代解方程即可得到AP长.
17．（2024八下·大化月考） 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．
（1）试说明：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
由（1）得，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得到，再利用AAS证明，最后由全等三角形的性质得出结论OE=BD；
（2）利用全等三角形的性质得到，利用勾股定理计算出OD的长，根据DE=OD-OE得到答案.
18．（2023八上·绥德月考）分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示；
（2）推算出的值；
（3）求出的值．
【答案】（1）解：由给出各式可得：
；
（2）解：∵，
∴，∴；
（3）解：∵，，，，，
∴
．
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【分析】(1)观察题中所给出各式，从中找出规律，写出 即可；
（2）通过观察写出，再求出 的值；
（3）结合（1）写出 ， ， ，，再代入求值.
1 / 1【培优版】北师大版数学八上1.1探究勾股定理 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·乌鲁木齐期中） 如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·诸暨期中）如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置．CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M．若AB＝3，BC＝ ，CH＝MH．则线段MH的长度是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2018八上·杭州期中）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB2﹣AC2的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．16
4．（2021八上·济南期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
5．（2024八下·吉安月考）如图，在中，，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．若，则的周长为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．30
6．（2021·阜南模拟）已知a、b为两正数，且 ，则代数式 最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．（2020九上·牡丹期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．14 B． C． D．15
8．（2019八上·大庆期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·坪山期末）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
10．（2023八上·龙岗期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为 。
11．（2023八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
12．（2023八上·浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝ ，AF＝ .
13．（2023八上·绥德月考）在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
三、解答题
14．（2021八上·金牛月考）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．
15．（2024八下·茅箭月考） 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系： ．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
16．（2024八下·云梦月考）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且，求的长．
17．（2024八下·大化月考） 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．
（1）试说明：；
（2）求的长．
18．（2023八上·绥德月考）分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示；
（2）推算出的值；
（3）求出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，AD=15，
∴DF=AD=BC=15，AE=EF，
∵四边形ABCD是矩形，AB=9，
∴∠C=90°，AB=CD=9，
∴在Rt△CDF中，CF=，
∴BF=15-12=3，
设EF=x，则AE=EF=x，BE=9-x，
在Rt△CDF中，BE2+BF2=EF2，
（9-x）2+32=x2，解得：x=5.
故答案为：B.
【分析】由折叠的性质可得DF=AD=BC，AE=EF，由矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD，在Rt△CDF中，用勾股定理求出CF的值，由线段的构成求出BF的值，设EF=x，在Rt△CDF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图，过点H作HQ⊥GF，
∴∠HQM=90°，
∵矩形AEFG和矩形ABCD全等，
∴AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，
∴∠QHM+∠AHD=∠QHM+∠QMH，
∴∠AHD=∠QHM，
∴△ADH≌MQH（AAS），
∴AH=MH，
∵AB=3，
∴设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，
∵BC=，
∴AD=，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，
∴3+x2=（3-x）2，
整理，解得：x=1，
∴MH=3-1=2.
故答案为：D.
【分析】如图，过点H作HQ⊥GF，则∠HQM=90°，再由矩形AEFG和矩形ABCD全等及矩形性质可得AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，从而得到∠AHD=∠QHM，进而证出△ADH≌MQH，即得AH=MH，设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，再由勾股定理可列关于x方程，即3+x2=（3-x）2，解得x值即可求得MH的长度.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，
∴AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE，
∵BC＝8，BE＝2，
∴AB2﹣AC2＝8×2＝16。
故答案为：D。
【分析】根据折叠的性质得出AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，根据勾股定理得出AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，进而根据等式的性质及平方差公式分解因式的运用得出AB2﹣AC2＝AD2+BD2﹣AD2﹣CD2＝BD2﹣CD2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC BE进而代入BC，BE的值即可算出答案。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°，
翻折
，
设的长为x，则，
在中，
即
解得
故答案为：B
【分析】设的长为x，则，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵的垂直平分线分别交于点，
∴，
∴的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的值，再由线段垂直平分线的性质得到BD=CD，则由三角形周长公式求解即可．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，
所以：
，
∴当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，
在Rt△BDC中 ．
故答案为：B
【分析】如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，根据勾股定理求出BC的长即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】 解：由折叠的性质得：A E=AE，A D=AB=12，∠A =∠A=90°，
设AE=A E=x，则DE=16-x，
在Rt△A DE中，A D2+A E2=DE2，
∴122+x2=（16-x）2，
解得x=，
∴AE=A E=，
由翻折的性质得，∠BFE=∠DFE，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE，
∵DC=A D，
∴Rt△DFC≌Rt△DEA （HL），
∴FC=A E=，
过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=12，FH=BC-BH-FC=9，
∴在Rt△EFH中，EF=
故答案为：D.
