【基础版】北师大版数学八上1.2一定是直角三角形吗？同步练习
一、选择题
1．（2019八上·惠山期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
2．（2019八上·昌图月考）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
3．（2024八上·贵阳月考）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设相邻两个结点之间的距离为m，
则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解.
4．（2020八上·重庆期中）在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，以下说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 是直角三角形
B．若 ，则 是直角三角形
C．若 ，则 是直角三角形
D．若 ， ， ，则 是直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
是直角三角形，故 正确；
，
是直角三角形，故 正确；
，
是直角三角形，故 正确；
， ， ，
不是直角三角形，故 错误；
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和180°及直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形可判断A、C；利用勾股定理的逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，可判断B、D，从而得出答案.
5．（2018八上·扬州月考）在⊿ 中，若 ，则⊿ 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，
故答案为：D.
【分析】由于该三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，故该三角形是直角三角形。
6．（2023八上·瑞昌期中）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
7．（2021八上·沈阳期中）已知 ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据（a-b）（c2-a2-b2）=0，得出a=b或a2+b2=c2，求出a、b、c之间的数量关系进行判断。
8．（2023八上·四川期中） 如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A． B．12﹣3 C． D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长交于点E，如图：
∵四边形为正方形，边长为15，
，，
，，，
，，
，
即为直角三角形，则，
同理：，
在和中，
，
，
，，
，，
，
又，，
，，
，
在和中，
，
，，，
，
同理：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理求解。延长交于点E，先利用勾股定理的逆定理证，，再证和全等得，进而可得，，由此可得和全等，进而得，，，据此得，，然后在中由勾股定理可求出的长．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
10．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为 .
【答案】14
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵
∴三角形ADC是直角三角形，∠ADC=
∴∠ADB=∠ADC=
∴BD==9
∴BC=BD+DC=9+5=14
故答案为：14.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；根据勾股定理，可得BD的长，进而可以求出BC的值.
11．已知在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则AC边上的中线BD的长为 .
【答案】6.5
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵
∴三角形ABC是直角三角形
∴BD=AC=6.5
故答案为：6.5.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；
根据直角三角形斜边上的中线性质，斜边中线长度=斜边的长度求解即可.
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．（2023八上·兰州期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，由题意可得：
，，
∵，即
∴△ABC为等腰直角三角形
∴
故答案为：45°
【分析】连接AC，根据正方形性质结合勾股定理可求出三角形三边长，再根据勾股定理点逆定理可判断△ABC为等腰直角三角形，即可求出答案.
三、解答题
14．（2024八上·遂川期末）如图，在四边形中，，BD平分，，E为上一点，，，求证：．
【答案】证明：，，，
，
是直角三角形，，
又，平分，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据给定的三角形的三边长分别为3、4、5，是非常熟悉的符合勾股定理的数，可判定垂直，，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推导出 AD=CD 。
15．（2024八上·万州期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再利用等面积法可列出式子，代入数据可求出答案；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三角形的性质可得：，比较与的大小可判断是否有危险需要暂时封锁 ，再利用勾股定理得，可求出 需要封锁的公路长．
16．（2024八上·绿园期末）如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【答案】（1）解：连结．
在中，°，，，
．
即、两点之间的距离为
（2）解：，
∴△ACD是直角三角形且，
四边形纸片的面积
（7分）
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连结，先根据勾股定理求出AC，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且， 进而根据“四边形纸片的面积”即可求解。
17．（2023八上·瑞昌期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=4，BC=3，AD=.
（1）求CD，BD的长；
（2）试说明△ABC是直角三角形.
【答案】（1）解：因为CD⊥AB，
所以∠ADC=∠BDC=90°.
所以△ADC和△BDC都是直角三角形.
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，
所以CD=
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2，
所以BD=
所以CD的长为，BD的长为
（2）解：由（1）可得AB=AD+BD=+=5
在△ABC中，因为AC2+BC2=32+42=25，AB2=52=25，
所以AC2+BC2=AB2....分
所以△ABC为直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1) 由CD⊥AB得△ADC和△BDC都是直角三角形，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，在Rt△BCD中，利用勾股定理列式计算即可求出BD ；
(2)根据AB=AD+BD求出AB的长，从而得到 AC2+BC2=AB2 ，再利用勾股定理逆定理证明.
18．（2023八上·太原期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米.请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离.
【答案】解：米，米，米，
，，
，
是直角三角形，其中
.
米，
在中，由勾股定理得，
米
答：，两点间的距离为15米.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出AB的长即可.
