保定市2023-2024学年高一下学期期末调研考试
数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. 1 B. －1 C. D.
2. 已知直线m，平面、、，下面条件能推出的是（ ）
A. ， B. ，
C. m与、所成的角相等 D. ，
3. 若一组数据3，4，m，7，9的平均数为6，则这组数据的方差是（ ）
A. 3 B. C. D.
4. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，，则c为（ ）
A. B. C. D. 5
5. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（ ）
A. A与C互斥 B. A与B相互独立 C. D.
8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，互为共轭复数，则
B. 若复数z满足，则复数z对应的点在以点为圆心，3为半径的圆上
C. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
D. 若是关于x的方程的一个根，其中p，q为实数，则
10. 设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知，，则
C. 已知，，则
D. 已知，，若，则
11. 正方体的棱长为2，点M是四边形内部及边界上一动点，点P是棱上靠近点A的三等分点，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 当直线AM与平面所成的角为时，点M的轨迹长度为
C. 若，则点M的运动轨迹长度为
D. 直线被正方体的外接球所截得的线段的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
13. 在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为______m.
14. 我国古代《九章算术》中将底面为矩形，顶部为一条棱，且棱与底面平行的五面体称为刍甍，如图，刍甍有外接球，且，，，，则该刍甍外接球的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动.某市宣传部门为了了解广大青年的学习情况，从全市随机抽取了1000名共青团员进行调查，统计他们2023年下半年的学习时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计学习时长的样本数据的67%分位数；
（2）为了解广大青年学习的具体情况，现采用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中再抽取50人参加座谈，则参加座谈的共青团员中学习时长在区间内的有多少人？
16.（15分）
如图在长方体中，，，点E在棱AB上移动.
（1）证明：；
（2）若点E满足，求二面角的平面角的正切值.
17.（15分）
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.
（1）第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；
（2）三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.
18.（17分）
一块四棱锥木块如图所示，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，且，.
（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA，在木料表面该怎样画线？并说明理由；
（2）计算（1）中所得截面的面积；
（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.
19.（17分）
阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则.
（1）若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长；
（2）请证明题干中的定理；
（3）如图中，若，D为BC中点，，，，求的值.2023-2024 学年第二学期高一数学期末调研考试
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.A. 2. D 3.C 4．B 5.D 6.B 7.C 8.C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。（部分选对中如有
三个正确选项，选对一个得 2 分，选对两个得 4 分；如有两个正确选项，选对一个得 3
分.）
9.ACD 10.BD 11.ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12. 13．225 2 14.2082
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：
（1） （0.002+0.003+0.006+a+0.018+0.008+0.004）×20=1 …………………1分
即 0.041+a=0.05
a=0.009 ……………………………………………………………2分
由图可知，学习时长在 170 分钟以下的团员所占比例为：
（0.002+0.003+0.006+0.009）×20=0.4=40% ……………………………………3分
学习时长在 190 分钟以下的团员所占的比例为：0.4+0.018×20=0.76=76% ……4分
170，190
因此，67%分位数一定位于 内，
0.67 0.40
法 1：由170 20 185
0.76 0.40
法 2：设样本数据的 67%分位数约为x,则（x-170）×0.018=0.67-0.40，解得x=185
可以估计学习时长的样本数据的 67%分位数约为 185. ……………………………8分
150，170（2）由图可知，学习时长位于 内的团员共有1000 0.009 20 180人，…10 分
因为采用的是比例分配的分层随机抽样方法，从 1000 人中再抽取 50 人参加座谈
50
150，170 180 9人
所以参加座谈的团员中学习时长在区间 内有1000 .……………13 分
16. 解：
(1)证明：连接 AD1 ,
1
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}
ABCD A1B1C1D1 为长方体， AB 平面ADD1A1 …………1分
A1D 平面ADD1A , AB A1D …………………………………………………2分
又 点 E在棱 AB上移动， A1D AE …………………………………………………3分
AD AA1 1， 四边形 ADD1A1为正方形， A1D AD1 ………………………4分
又 AD1 D1E D1且AD1 面AD1E ,D1E 面AD1E
A1D 面AD1E ………………………………………6分
又 AE 面AD1E
A1D AE
………………………………………………………………………………………………7分
(2) 解： AE 1 AB, AE 1,BE 1 ………………………………………………8分
2
连接 DE,计算得DE 2, EC 2 ，DC= 2 ，由勾股定理逆定理得DE CE , ………10 分
法 1： D1D 面ABCD且CE 面ABCD D1D CE，
又 D1D 面D1DE，DE 面D1DE，D1D DE D CE 面D1DE , CE D1E
法 2：
D1D 面ABCD且DE 面ABCD D1D DE D1E 3
又 EC 2,D1C 5
EC2 D E2 5 DC21 1 D1E EC
D1ED为二面角D1 EC D的平面角 …………………………………………13 分
由题可知D1D DE ,所以在直角三角形D1DE中，
DE 2 ,D1D 1, tan 2 D ED= …………………………………………………15 分1 2
17. 解：
（1）用数字 m表示第一次抛掷骰子出现的点数是 m，数字 n表示第一次抛掷骰子出现的点数
是 n，则数组 m,n 表示这个试验的一个样本点。因此该试验的样本空间
= m,n m,n 1,2,3,4,5,6
其中共有 36 个样本点. ………………………2分
记“两次点数之和为 6”为事件 A,
则 A={（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3）}，即 n(A)=5 ………………………3分
2
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}
记“两次点数之和能被 4整除”为事件 B,
则 B={（1,3），（3,1），（2,2），（2,6），（6,2），（3,5），（5,3），（4,4），（6,6）}，
即 n(B)=9 ………………………4分
连续掷骰子两次的基本事件总数为 36.
