2023-2024学年广东省广州市执信中学高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年广东省广州市执信中学高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量的分布列如表：
设，则的数学期望的值是( )
A. B. C. D.
3.若某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，则在他连续次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
6.在，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则( )
A. B. C. D.
8.在边长为的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案设第个正方形的边长为其中第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，，第个直角三角形阴影部分的面积为其中第个直角三角形的面积为，第个直角三角形的面积为，，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C. 数列的前项和取值范围是
D. 数列是公比为的等比数列
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为若前两局中乙队以：领先，则( )
A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以：获胜的概率为
C. 乙队以：获胜的概率为 D. 乙队以：获胜的概率为
10.下列命题中说法正确的是( )
A. 已知随机变量，若，，则
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则他最有可能命中或次
11.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 存在正整数，使得恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一批产品，其中有件正品和件次品，从中任取件，至少有件次品的概率为________．
13.设点是曲线上一点，则点到直线：最小的距离为______．
14.若数列满足，，若，抽去数列的第项、第项、第项、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前项的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
若，求；
若，求，．
16.本小题分
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率
球队胜率
当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；
当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
17.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，点．
若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求的面积；
若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四面体中，，，两两垂直，，是线段的中点，是线段的中点，点在线段上，且．
求证：平面；
若点在平面内，且平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
求曲线在的曲率；
已知函数，求曲率的平方的最大值；
函数，若在两个不同的点处曲率为，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，
故；
，
，
，，
则，
，
，即，
由解得，
，
，又，
．
16.解：设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
球队某场比赛赢球的概率为．
由知，
，
球员甲担当前卫的概率．
同，
，
由于，
应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率．
17.解：由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为，
直线的方程为，设，，
联立方程组，消去整理得，
则，
所以，
所以的面积为
因为，所以，所以或，
所以，
对称轴为，
由题意，，，
所以实数的取值范围为．
18.证明：作，交于点，作，交于点，
是线段的中点，是线段的中点，，
且，
，，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
解：如图，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设，则，
平面，可设，，，即，
解得，即，
，
平面，
，即，解得，
点坐标为，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：，则，，
．
，则，，
，
则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
，最大值为．
，，
，
，，
在两个不同的点处曲率为，
有两个大于的不同实数解，
即有两个不同的零点．
令，
，
在上单调递增，且值域为，
有两个大于的实数解，
等价于，有两个不同的实数解．
令，，则，
令得，
时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
，
又当时，；
当时，；
的图象如下所示：
又有两个实数解，
．
的取值范围为．
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