1 / 1【基础版】北师大版数学八上1.2一定是直角三角形吗？同步练习
一、选择题
1．（2019八上·惠山期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
2．（2019八上·昌图月考）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
3．（2024八上·贵阳月考）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是( )
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
4．（2020八上·重庆期中）在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，以下说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 是直角三角形
B．若 ，则 是直角三角形
C．若 ，则 是直角三角形
D．若 ， ， ，则 是直角三角形
5．（2018八上·扬州月考）在⊿ 中，若 ，则⊿ 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
6．（2023八上·瑞昌期中）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·沈阳期中）已知 ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
8．（2023八上·四川期中） 如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A． B．12﹣3 C． D．3
二、填空题
9．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
10．如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，则BC的长为 .
11．已知在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则AC边上的中线BD的长为 .
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
13．（2023八上·兰州期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．
三、解答题
14．（2024八上·遂川期末）如图，在四边形中，，BD平分，，E为上一点，，，求证：．
15．（2024八上·万州期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
16．（2024八上·绿园期末）如图，有一张四边形纸片，°．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
17．（2023八上·瑞昌期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=4，BC=3，AD=.
（1）求CD，BD的长；
（2）试说明△ABC是直角三角形.
18．（2023八上·太原期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米.请根据他们的操作过程，求出，两点间的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设相邻两个结点之间的距离为m，
则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
是直角三角形，故 正确；
，
是直角三角形，故 正确；
，
是直角三角形，故 正确；
， ， ，
不是直角三角形，故 错误；
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和180°及直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形可判断A、C；利用勾股定理的逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，可判断B、D，从而得出答案.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，
故答案为：D.
【分析】由于该三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，故该三角形是直角三角形。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据（a-b）（c2-a2-b2）=0，得出a=b或a2+b2=c2，求出a、b、c之间的数量关系进行判断。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长交于点E，如图：
∵四边形为正方形，边长为15，
，，
，，，
，，
，
即为直角三角形，则，
同理：，
在和中，
，
，
，，
，，
，
又，，
，，
，
在和中，
，
，，，
，
同理：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理求解。延长交于点E，先利用勾股定理的逆定理证，，再证和全等得，进而可得，，由此可得和全等，进而得，，，据此得，，然后在中由勾股定理可求出的长．
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
10．【答案】14
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵
∴三角形ADC是直角三角形，∠ADC=
∴∠ADB=∠ADC=
∴BD==9
∴BC=BD+DC=9+5=14
故答案为：14.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；根据勾股定理，可得BD的长，进而可以求出BC的值.
11．【答案】6.5
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵
∴三角形ABC是直角三角形
∴BD=AC=6.5
故答案为：6.5.
【分析】根据勾股定理的逆应用，三角形三条边a、b、c满足s时，该三角形是直角三角形；
根据直角三角形斜边上的中线性质，斜边中线长度=斜边的长度求解即可.
12．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．【答案】45°
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，由题意可得：
，，
∵，即
∴△ABC为等腰直角三角形
∴
故答案为：45°
【分析】连接AC，根据正方形性质结合勾股定理可求出三角形三边长，再根据勾股定理点逆定理可判断△ABC为等腰直角三角形，即可求出答案.
14．【答案】证明：，，，
，
是直角三角形，，
又，平分，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据给定的三角形的三边长分别为3、4、5，是非常熟悉的符合勾股定理的数，可判定垂直，，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推导出 AD=CD 。
15．【答案】（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再利用等面积法可列出式子，代入数据可求出答案；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三角形的性质可得：，比较与的大小可判断是否有危险需要暂时封锁 ，再利用勾股定理得，可求出 需要封锁的公路长．
16．【答案】（1）解：连结．
在中，°，，，
．
即、两点之间的距离为
（2）解：，
∴△ACD是直角三角形且，
四边形纸片的面积
（7分）
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连结，先根据勾股定理求出AC，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且， 进而根据“四边形纸片的面积”即可求解。
17．【答案】（1）解：因为CD⊥AB，
所以∠ADC=∠BDC=90°.
所以△ADC和△BDC都是直角三角形.
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，
所以CD=
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2，
所以BD=
所以CD的长为，BD的长为
（2）解：由（1）可得AB=AD+BD=+=5
在△ABC中，因为AC2+BC2=32+42=25，AB2=52=25，
所以AC2+BC2=AB2....分
所以△ABC为直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1) 由CD⊥AB得△ADC和△BDC都是直角三角形，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，在Rt△BCD中，利用勾股定理列式计算即可求出BD ；
(2)根据AB=AD+BD求出AB的长，从而得到 AC2+BC2=AB2 ，再利用勾股定理逆定理证明.
18．【答案】解：米，米，米，
，，
，
是直角三角形，其中
.
米，
在中，由勾股定理得，
米
答：，两点间的距离为15米.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出AB的长即可.
1 / 1
