2023级高一期末调研检测试卷
数学
1
一、单项选择题：每题5分，共40分在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数(1+2i)2在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D,第四象限
2.已知单位向量a,6满足a6=
则3a+6
A.√0
B.3
C.V13
D.4
3.己知命题甲：“非零向量a,,c,若ac=ic,则a=i”:命题乙：“非零复数，乙2,23，
若23=2233，则z1=22”,则
A.命题甲和命题乙都为真命题
B.命题甲为真命题，命题乙为假命题
C.命题甲为假命题，命题乙为真命题
D.命题甲和命题乙都为假命题
4.已知直线m,α，B是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若m∥a,m∥B,则a∥B
B.若m∥a,m⊥B,则a⊥B
C.若m⊥a,a⊥B,则m⊥B
D.若m∥，a⊥B,则m⊥B
5.向量AB在向量AC上的投影向量为AC,且|AB-AC曰AC=2,则AB=
A.2
B.√2
C.4
D.2W2
6.已知角a,B的终边与单位圆⊙O的交点分别为P,2,O为坐标原点，若P(-sinB,cosB)
则0P.00=
A.0
B.1
C.2
D.4
7.在△ABC中，若AB=AC,则coSA+coSB的取值范围为
9
A(
B岭
c
p.喝
8.如图，边长为2的正方形ABB,A为圆柱OO的轴截面，EF是
圆O的直径，点E从B,点出发，沿着圆O逆时针方向转动一圈，
记点E运动的路程为x,三棱锥E-FBA的体积为y，则函数
y=f(x)的图象大致为
2
D.
一高一数学第1页（共4页）一
…7
碳3扫描全能王
台装四大思六得的E情e
二、多项选择题：每题6分，共18分在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部
选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足zi=4-z,则下列结论正确的是（)
A.z的虚部为-2iB.|z=2W2
C.z2为纯虚数
D.z=-2+2i
10.已知函数y=f四=5c0(穿x+0K)的部分图象如图所示M,N分别是函数图
象的最高点和最低点，记∠MON=0,则下列结论正确的是
A.函数f(x)的单调递增区间为[3+8k,7+8k],k∈Z
B.函数f(x)的对称中心为(1+4k,0),k∈Z
C.=37
4
D.tan(0-gp)=-2-√5
11.函数∫(x)=x-[x]是物理中常见的锯齿波函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，标准
锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复.下列说法正确的有
A.[x+1=[x]+1
3,函数y=2x-[2x)的最小正周期为
C.函数y=3x-[3x-1]的值域为[1,2]
D.函数y=x一[-x]为周期函数
三、填空题：每题5分，共15分.
12.己知圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为
13.,在AMBC中，角4B,C的对边分别为a,6c,若b=5,c=7,C=行，则4ABC的面
积为
14.如图，曲线C是以O为圆心，半径为1的半圆弧，AB为
圆O的直径，现将C,上的每个点的纵坐标伸长为原来的2倍、
C2
的，横坐标不变，分别得到曲线C
C
AB的直线与曲线C,C2,C分别相交于？，P2,乃三个不同的点，
则1 OP OR的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤
15.(本题13分)已知复数z是关于x的方程x2+4x+5=0的一个根，且复数z在复平面内
所对应的点在第二象限。
(1)求z;
(2)若复数z,z2所对应的向量分别为a,b,且(2a+b)L(a-b),求1的值.
