2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省厦门市双十中学高二（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆：的面积为，则( )
A. B. C. D.
2.若随机变量，随机变量，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人要在一排个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若、，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
5.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是等差数列的前项和，则“”是“是递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且延长至点使得，连接设以，两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.椭圆：的焦点为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则( )
A. 的焦距为 B. 的短轴长为
C. 的离心率为 D. 的周长为
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. 有三个零点
B. 有两个极值点
C. 若方程有三个实数根，则
D. 曲线关于点对称
11.已知数列的通项公式为，其前项和为，数列与数列的前项和分别为，，则( )
A. B. 存在，使得
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，含的项的系数为______．
13.记为等比数列的前项的和，若，，则 ______．
14.如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥公路里程、高铁里程双双都是世界第一建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为______，模型中九个球的表面积之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
正四棱锥的底面是边长为的正方形，高为，点，分别在线段，上，且，，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
全球新能源汽车产量呈上升趋势以下为年全球新能源汽车的销售量情况统计．
年份
年份编号
销售量百万辆
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
求变量与的样本相关系数结果精确到；
求关于的经验回归方程，并据此预测年全球新能源汽车的销售量．
附：经验回归方程，其中，样本相关系数．
参考数据：，，，．
17.本小题分
设函数，．
讨论的单调性．
若函数存在极值，对任意的，存在正实数，使得
(ⅰ)证明不等式．
(ⅱ)判断并证明与的大小．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，，，为上不重合的三点．
若，求的值；
过，两点分别作的切线，，与相交于点，过，两点分别作，的垂线，，与相交于点．
若，求面积的最大值；
若直线过点，求点的轨迹方程．
19.本小题分
设点集或，，，从集合中任取两个不同的点，，定义，两点间的距离．
求中的点对的个数；
从集合中任取两个不同的点，，用随机变量表示他们之间的距离，
求的分布列与期望；
证明：当足够大时，注：当足够大时，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：连接交于点，连接，
因为底面是边长为的正方形，
所以，且，为，的中点，
因为四棱锥为正四棱锥，
所以平面，则，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，所以，
因为，
所以，因为平面，所以平面；
由知，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
因为，
所以．
16.解：因为，，
所以，，
所以；
由题意得，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以可以预测年全球新能源汽车的销售量为百万辆．
17.解函数，．
则，，
若，则，在上单调递增，
若，由得，
当时；当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
因为存在极值，由知，
，
由题设得，
因为，设，
要证明即证明，
设，，
则，
所以在上单调递增，，
所以，即得证．
，
，
所以，
所以在上是减函数，
所以．
18.解：易知抛物线的焦点，
不妨设，，，
因为，
所以，
整理得，
由抛物线定义得；
易知直线的斜率不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
可得，
则切线的方程为，
同理得切线的方程为，
联立，
解得，
即，
又点到直线的距离为，
而，
整理得，
则，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为；
若直线过点，
不妨设设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以直线的方程为，
同理得直线的方程为．
联立，
解得，
因为，，
所以，整理得．
故点的轨迹方程为．
19.解：当时，若，可知，有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，
所以共有对；
由题意可知，中元素的个数为个，
对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足，
此时所对应情况数为种，
所以，
故的分布列为：

数学期望，
当时，则
，
且，
则，
两式相加得，
所以；
证明：当足够大时，，
由方差定义
，
因为，则，当且仅当或时，等号成立，
则，
所以．
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