2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知的直观图如图所示，轴，轴，且，则在中，( )
A.
B.
C.
D.
3.已知复数，，为虚数单位，且，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.在平行四边形中，为的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
5.设、是两个不重合的平面，则的一个充分条件为( )
A. 平面内有无数个点到平面的距离相等 B. 平面内有无数条直线与平面平行
C. 两条异面直线同时与平面，都平行 D. 两条平行直线同时与平面，都平行
6.在中，，，，点为边上一点，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在正四棱台中，，则正四棱台的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的共轭复数为
C. 的虚部为
D. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限
10.已知正方体的棱长为，点为正方形内包括边一动点，则下列说法正确的是( )
A. 对于任意点，均有平面平面
B. 当点在线段上时，平面与平面所成二面角的大小为
C. 当点在线上时，
D. 当点为线段的中点时，三棱锥的体积为
11.已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 对于任意与不共线的非零向量，都有
C. 对于任意的非零实数，都有
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量与单位向量的方向相同，则 ______．
13.已知圆柱的底面半径为，高为点为线段不含端点上一动点以该圆柱的上、下底面为底面，为顶点挖去两个圆锥与，则剩下的几何体的体积与圆柱的体积之比为______．
14.如图，已知山体与山体的底部在同一水平面上，且两个山体的高线与均与水平面垂直，，在山体的最高点处测得山顶的仰角为，测得山底的俯角为，则 ______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为虚数单位，复数为纯虚数，为的共轭复数．
求的值；
求的值．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知向量，．
求向量在向量上的投影向量；
若点满足，与的夹角为，求的值．
17.本小题分
如图，已知四棱柱的底面为矩形，、分别为线段，的中点．
证明：平面；
若，，，证明：E.
18.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，其周长为已知．
求角；
若，是线段上一点，，且求．
19.本小题分
如图，已知正四面体的棱长为．
求正四面体的高；
若球的球面与正四面体的棱有公共点且球心到正四面体的四个面的距离相等，求球的半径的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得
为纯虚数，，解得；
由第一问得，，
，
从而，即的值为．
16.解：因为，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为；
因为，所以为线段的中点，
则，，
可得，
所以．
17.证明：取的中点，连接，，
又为的中点，所以为的中位线，则，且，
又，且，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
所以平面；
由四棱柱的性质可知，，
则，
在中，由余弦定理得：，
则，所以为等腰三角形，
连接，则，
因为底面为矩形，所以，
又，则，
因为，，平面，
所以平面，
又，，所以，
则平面，
因为平面，
故AE.
18.解：由得，，
整理得，
由余弦定理得，，
又，
故；
在中，，
则，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，
又，
所以，
则，整理得，
所以，则，
由正弦定理得，
故．
19.解：过顶点作平面的垂线，垂足为，
由正四面体的性质可知，为的重心，连接，并延长交于点，则，
所以
则，
故正四面体的高；
设球心到正四面体的四个面的距离均为，
又知正四面体的各面面积都相等，设为，
则，，
则球心到正四面体的顶点的距离为，
当球为正四面体的外接球时，球的半径最大，此时；
当正四面体的每条棱均与球相切时，球的半径最小，
因为球心到正四面体的四个面的距离相等，
所以球与正四面体的每条棱的切点均为棱的中点，
此时，解得，
综上可知：球的半径的取值范围为．
第1页，共1页