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器⑤扫描全能王
台装四人思得的Ee又因为底面 ABCD为菱形，所以 AC BD， 3 2023级高一期末调研检测试卷 1
PA AC A BD PAC 13 所以 (CA CB) ( CA CB) 0， 又因为 ，所以 平面 ， …………………………………… 分 2 3
数学 参考答案及评分意见 所以PC BD . …………………………………… 15 分 11 2 1 2
一、单项选择题：每题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 18．【解析】（1）因为正棱柱 ABC ABC ，所以 ABC为等边三角形， 则 CA CB CA CB ， …………………… 14 分 1 1 1 6 2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 因为M 为 AC的中点，所以BM AC， 11 2 1 2
由题意知 AA 平面 ABC，所以 AA BM ， 所以 |CA | |CB | cos ACB |CA | |CB | ， 1 1 6 2
答案 B C C B D A A D
又因为 AA1 AC A，所以BM 平面 ACC1A1 ， …………………… 3 分 1 1 2 2
二、多项选择题：每题 6 分，共 18 分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部 BM BMC |CA | |CB |
2 |CA | |CB |
又因为 平面 ，所以平面BMC 平面 ACC A ； …………………… 5 分 2 2 6 2
选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 1 1 1 1 所以cos ACB ，
（2）因为正三棱柱 ABC ABC 中，E为BB 的中点， 11 11 11
题号 9 10 11 1 1 1 1 |CA | |CB | |CA | |CB |
所以EA EC1 ，又因为 AEC1为直角三角形，所以 AEC1 90 ， ……………… 7 分 6 6
答案 BC ABD AB 2 6 2
即 AE EC ，设 AB a,BE b，则 AE EC a2 b2 ， AC a2 4b2 ， 当且仅当 |CA | |CB |时，cos ACB的最小值为 . …………………… 17 分 1 1 1
三、填空题：每题 5 分，共 15 分. 2 11
2
5 所以a b
2 a2 b2 a2 4b2 ，则a 2b，
12． 5π ； 13．10 3 ； 14． .
4 EB b 2
所以 tan EAB ； …………………… 11 分
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. AB a 2
15 2．【解析】因为 x 4x 5 0，所以 (x 2)2 1， （3）因为 AB 4 ，设BE b, AM x，
则 x 1 11 2 i 或 x2 2 i ， …………………………………… 3 分 则VA BCC E (b 2b) 4 2 3 4 3b， …………………… 13 分 1
因为复数 z在复平面内所对应的点在第二象限， 3 2
所以 z 2 i； …………………………………… 6 分 1 1 3 2 3
2 VA MC B VC AMB 4x 2b bx， …………………… 15 分
（2） 因为 z 2 i，所以 z 2 i， z 3 4i，
1 1 3 2 2 3
所以 a ( 2, 1),b (3, 4)， …………………………………… 8 分
3 3
因为VA BCC E 4V1 A MC B，所以 x ，则 AM . …………………… 17 分 1
所以 a b ( 2 3, 4)，a b ( 5,3) ， …………………………………… 10 分 2 2
19．【解析】（1）因为E为 AD的中点， 27
因为 ( a b) (a b) ，所以10 15 3 12 0，所以 . ……………… 13 分 1 3
7 所以BE BA AE CA CB CB CA CB， …………………… 3 分
2 2
16．【解析】（1）因为 4sin 3cos 5，则 4sin 5 3cos ，
3 1
所以16sin2 25 40sin 9cos2 ， …………………………………… 3 分 所以 , 1，则 ； …………………… 5 分
2 2
则 25sin2 40sin 16 0，
2π
