2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则从到的平均变化率为( )
A. B.
C. D.
3.今年贺岁片，第二十条、热辣滚烫、飞驰人生引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则这个容器的容积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设的小数部分为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A.
B. 为正整数且
C.
D. 满足方程的值可能为或或或
10.设，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
11.设函数，则( )
A.
B. 函数有最大值
C. 若，则
D. 若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的一次项的系数为______用数字作答．
13.曲线过原点的切线方程为______．
14.将，，，，这个数填入如图所示的格子中要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数，记第行中最大的数为，第行中最大的数为，第行中最大的数为，则的填法共有______种用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
请回答下列问题：
现有份不同的礼物，平均分给甲乙丙人，有多少种分法？
由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？
某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数相等．
求的值；
求展开式中的有理项；
若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项．
18.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
若在处的切线与直线垂直，求的值；
讨论函数的单调性；
当时，求证：．
19.本小题分
青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率考察图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为它等于的倾斜角与的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．
求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
已知函数，求曲线的曲率的最大值；
已知函数，若，曲率为时的最小值分别为，，求证：．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.和
14.
15.解：由题意不同的方法种；
若个位是，则有种，
若个位不是，先从、中选一个放个位，
再从刚选的数字和之外的个中选个放在首位，
中间两位从剩余个中选个排上即可，共有种，
所以没有重复数字的四位偶数共个；
分类计数：
若不选会双语的导游，则有种，
若选会双语的导游，则有种，
故不同的选择方法有种．
16.解：，定义域为，
，
令，则，函数的单调递增区间为；
令，则，函数的单调递减区间为．
，在区间上随的变化情况如下表：


极大值
，．
17.解：由题意可得，所以；
展开式的通项为，
当为整数时，，，，
所以展开式中的有理项为，，；
令，则，
所以展开式中项的系数为，得，
又，所以，
所以二项式的展开式的通项公式为，
设第项为系数绝对值最大的项，则，
解得，又且，所以或，
所以展开式中系数的绝对值最大的项为和．
18.解：，
由题意得，
解得；
解：，
当时，，
易得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，由得，
若时，，
易得，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，恒成立，函数在上单调递增，
当时，，
易得，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
综上，时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；
证明：因为，即，
所以，
令，，
令，，
则，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
所以．
19.解：由题意单位圆上圆心角为的圆弧，
根据定义可得平均曲率；
由可得，
又可得，
所以，
由题意，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即曲线的曲率的最大值为；
证明：由可得，
记，则，
同理由可得，
记，则，
若，曲率为时，即，，可得，
化简可得；
令，则，由可得，
则当时，，此时单调递增，且；
当时，，此时单调递减，且；
则的图象如图所示：
又，结合的图象可得有两解，
设这两解分别为，，且，
又，
因为，最小，因此，
由，可设，
故，
化简可得，则，
要证，即证，
即，也即，
即证，
令，则，
所以在区间上单调递增，
故，故．
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