5
所以由乙先发球的概率为 ， ………………………5分
36
1
由丙先发球的概率为 4 ， ………………………6分
这个方法不公平. …………………………………………………………7分
（2）法 1:用树状图列举每局当裁判的可能一共 8种。
………………10 分
其中甲当两局裁判的可能为 6种. ………………………………………………13 分
6 = 3
所以在四局比赛中甲当 2局裁判的概率为 8 4 . ………………………………15 分
法 2：因为前三局各局比赛的胜负决定着这四局谁当裁判，所以只需要考虑前三局比赛各局
的胜负情况即可。样本空间 ={(乙胜，乙胜，乙胜),(乙胜，乙胜，丙胜),(乙胜，甲胜，甲
胜),(乙胜，甲胜，丙胜},(丙胜，丙胜，丙胜),(丙胜，丙胜，乙胜),(丙胜，甲胜，甲胜),(丙
胜，甲胜，乙胜)},一共有 8个样本点，且每个样本点是等可能发生的. ……………10 分
记“四局比赛中甲当两局裁判”为事件 A，
因为 A={(乙胜，乙胜，乙胜),(乙胜，乙胜，丙胜),(乙胜，甲胜，丙胜},(丙胜，丙胜，丙
胜),(丙胜，丙胜，乙胜),(丙胜，甲胜，乙胜)}，所以 n（A）=6， ………………13 分
从而
P(A) n(A) 6 3
n( ) 8 4 ………………15 分
3
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}
18.解： (1)连接AC和BD,相交于点E,
取SC的中点，记为点P，连接EP ,DP , BP ，则DP,BP即为所画的线，……………………1分
理由如下：
四边形ABCD为平行四边形
点E为AC的中点
……………………………………………………………2分
又 点P为SC的中点
PE为三角形SAC的中位线
PE / /SA ……………………………………………………3分
又 PE 面PBD且SA 面PBD
SA / /面PBD
……………………………………………………………4分
(2) AB 4, AD BC 2, BAD 60
BD 2 AB 2 AD 2 2AB AD BAD
16 4 2 4 2 cos 60
12
BD2 AD2 12 4 16 AB2
AD BD
BC BD …………………………………………………5分
又 SD 面ABCD且BC 面ABCD
BC SD
又 SD 面SBD,BD 面SBD且SD BD D
BC 面SBD
又 SB 面SBD …………………………………………7分
BC SB
BP 1 SC
2
4
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}
又 SD DC
DP 1 SC
2
又 SC SD2 DC 2 4 16 2 5
DP BP 5
…………………………………………………………9分
又 BD 2 3
BE 3
PE BP2 BE 2 2
1
S PBD 2 3 2 62
……………………………………………………………11分
(3)设点C到平面PBD的距离为h
VP BCD VC PBD
1
S 1 1 S …………………………13 分
3 BCD 3 PBD
h
1
即 2 2 3 1= 6 h
2
h= 2 …………………………15 分
h 2 10
直线SC与平面PBD所成角的正弦值为
PC 5 5
…………………………17分
19.解：（1）由余弦定理可知：BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos BAC
即：BC 2 =25+9 2 1 5 3 =19 2分
2
19 7
由题中定理可得：25+9=2(AD2 ),解得AD=
4 2
7
即三角形BC边上的中线长为 .
2
…………………………………………………………………… 4分
(2)证明：
2 2
:1 ABC cosB BC AB AC
2
法 ：在 中， …………………………5分
2BC AB
1
ABD BD2 AB2 AD2 BC
2 AB2 AD2
在 中， cos B 4 …………………………7分
2BD AB BC AB
cosB cosB , 1化简得 AB2 AC2 2AD2 BC2 2(AD2 BD2)…………………9分
2
5
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}
2 2
2 ABD cos ADB AD BD AB
2
法 ：在 中 ,
2AD BD
2 2 2
在 ADC cos ADC AD CD AC中
2AD CD
cos ADB cos ADC 0 ,化简得 AB2 AC 2 2(AD 2 BD 2 )
法 3：向量方法
AD是三角形BC边上的中线
1
AD (AB AC),BC AC AB
2
2 1 2
：AD = (AB AC)2，BC （AC AB）2
4
1
即：AD2 (AB2 AC 2 2AB AC),BC 2 AC 2 AB2 2AB AC
4
4AD2 AB2 AC 2 2AB AC
4AD2 BC 2 2(AB2 AC 2),即：AB2 AC 2=2 AD2+ BC)2 （ 2
（3）解：(ⅰ) a sin A 3b sin B 3b sin(A C ) ， a sin A=3b[sin(A C ) sin B]，
a sin A=3b[sin(A C) sin（A C）] , a sin A= 6b cos A sinC
设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c
a 2 = 6bc cos A，
b2 c2 a2a2 = 6bc ，b2
2
c2 a2 24 . …………………………12 分
2bc 3
AB2 AC 2 2(AD 2 BD 2 ) , BD 3 ,所以 AD 3 …………………………13 分
S ABC = 2S
1
ADC = 2 AD DC sin ADC =
3 3 ,
2 2
所以 sin ADC
1
= ，即 ADC= ， …………………………15 分
2 6
2 2 2
在 ADC中， cos ADC AD CD AC ，得 AC 3 . …………………16 分2AD CD
2
在等腰 ADC中， DAC=
3
1
所以 cos DAC= …………………………17 分
2
6
{#{QQABLYAAogioAIIAAQhCQQ0YCgIQkBAACSgOxBAEIAIAQQNABAA=}#}