4 （2）因为 AB 2AE 2 7 ， BAD ， 则 sin ； …………………………………… 7 分 3
5
BE 2 AB24 由 AE
2 2AB AE cos BAE，
（2）因为sin ， 4sin 3cos 5，所以cos 3 ， 1
5 5 得到BE2 28 7 2 2 7 7 ( ) 49，所以BE 7，…………………… 8 分
4 2
则 tan ……………………………… 11 分 1
3 因为E为 AD的中点，所以 AM CA，
cos 2 cos2 sin2 cos sin 1 tan 3
所以 7 . …………… 15 分 3 3 1
1 sin 2 (sin cos )2 sin cos tan 1 因为BF 2FC，所以 AN AF CA CB，
7 7 7
17．【解析】（1）如图，连接CF ，并延长交BD于点O， 2 1
因为点E在底面 ABCD的投影恰好为 BCD的重心F ， P 所以NM AM AN CA CB，
所以点O为BD的中点，连接 AO， 21 7
因为底面 ABCD为菱形，所以C,F,O,A四点共线， 3 2又因为BE CA CB，所以NM BE，
因为点F 为 B C D的重心，所以 AC 3CF ， …………… 4 分
2 21
2
又因为PC 3EC，所以EF∥PA， E 因为BE 7，所以 | NM | ； …………………… 11 分
因为EF 在平面PAB 3外，PA在平面PAB内，
D 1
所以EF∥平面PAB； …………… 8 分 F A （3）因为BF 2FC，所以 AF AC CF CA CB，
O
（2）因为EF 3平面 ABCD，EF∥PA， C B
所以PA 平面 ABCD，所以PA BD， ……… 10 分 因为BE AF ，所以BE AF 0，
— 高一 数学 第1页（共3页）— — 高一 数学 第2页（共3页）— — 高一 数学 第3页（共3页）—
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又因为底面 ABCD为菱形，所以 AC BD， 3 2023级高一期末调研检测试卷 1
PA AC A BD PAC 13 所以 (CA CB) ( CA CB) 0， 又因为 ，所以 平面 ， …………………………………… 分 2 3
数学 参考答案及评分意见 所以PC BD . …………………………………… 15 分 11 2 1 2
一、单项选择题：每题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 18．【解析】（1）因为正棱柱 ABC ABC ，所以 ABC为等边三角形， 则 CA CB CA CB ， …………………… 14 分 1 1 1 6 2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 因为M 为 AC的中点，所以BM AC， 11 2 1 2
由题意知 AA 平面 ABC，所以 AA BM ， 所以 |CA | |CB | cos ACB |CA | |CB | ， 1 1 6 2
答案 B C C B D A A D
又因为 AA1 AC A，所以BM 平面 ACC1A1 ， …………………… 3 分 1 1 2 2
二、多项选择题：每题 6 分，共 18 分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部 BM BMC |CA | |CB |
2 |CA | |CB |
又因为 平面 ，所以平面BMC 平面 ACC A ； …………………… 5 分 2 2 6 2
选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 1 1 1 1 所以cos ACB ，
（2）因为正三棱柱 ABC ABC 中，E为BB 的中点， 11 11 11
题号 9 10 11 1 1 1 1 |CA | |CB | |CA | |CB |
所以EA EC1 ，又因为 AEC1为直角三角形，所以 AEC1 90 ， ……………… 7 分 6 6
答案 BC ABD AB 2 6 2
即 AE EC ，设 AB a,BE b，则 AE EC a2 b2 ， AC a2 4b2 ， 当且仅当 |CA | |CB |时，cos ACB的最小值为 . …………………… 17 分 1 1 1
三、填空题：每题 5 分，共 15 分. 2 11
2
5 所以a b
2 a2 b2 a2 4b2 ，则a 2b，
12． 5π ； 13．10 3 ； 14． .