【分析】 设AE=A E=x，得出DE=16-x，在Rt△A DE中，利用勾股定理列出方程求出x，求出AE的长，再证出FC=A E，过点E作EH⊥BC于H，得出EH和FH的长，然后利用勾股定理，即可求出EF的长.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE= =5，
∵ ，
∴ ，
∴BH= ，则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF= = ．
故答案为：B．
【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH= ，即可得BF= ，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF= ．
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
由等腰三角形的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：
【分析】连接，由等腰三角形的性质可得：，结合，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形等面积 ，可得，在中，由勾股定理得，即可得解．
10．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接
因为
所以
由折叠可得：
又因为
所以
因此
又因为
所以
由等面积法可得：，解得：
又由折叠可得：
所以
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值．
11．【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），
∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，
∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，
∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，由角平分线的定义及三角形内角和可求∠IBC+∠ICB=45°，利用三角形外角的性质及对顶角相等可得∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，由IF⊥CE可得∠DIF=45°，故①正确；证明△FCI≌△MCI（ASA），可得CF=CM，再证△MBI≌△EBI（ASA），可得BE=BI，从而得出BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；由勾股定理求BC=5，由角平分线的性质可得EA=EH，利用三角形的面积可推出AE：BE=AC：BC=4：5，据此求出BE、BM、CF的长，从而求出AF的长，即可判断③.
12．【答案】5；
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BF，如下图，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴
∵D为AB中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
解得：
故答案为：.
【分析】连接BF，根据对称的性质得到DE为线段BF的垂直平分线，即结合中点的性质得到再根据三角形的内角和定理证明然后根据角的运算得到进而得到，据此即可求出CE的长度，在中和中根据勾股定理即可求出AF的长度.
13．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由图示可知S1+S2=1，S3+S4=3，所以1-3=-2.
故答案为：-2.
【分析】分别求出S1+S2和S3+S4，再求出的值.
14．【答案】解：如图，延长AE交BC于F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，
又∵点E是CD的中点，
∴DE=CE．
∵在△AED与△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE=FE，AD=FC．
∵AD=5，BC=10．
∴BF=5
在Rt△ABF中，AF＝ ，
∴AE= AF=6.5．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】延长AE交BC于F，易得AD∥BC，由平行线的性质得∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，根据中点的概念可得DE=CE，证明△AED≌△FEC，得到AE=FE，AD=FC，则BF=BC-CF=BC-AD=5，利用勾股定理可得AF，进而可得AE.
15．【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
16．【答案】解：四边形是矩形，
，，，
将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
设，则，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据矩形的性质和翻折性质可得∠A=∠E=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=7，根据ASA证得△PDO≌△FEO，由全等三角形对应边相等可得OF=OP，PD=EF，进而求得DF=PE=PA，设AP=x，可得BF=3+x，CF=10-x，在Rt△BCF中，根据勾股定理建立方程，代解方程即可得到AP长.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵．
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
由（1）得，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得到，再利用AAS证明，最后由全等三角形的性质得出结论OE=BD；
（2）利用全等三角形的性质得到，利用勾股定理计算出OD的长，根据DE=OD-OE得到答案.
18．【答案】（1）解：由给出各式可得：
；
（2）解：∵，
∴，∴；
（3）解：∵，，，，，
∴
．
【知识点】勾股定理；探索图形规律
【解析】【分析】(1)观察题中所给出各式，从中找出规律，写出 即可；
（2）通过观察写出，再求出 的值；
（3）结合（1）写出 ， ， ，，再代入求值.
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