4 EB b 2
所以 tan EAB ； …………………… 11 分
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. AB a 2
15 2．【解析】因为 x 4x 5 0，所以 (x 2)2 1， （3）因为 AB 4 ，设BE b, AM x，
则 x 1 11 2 i 或 x2 2 i ， …………………………………… 3 分 则VA BCC E (b 2b) 4 2 3 4 3b， …………………… 13 分 1
因为复数 z在复平面内所对应的点在第二象限， 3 2
所以 z 2 i； …………………………………… 6 分 1 1 3 2 3
2 VA MC B VC AMB 4x 2b bx， …………………… 15 分
（2） 因为 z 2 i，所以 z 2 i， z 3 4i，
1 1 3 2 2 3
所以 a ( 2, 1),b (3, 4)， …………………………………… 8 分
3 3
因为VA BCC E 4V1 A MC B，所以 x ，则 AM . …………………… 17 分 1
所以 a b ( 2 3, 4)，a b ( 5,3) ， …………………………………… 10 分 2 2
19．【解析】（1）因为E为 AD的中点， 27
因为 ( a b) (a b) ，所以10 15 3 12 0，所以 . ……………… 13 分 1 3
7 所以BE BA AE CA CB CB CA CB， …………………… 3 分
2 2
16．【解析】（1）因为 4sin 3cos 5，则 4sin 5 3cos ，
3 1
所以16sin2 25 40sin 9cos2 ， …………………………………… 3 分 所以 , 1，则 ； …………………… 5 分
2 2
则 25sin2 40sin 16 0，
2π
4 （2）因为 AB 2AE 2 7 ， BAD ， 则 sin ； …………………………………… 7 分 3
5
BE 2 AB24 由 AE
2 2AB AE cos BAE，
（2）因为sin ， 4sin 3cos 5，所以cos 3 ， 1
5 5 得到BE2 28 7 2 2 7 7 ( ) 49，所以BE 7，…………………… 8 分
4 2
则 tan ……………………………… 11 分 1
3 因为E为 AD的中点，所以 AM CA，
cos 2 cos2 sin2 cos sin 1 tan 3
所以 7 . …………… 15 分 3 3 1
1 sin 2 (sin cos )2 sin cos tan 1 因为BF 2FC，所以 AN AF CA CB，
7 7 7
17．【解析】（1）如图，连接CF ，并延长交BD于点O， 2 1
因为点E在底面 ABCD的投影恰好为 BCD的重心F ， P 所以NM AM AN CA CB，
所以点O为BD的中点，连接 AO， 21 7
因为底面 ABCD为菱形，所以C,F,O,A四点共线， 3 2又因为BE CA CB，所以NM BE，
因为点F 为 B C D的重心，所以 AC 3CF ， …………… 4 分
2 21
2
又因为PC 3EC，所以EF∥PA， E 因为BE 7，所以 | NM | ； …………………… 11 分
因为EF 在平面PAB 3外，PA在平面PAB内，
D 1
所以EF∥平面PAB； …………… 8 分 F A （3）因为BF 2FC，所以 AF AC CF CA CB，
O
（2）因为EF 3平面 ABCD，EF∥PA， C B
所以PA 平面 ABCD，所以PA BD， ……… 10 分 因为BE AF ，所以BE AF 0，
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又因为底面 ABCD为菱形，所以 AC BD， 3 2023级高一期末调研检测试卷 1
PA AC A BD PAC 13 所以 (CA CB) ( CA CB) 0， 又因为 ，所以 平面 ， …………………………………… 分 2 3
数学 参考答案及评分意见 所以PC BD . …………………………………… 15 分 11 2 1 2
一、单项选择题：每题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 18．【解析】（1）因为正棱柱 ABC ABC ，所以 ABC为等边三角形， 则 CA CB CA CB ， …………………… 14 分 1 1 1 6 2
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 因为M 为 AC的中点，所以BM AC， 11 2 1 2
由题意知 AA 平面 ABC，所以 AA BM ， 所以 |CA | |CB | cos ACB |CA | |CB | ， 1 1 6 2
答案 B C C B D A A D
又因为 AA1 AC A，所以BM 平面 ACC1A1 ， …………………… 3 分 1 1 2 2
二、多项选择题：每题 6 分，共 18 分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部 BM BMC |CA | |CB |
2 |CA | |CB |
又因为 平面 ，所以平面BMC 平面 ACC A ； …………………… 5 分 2 2 6 2
选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 1 1 1 1 所以cos ACB ，
（2）因为正三棱柱 ABC ABC 中，E为BB 的中点， 11 11 11
题号 9 10 11 1 1 1 1 |CA | |CB | |CA | |CB |
所以EA EC1 ，又因为 AEC1为直角三角形，所以 AEC1 90 ， ……………… 7 分 6 6
答案 BC ABD AB 2 6 2
即 AE EC ，设 AB a,BE b，则 AE EC a2 b2 ， AC a2 4b2 ， 当且仅当 |CA | |CB |时，cos ACB的最小值为 . …………………… 17 分 1 1 1
三、填空题：每题 5 分，共 15 分. 2 11
2
5 所以a b
2 a2 b2 a2 4b2 ，则a 2b，
12． 5π ； 13．10 3 ； 14． .
4 EB b 2
所以 tan EAB ； …………………… 11 分
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. AB a 2
15 2．【解析】因为 x 4x 5 0，所以 (x 2)2 1， （3）因为 AB 4 ，设BE b, AM x，
则 x 1 11 2 i 或 x2 2 i ， …………………………………… 3 分 则VA BCC E (b 2b) 4 2 3 4 3b， …………………… 13 分 1
因为复数 z在复平面内所对应的点在第二象限， 3 2
所以 z 2 i； …………………………………… 6 分 1 1 3 2 3
2 VA MC B VC AMB 4x 2b bx， …………………… 15 分
（2） 因为 z 2 i，所以 z 2 i， z 3 4i，
1 1 3 2 2 3
所以 a ( 2, 1),b (3, 4)， …………………………………… 8 分
3 3
因为VA BCC E 4V1 A MC B，所以 x ，则 AM . …………………… 17 分 1
所以 a b ( 2 3, 4)，a b ( 5,3) ， …………………………………… 10 分 2 2
19．【解析】（1）因为E为 AD的中点， 27
因为 ( a b) (a b) ，所以10 15 3 12 0，所以 . ……………… 13 分 1 3
7 所以BE BA AE CA CB CB CA CB， …………………… 3 分
2 2
16．【解析】（1）因为 4sin 3cos 5，则 4sin 5 3cos ，
3 1
所以16sin2 25 40sin 9cos2 ， …………………………………… 3 分 所以 , 1，则 ； …………………… 5 分
2 2
则 25sin2 40sin 16 0，
2π
4 （2）因为 AB 2AE 2 7 ， BAD ， 则 sin ； …………………………………… 7 分 3
5
BE 2 AB24 由 AE
2 2AB AE cos BAE，
（2）因为sin ， 4sin 3cos 5，所以cos 3 ， 1
5 5 得到BE2 28 7 2 2 7 7 ( ) 49，所以BE 7，…………………… 8 分
4 2
则 tan ……………………………… 11 分 1
3 因为E为 AD的中点，所以 AM CA，
cos 2 cos2 sin2 cos sin 1 tan 3
所以 7 . …………… 15 分 3 3 1
1 sin 2 (sin cos )2 sin cos tan 1 因为BF 2FC，所以 AN AF CA CB，
7 7 7
17．【解析】（1）如图，连接CF ，并延长交BD于点O， 2 1
因为点E在底面 ABCD的投影恰好为 BCD的重心F ， P 所以NM AM AN CA CB，
所以点O为BD的中点，连接 AO， 21 7
因为底面 ABCD为菱形，所以C,F,O,A四点共线， 3 2又因为BE CA CB，所以NM BE，
因为点F 为 B C D的重心，所以 AC 3CF ， …………… 4 分
2 21
2
又因为PC 3EC，所以EF∥PA， E 因为BE 7，所以 | NM | ； …………………… 11 分
因为EF 在平面PAB 3外，PA在平面PAB内，
D 1
所以EF∥平面PAB； …………… 8 分 F A （3）因为BF 2FC，所以 AF AC CF CA CB，
O
（2）因为EF 3平面 ABCD，EF∥PA， C B
所以PA 平面 ABCD，所以PA BD， ……… 10 分 因为BE AF ，所以BE AF 0，
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